4.1任意角.ppt
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1、第四章第四章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数OAB1.角角:角角正角正角负角负角零角零角:按按逆时针方向旋转所成的角逆时针方向旋转所成的角:按顺时针方向旋转所成的角按顺时针方向旋转所成的角:射线没有作任何旋转射线没有作任何旋转AOB始边始边终边终边顶点顶点2.角的分类角的分类(任意大小的任意大小的)角可以看成由一条射线绕着角可以看成由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形另一个位置所成的图形.(角的角的旋转方向是角分类的标准旋转方向是角分类的标准)1.任意角任意角3.在直角
2、坐标系内讨论角在直角坐标系内讨论角:象限角象限角(1)角的顶点与坐标原点重合角的顶点与坐标原点重合,角的始边与角的始边与x轴轴的非负半轴的非负半轴重合重合.那么那么,角的终边角的终边(除端点外除端点外)在第几象限在第几象限,就说这个角是就说这个角是第几象限角第几象限角(或或这这个角属于第几象限个角属于第几象限)。(2)若角的终边在坐标轴上若角的终边在坐标轴上,就说这个角就说这个角不属不属于任何象限于任何象限,它叫做它叫做象限界角象限界角(轴线角轴线角).练习练习:四个角的大小分别是四个角的大小分别是(1)1600,(2)4800,(3)-9600,(4)-16000,其中第二其中第二象限角是象
3、限角是_.(1),(2),(3)4.与与角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合注意注意:(1)k是整数是整数;(2)是任意角是任意角;(3)k3600与与之间是之间是“+”号号(kZ);(4)终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等,但相等的角但相等的角,终边一定相同终边一定相同;(5)终边相同的角有无数多个终边相同的角有无数多个,它们相差它们相差3600的整数倍的整数倍.即任一与即任一与角角 终边相同的角终边相同的角,都可以表示成角都可以表示成角 与与整数个周角的和整数个周角的和.练习练习:在在-1800,12600内内,与与1800 终边相终边相同的角有同的角有_个个,它们分别是它们
4、分别是_.例例1.在在00到到3600范围内范围内,找出与下列各角找出与下列各角终边相同的角终边相同的角,并判断它们是第几象限角并判断它们是第几象限角.例例2.写出与下列各角终边相同的角的集写出与下列各角终边相同的角的集合合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式-36007200 的元素的元素写出来写出来.注意区分以下概念注意区分以下概念:第一象限角第一象限角锐角锐角小于小于900的角的角角的角的范围的集合表示范围的集合表示角角例例3.写出终边在写出终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合(用用00到到3600的角表示的角表示).练习练习1.写出写出终边在终边在x轴上的角的集合轴上的角的集合.练习
5、练习2.写出终边在第一、第三象限的角平分写出终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合线上的角的集合.(1)终边在终边在x轴非负半轴上的角的集合轴非负半轴上的角的集合;(2)终边在终边在y轴非负半轴上的角的集合轴非负半轴上的角的集合;(3)终边在终边在x轴非正半轴上的角的集合轴非正半轴上的角的集合;(4)终边在终边在y轴非正半轴上的角的集合轴非正半轴上的角的集合;(5)终边在终边在x轴上的角的集合轴上的角的集合;(6)终边在终边在y轴上的角的集合轴上的角的集合;(7)终边在坐标轴上的角的集合终边在坐标轴上的角的集合;(8)终边在第一象限的角平分线上的角的集合终边在第一象限的角平分线上的角的集合
6、;(9)终边在第三象限的角平分线上的角的集合终边在第三象限的角平分线上的角的集合;(10)终边在第一、第三象限的角平分线上的终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合角的集合;(11)终边在第二、第四象限的角平分线上的终边在第二、第四象限的角平分线上的角的集合角的集合;(12)终边在四个象限的角平分线上的角的集终边在四个象限的角平分线上的角的集合合;(13)终边在坐标轴及四个象限的角平分线上终边在坐标轴及四个象限的角平分线上的角的集合的角的集合.xyo12341234xyo111222333444xyo1112223334441234例例7:一个小于一个小于1800的正角的终边与它的的正角的终
7、边与它的7倍角的终边相同倍角的终边相同,则这个角的大小是则这个角的大小是_.xyo时钟问题时钟问题时钟问题时钟问题表盘上有十二个大格,每大格表盘上有十二个大格,每大格300,又有,又有六十个小格,每小格六十个小格,每小格60,分针每分钟走,分针每分钟走1小格,即小格,即60.例例2.经过经过5小时小时25分钟分钟,时钟的分针和时针各时钟的分针和时针各转多少度转多少度?例例2.自上午自上午8点整上学到中午点整上学到中午11:40放学放学,时钟时钟的时针和分针各转了多少度的时针和分针各转了多少度?上午上午8点整和中点整和中午午11:40两针所成的最小正角各是多少度两针所成的最小正角各是多少度?弧度
8、制弧度制复习复习:(1).角度制角度制:用度作为单位来度量角的单位制用度作为单位来度量角的单位制.(2).1度的角度的角:(3).弧长公式弧长公式:(4).扇形面积公式扇形面积公式:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做做1弧度的角弧度的角,用符号用符号rad表示表示,读作读作弧度弧度.弧度制弧度制弧度制弧度制.gsp以弧度作单位来度量角的单位制叫做以弧度作单位来度量角的单位制叫做弧弧度制度制.1个个周角的弧度数是周角的弧度数是1个平角的弧度数是个平角的弧度数是1个直角的弧度数是个直角的弧度数是若若 为负角为负角,所对弧长为所对弧长为 ,则这个圆心角则这个圆心角
9、的弧度数是的弧度数是 正角的弧度数是一个正数正角的弧度数是一个正数,负角的弧负角的弧度数是一个负数度数是一个负数,零角的弧度数是零零角的弧度数是零.如果半径为如果半径为 的圆的圆心角的圆的圆心角 所对弧的所对弧的长为长为 ,那么那么,角角 的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是 的正负由角的正负由角 的终边的旋转方向决定的终边的旋转方向决定.比值比值 的大小与所取的圆的半径大小有关吗的大小与所取的圆的半径大小有关吗?弧度制弧度制.gsp比值比值 与所取的圆的半径大小无关与所取的圆的半径大小无关,而仅与角的大而仅与角的大小有关小有关.思考思考:把把角度换成弧度角度换成弧度:把把弧度换成角度弧度换成
10、角度:弧度与角度的换算弧度与角度的换算用用弧度为单位表示弧度为单位表示角的大小时角的大小时,“弧度弧度”两字可以省略不两字可以省略不写写用度用度(0)为单位表为单位表示角的大小时示角的大小时,度度(0)就不能省略去就不能省略去.用用弧度为单位表示弧度为单位表示角时角时,常把弧度数写常把弧度数写成多少成多少的形式的形式.例例1.把把 化成弧度化成弧度.例例2.把把 化成度化成度.一些特殊角的度数与弧度数的对应表一些特殊角的度数与弧度数的对应表:度度弧度弧度例例3.计算计算:说明说明:(1)用弧度制表示角时用弧度制表示角时,“弧度弧度”二字或二字或“rad”可可略去不写略去不写,而只写出这个角所对
11、应的弧度数而只写出这个角所对应的弧度数.(2)把度化为弧度后出现把度化为弧度后出现 的分数倍形式时的分数倍形式时,不必不必化成小数化成小数,如如 .角角的的概念推广后概念推广后,无论用角度制还是用弧度制无论用角度制还是用弧度制,都能都能在角的集合与实数集在角的集合与实数集R之间建立一种之间建立一种一一对应一一对应关系关系:每一个角都有唯一的一个实数每一个角都有唯一的一个实数(例如这个角的弧度例如这个角的弧度数或度数数或度数)与它对应与它对应;反过来反过来,每一个实数也都有唯一的一个角每一个实数也都有唯一的一个角(例如弧度数或度例如弧度数或度数等于这个实数的角数等于这个实数的角)与它对应与它对应
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