高考数学二轮复习专题二数列数列求和及综合应用ppt课件文.ppt
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1、第二讲数列求和及综合应用热点题型热点题型1 1错位相减法求和错位相减法求和【感悟经典感悟经典】【典例典例】(2018(2018山师附中一模山师附中一模)已知递减的等比数列已知递减的等比数列aan n 各项均为正数各项均为正数,满足满足a a1 1aa2 2aa3 3=8,a=8,a1 1+1,a+1,a2 2+1,a+1,a3 3构构成等差数列成等差数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)令令b bn n=na=nan n,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n.【联想解题联想解题】(1)(1)看到等比数列与等差数列看到等比数列与等差数列
2、,想到等差数列、等比数想到等差数列、等比数列的定义、通项公式列的定义、通项公式(2)(2)看到等比数列与等差数列的对应项的乘积求和看到等比数列与等差数列的对应项的乘积求和,想想到错位相减法求和到错位相减法求和.【规范解答规范解答】(1)(1)由等比数列性质可知由等比数列性质可知a a1 1aa2 2aa3 3=8,=8,所以所以a a2 2=2,a=2,a1 1aa3 3=4.=4.由由a a1 1+1,a+1,a2 2+1,a+1,a3 3构成等差数列可知构成等差数列可知a a1 1+1+a+1+a3 3=2(a=2(a2 2+1)=6,+1)=6,所以所以a a1 1+a+a3 3=5.=
3、5.联立联立 解得解得 或或 由等比数列由等比数列aan n 递减可知递减可知 ,于是于是q=.q=.所以所以a an n=a=a1 1qqn-1n-1=4 .=4 .(2)(2)由由(1)(1)可知可知b bn n=n=na an n=n=n ,于是于是S Sn n=1=1 +2 +2 +3 +3 +(n-1)+(n-1)+n+n ,S Sn n=1=1 +2 +2 +3 +3 +(n-1)+(n-1)+n+n ,两式相减有两式相减有 S Sn n=1=1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1+1 -n -n =-n=-n =8-(n+2)=8-(n+2)故故S Sn n=16-(n+2
4、).=16-(n+2).【规律方法规律方法】错位相减法的求解步骤及注意点错位相减法的求解步骤及注意点(1)(1)求解步骤求解步骤:拆分拆分:将数列的通项公式分解为等差数将数列的通项公式分解为等差数列和等比数列的乘积的形式列和等比数列的乘积的形式,并确定等比数列的公比并确定等比数列的公比.作差作差:写出写出S Sn n的表达式的表达式,然后等式两边同时乘以公比然后等式两边同时乘以公比或除以公比得到另外一个式子或除以公比得到另外一个式子,两式作差两式作差.求和求和:根据差式的特征准确求和根据差式的特征准确求和.(2)(2)注意点注意点:在错位相减后一定要注意其中各个项的结在错位相减后一定要注意其中
5、各个项的结构构,特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后续特别是相减后得到的和式的第一项是否可以和后续的项组成等比数列的项组成等比数列.【对点训练对点训练】(2018(2018衡水一模衡水一模)已知数列已知数列aan n 满足满足4S4Sn n=(a=(an n+3)(a+3)(an n-1),-1),且且a an n0.0.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)求求T Tn n=a=a1 1 +a+a2 2 +a+an n 的值的值.【解析解析】(1)(1)当当n n2 2时时,由由4S4Sn n=(a=(an n+3)(a+3)(an n-1)=+2a-1
6、)=+2an n-3,-3,得得4S4Sn-1n-1=(a=(an-1n-1+3)(a+3)(an-1n-1-1)-1)=+2a=+2an-1n-1-3,-3,两式相减得两式相减得4(S4(Sn n-S-Sn-1n-1)=(-)+2(a)=(-)+2(an n-a-an-1n-1)(a(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1-2)=0.-2)=0.由由a an n0,0,得得a an n-a-an-1n-1-2=0(n2),-2=0(n2),故故aan n 为等差数列为等差数列,公差为公差为2.2.当当n=1n=1时时,由由4S4S1 1=(a=(a1 1+3)(a
7、+3)(a1 1-1)-1)a a1 1=3,=3,所以所以a an n=2n+1.=2n+1.(2)(2)易知易知T Tn n=32=323 3+52+525 5+72+727 7+(2n+1)2+(2n+1)22n+12n+1,4T4Tn n=32=325 5+52+527 7+(2n-1)2+(2n-1)22n+12n+1+(2n+1)2+(2n+1)22n+32n+3,两式相减得两式相减得-3T-3Tn n=32=323 3+2(2+2(25 5+2+27 7+2+22n+12n+1)-)-(2n+1)2(2n+1)22n+32n+3=32=323 3+2+26 6 -(2n+1)2
8、-(2n+1)22n+32n+3=,=,所以所以T Tn n=.=.【提分备选提分备选】数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且S Sn n=n(n+1)=n(n+1)(nN(nN*).).(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)若数列若数列bbn n 满足满足:a:an n=+,求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式.(3)(3)令令c cn n=(nN(nN*),),求数列求数列ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n.【解析解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=2,=2,当当n n2 2时时,
9、a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,=n(n+1)-(n-1)n=2n,a a1 1=2=2满足该式满足该式,所以数列所以数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2n.=2n.(2)a(2)an n=+=+(n (n1),1),a an+1n+1=+,=+,-得得,=a,=an+1n+1-a-an n=2,=2,得得b bn+1n+1=2(3=2(3n+1n+1+1),+1),又当又当n=1n=1时时,b,b1 1=8,=8,所以所以b bn n=2(3=2(3n n+1)(n+1)(nN N*).).(3)c(3)cn n=n(3=
10、n(3n n+1)=n+1)=n3 3n n+n,+n,所以所以T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+c+cn n=(13+23=(13+232 2+33+333 3+n3+n3n n)+(1+2+n),+(1+2+n),令令H Hn n=13+23=13+232 2+33+333 3+n3+n3n n,则则3H3Hn n=13=132 2+23+233 3+33+334 4+n3+n3n+1n+1,-得得,-2H,-2Hn n=3+3=3+32 2+3+33 3+3+3n n-n3-n3n+1n+1=-n3=-n3n+1n+1=.=.所以所以T Tn n=H=Hn n+(1
11、+2+n)+(1+2+n)=.=.热点题型热点题型2 2裂项相消法求和裂项相消法求和【感悟经典感悟经典】【典例典例】(2018(2018重庆一模重庆一模)已知数列已知数列aan n 是公差不为是公差不为0 0的等差数列的等差数列,a,a1 1=3,a=3,a1 1aa4 4=.(1)(1)求求aan n 的通项公式及的通项公式及a an n的前的前n n项和项和S Sn n的通项公式的通项公式.(2)b(2)bn n=+,求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式,并判并判断断b bn n与与 的大小的大小.【联想解题联想解题】(1)(1)看到等差数列看到等差数列,想到等差数列的定义、通项公
12、式、想到等差数列的定义、通项公式、前前n n项和公式项和公式.(2)(2)看到求倒数的和且分母为两项相乘的关系看到求倒数的和且分母为两项相乘的关系,想到裂想到裂项相消法求和项相消法求和.【规范解答规范解答】(1)(1)设设a a1 1=a=3,=a=3,公差为公差为d,d,则则a(a+3d)=a(a+3d)=(a+d)(a+d)2 2,解得解得d=a=3,d=a=3,所以所以a an n=3n,S=3n,Sn n=.(2),(2),从而从而b bn n=+=,故故b bn n .【规律方法规律方法】裂项相消法求和的基本思想裂项相消法求和的基本思想把数列的通项把数列的通项a an n分拆成分拆成
13、a an n=b=bn+kn+k-b-bn n(k1,kN(k1,kN*)的形式的形式,从而达到在求和时某些项相消的目的从而达到在求和时某些项相消的目的,在解题时要善于在解题时要善于根据这个基本思想变换数列根据这个基本思想变换数列aan n 的通项公式的通项公式,使之符合使之符合裂项相消的条件裂项相消的条件.【对点训练对点训练】(2018(2018四川广元一模四川广元一模)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=k(3k(3n n-1),-1),且且a a3 3=27=27(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)若若b bn n=log=l
14、og3 3a an n,求数列求数列 的前的前n n项和项和T Tn n.【解析解析】(1)(1)当当n=3n=3时时,a,a3 3=S=S3 3-S-S2 2=k(3=k(33 3-3-32 2)=27,)=27,解得解得k=,k=,当当n2n2时时,a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(3(3n n-1)-1)-(3(3n-1n-1-1)=-1)=(3(3n n-3-3n-1n-1)=3)=3n n.a a1 1=S=S1 1=3=3也满足上式也满足上式,故故a an n=3=3n n.(2)(2)若若b bn n=log=log3 33 3n n=n,=n,=,T Tn n=
15、1-=1-=.【提分备选提分备选】设设aan n 是公比大于是公比大于1 1的等比数列的等比数列,S,Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项项和和.已知已知S S3 3=7,=7,且且3a3a2 2是是a a1 1+3+3和和a a3 3+4+4的等差中项的等差中项.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)设设b bn n=,数列数列bbn n 的前的前n n项和为项和为T Tn n,求求证证:T:Tn n 1,q1,所以所以q=2.q=2.所以所以a a1 1=1.=1.故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n-1n-1(
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