方程组与高阶方程的情形.pptx
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1、以两个方程构成的方程组为例:以两个方程构成的方程组为例:设设 为节点上的近似解,为节点上的近似解,则有改进的则有改进的Euler格式为格式为 预报:预报:校正:校正:第1页/共15页例例 用改进的用改进的Euler法求解初值问题法求解初值问题 取步长取步长h=0.1,保留六位小数。,保留六位小数。解解:改进的改进的Euler法公式为法公式为预报:预报:校正:校正:第2页/共15页由初值由初值 ,计算得计算得 第3页/共15页相应的四阶龙格相应的四阶龙格库塔格式(经典格式)为库塔格式(经典格式)为 第4页/共15页式中式中 第5页/共15页 这是一步法,利用节点 上的值 ,由上式顺序计算由上式顺
2、序计算然后代入然后代入即可求得即可求得 节点上的节点上的第6页/共15页多个方程的多个方程的Runge-Kutta形式可写为:形式可写为:第7页/共15页化化高阶方程组为一阶方程组高阶方程组为一阶方程组=-10)1(1000)1()()(,.,)(,)(),.,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一阶微分方程组求解。化作一阶微分方程组求解。引入新变量引入新变量初值条件为:初值条件为:即可将即可将n阶方程化为如下的一阶方程组阶方程化为如下的一阶方程组 第8页/共15页例如例如,二阶微分方程的初值问题二阶微分方程的初值问题 在引入新的变量在引入新的变量 后后,即化为一阶方程组初值问题即化为
3、一阶方程组初值问题:上式为一个一阶方程组的初值问题。上式为一个一阶方程组的初值问题。应用四阶龙格应用四阶龙格-库塔公式得库塔公式得 第9页/共15页第10页/共15页消去消去 ,上式简化为:,上式简化为:上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程(或方程组)的初值问题程(或方程组)的初值问题 第11页/共15页例例 求解下列二阶微分方程的初值问题求解下列二阶微分方程的初值问题 取步长取步长h=0.1 解解:先作变换:令先作变换:令 ,代入上式,得一阶方程组,代入上式,得一阶方程组 用四阶龙格用四阶龙格-库塔方法求解计算:库塔方法求解计算:取步长取步长 ,第12页/共15页时时 第13页/共15页然后计算然后计算 时的时的y2和和z2;依此类推,直到;依此类推,直到i=9时的时的y10和和z10,即可得到,即可得到其数值解。其数值解。第14页/共15页感谢您的观看!第15页/共15页
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