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1、20/9年美国数学竞赛(AMC10B)2019年美国数学竞赛(A M C 1 0 B)1 .某人有两个容器,第一个容器装了 I容积的水,第二个容器是空的.她把第一个容器里的水全部倒进第二6个容器里,这时第二个容器装了 1容积的水,第一个容器的容积和第二个容器的容积之比是()4A.|B.C.:D.E.燕8581 01 2解析 D.假设第一、二个容器的容积分别为七则根据题意,有5 3,a 9 a=-b=-6 4 b 1 0备注 A l i c i a had tw o c o ntai ne rs.The f i rst w as-f u l l o f w ate r and the se c
2、o nd w as e m p ty.She p o u re d al l6the w ate r f ro m the f i rst c o ntai ne r i nto the se c o nd c o ntai ne r,3at w hi c h p o i nt the se c o nd c o ntai ne r w as-f u l l o f w ate r.W h a t i s the rati o o f the v o l u m e o f the f i rst c o ntai ne r to the v o l u m e o f the se c o
3、nd c o ntai ne r?2.命题“若n不是素数,则n-2是素数”的反例为n=()A.1 1 B.1 5 C.1 9 D.21 E.27解析 E.即n与n 2均为合数的例子.备注 C o nsi de r the state m e nt,I f n i s no t p ri m e,the n n 2 i s p ri m e.Whi c h o f the f o l l o w i ng v al u e so f n i s a c o u nte re x am p l e to thi s state m e nt.3.一所中学的5 0 0名学生中,4 0%的高中生会演奏
4、某种乐器,3 0%的非高中生不会演奏任何一种乐器.若46.8%的学生不会演奏任何一种乐器,那么有多少非高中生会演奏某种乐器?()A.6 6 B.1 54 C.1 8 6 D.220 E.26 6解 析 无.设非高中生的数目为明则高中生数为500-以 从而(500-ar)-(l-40%)+a;3 0%=500-46.8%O 立=220,因此所求会演奏某种乐器的非高中生有220.(1 -30%)=1 5 4个.备注 I n a hi g h sc ho o l w i th 500 stu de nts,4 0%o f the se ni o rs p l ay a m u si c al i n
5、stru m e nt,w hi l e 3 0%o fthe no n-se ni o rs do no t p l ay a nni si c al i nstru m e nt,.I n al l,46.8%o f the stu de nts do no t p l ay a m u si c ali nstru m e nt.H o w m any no n-se ni o rs p l ay a m u si c al i nstru m e nt?4.已知a,b,c成等差数列,则方程a z+如=。表示的直线恒过定点()A.(-1,2)B.(0,1)C.(1,-2)D.(1,0)E
6、.(1,2)解析 A.根据题意,有Q+c =2b a (1)+6 -2=c,2 G 9年美国数学竞赛(AMC10B)于是方程ac+b0=c表示的直线恒过定点(-1,2).备注 All lines with equation ax+by=c such that a,b,c form an arithmetic:progression pass through acommon point.What are the coordinates of that point?5.已知A BC在第一象限,点4 B,C关于直线y=x对称的点分别为,B,C.若A B C的顶点均不在直线y=x .,下列结论不总正确
7、的是()A./A B C在第一象限B.4 3。与面积相同C.直 线AA!的斜率为1D.直 线AAf与直线C C的斜率相同E.直 线A B与AB互相垂直解析 E.根据对称变换的定义即得.备注 Triangle ABC lies in the first quadrant.Points A.B,and C are reflected across the line y=xto points;A!,B,and C,respectively.Assume that none of the vertices of the triangle lie on the liney=x.Which of the
8、following statements is not always true?6.已 知(n+l)!+5 +2)!=n!-4 4 0,则n的各个数位上的数字之和是()A.3 B.8 C.10 D.11 E.12解析 C.根据题意,有(n+l)+(n+2)(n+1)=440 n2+4n-437=0 1(n-19)(n+23)=0 1 n=19,因此所求数字之和为1+9=10.备注 There is a real n such that(n+1)!+(n+2)!n!-440.What is the sum of the digits of n?7.商店里的糖果的价格都是正整数(单位:分),某人手
9、里的钱刚好可以买12块红色糖,14块绿色糖,15块蓝色糖,或者n块紫色糖.一块紫色糖要花20分,则n的最小可能值是()A.18 B.21 C.24 D.25 E.28解析 B.12,14,15的最小公倍数为4 2 0.因此他手里的钱是420的整数倍(单位:分),于是n的最小可能值为21.备注 Each piece of candy in a store costs a whole number of cents Casper has exactly enough moneyto buy either 12 pieces of red candy,14 pieces of green candy
10、,15 pieces of blue candy,or n pieces ofpurple candy.A piece of purple candy costs 20 cents.What is the smallest possible value of n?8.如图,平面上有一个正方形和四个正三角形,每个正三角形都有一条边位于正方形的边上,每个正三角形的边长均为2,三个正三角形的第三个顶点均位于正方形的中心.在正方形内部但在正三角形外部的区域为阴影区域,则阴影区域的面积是()2G 9年美国数学竞赛(AMC10B)A.4 B.12-4/3 C.3v/3 D.4/3解析 B.正方形的边长为正
11、三角形高的2倍,为2班,因此所求面积S=(2通 产 一4 苧.2?=12 E.16-/3备注 The figure below shows a square and four equilateral triangles,with each triangle having a sidelying on a side of the square,such that each triangle has side length 2 and the third vertices of the trianglesmeet at the center of the square.The region ins
12、ide the square but outside the triangles is shaded.Whatis the area of the shaded region?9.已知定义域为R的函数f(x)=同-|幻|,其 中 卜表示不超过了的最大整数,则函数f(x)的值域为()A.-1,0 B.非正整数集 C.-1,0,1 D.0 E.非负整数集解析 A.如图,作 出?/=罔和?/=|的图象.可得0,x G Z-U 0,4-oo),/(7)=1,x G(k-1,k),k W N,因此函数/(为的值域为-1,0.备打:The function f is defined by/Q)=L IIJ
13、 -INIfor all real numbers x,where r denotes the greatest integer less than or equal to the real number r.What is the range of/?2G9年美国数学竞赛(A M C 1 0 B)1 0.在给定的平面中,点A和 点B的距离为1 0,使 48 C的周长为5 0,而 4 3。的面积为1 0 0的 点C的位置个数为()A.0 B.2 C.4 D.8 E.无穷多解析 A.根据题意,ZVIBC的边A B上的高为2 0,于是C A,C B均不小于2 0,与 4 5。的周长为5 0矛盾,因
14、此所求个数为0.-备 汁:I n a gi v en pl a n e,po i n t s A a n d B a re 1 0 u n i t s a pa rt.H o w m a n y po i n t s C a re t here i n t he pl a n es u c h t ha t t he peri m et er o f/A B C i s 5 0 u n i t s a n d t he a rea o f A B C i s 1 0 0 s qu a re u n i t s?1 1 .两个罐子里装着同样数量的弹珠,每一个弹珠不是蓝色就是绿色,第一个罐子里蓝绿
15、的弹珠比例是9:1,第二个罐子里蓝绿的弹珠比例是8:1,总共有9 5颗绿色弹珠,第一个罐子里的蓝色弹珠比第二个罐子里多()颗.A.5 B.1 0 C.2 5 D.4 5 E.5 0解析 A.设两个罐子中的弹珠数量分别为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _蓝色绿色第一个罐子9 mm第二个罐子8nn根据题意.有1 0 m =97、m=4 5,m+几=95,yn=5 0,于是所求数目为9,八一 8几=5.备i t T w o j a rs ea c h c o n t a i n t he s a m e n u m b er o f
16、m a rb l es,a n d ev ery m a rb l e i s ei t her b l u e o r green.I nJ a r 1 t he ra t i o o f b l u e t o green m a rb l es i s 9:1,a n d t he ra t i o o f b l u e t o green m a rb l es i n J a r 2 i s 8:1.T l i ere a re 95 green m a rb l es i n a l l.H o w m a n y m o re b l u e m a rb l es a re
17、i n J a r 1 t ha n i n J a r 2?1 2 .不超过2 0 1 9的正整数的七进制表示中各数位之和的最大值为()A.1 1 B.1 4 C.2 2 D.2 3 E.2 7解析 C.由于2 0 1 9(1 0)=5 6 1 3 ,于是所求最大值为5 +5 +6 +6 =2 2.备注 W h a t i s t he grea t es t po s s i b l e s u m o f t he d i gi t s i n t he b a s e-s ev en repres en t a t i o n o f a po s i t i v e i n t eg
18、erl es s t ha n 2 0 1 9?1 3.使 得4,6,8,1 7,/的中位数与平均数相等的所有实数7的 和 为()1 53 5A.-5 B.0 C.5 D.E.44解析 A.20/9年美国数学竞赛(AMC10B)4,6,8,1 7,%的中位数6,1 4 6,m=(6 8,8,c8,解方程4 +6 +8+1 7 +/-E-=孙3 5可得m=6时、7 =5:m=i时,x=m=8时,1 =5.符合题意的实数只有5.4备注 W h a t i s t he s u m o f a l l rea l n u m b ers x fo r w hi c h t he m ed i a n
19、 o f t he n u m b ers 4,6,8,1 7,a n d x i sequ a l t o t he m ea n o f t ho s e fi v e n u m b ers?1 4 .用十进制表示1 9!的结果是1 2 1 6 T 5 1 0 0 4 0 M83 2 H 0 0,则T +M +H的值为()A.3 B.8 C.1 2 D.1 4 E.1 7解析 C.由于4.5 1 5|1 9!,于是H=0.由于9|1 9!,于是9|l +2 +l +6 +T+5 +l +4 +M+8+3 +2 9|T +A,+6,由于1 1|1 9!,于是1 1|1-2 +1 -6 +7
20、一5 +1 0 +0 4 +0 河+8 3 +2 1 1|T-A f-7,解得 T=4,M =8.因此 T+M +H=1 2.备注 T he b a s e-t en repres en t a t i o n fo r 1 9!i s 1 2 1.6 T 5,1 0 0,4 0 A/,83 2.H00,w here T,M,a n d H d en o t ed i gi t s t ha t a re n o t gi v en.W h a t i s T-F M+H?1 5 .两个直角三角形T i,4的面积分别为1,2,且 有 两 组 边 分 别 对 应 相等,则T i,4的第三条边的乘
21、积的平方为()A.空 B.1 0 C.违 Dd E.1 2333解析 A.设两组相等的边分别为工且v工,则根据题意,n为 a的斜边,且为T2的直角边.进而的三边长分别为,总 协T2的 三 边 长 分 别 为 所 求 第 三 边 的 乘 积 的 平 方其中/y2-x2-x=2,xy=4.将代入消元,解得/4 =1 2,进 而/=因此加=0O备注 T w o ri ght t ri a n gl es,a n d T?、ha v e a rea s o f 1 a n d 2,res pec t i v el y.O n e s i d e l en gt h o f o n e t ri a n
22、 gl ei s c o n gru en t t o a d i fferen t s i d e l en gt h i n t he o t her,a n d a n o t her s i d e l en gt h o f t he fi rs t t ri a n gl e i s c o n gru en tt o y et a n o t her s i d e l en gt h i n t he o t her.W h a t i s t he pro d u c t o f t he t hi rd s i d e l en gt hs o f T a n d T?o2
23、 G 9年美国数学竞赛(AMC10B)16.4AB C中C为直角,点R E分别在边AB,BC上,且AC=CD,DE=E B,且AC:方E=4:3,则 AD:D B=()A.2:3 B.2:y/5 C.1:1 D.3:遍 E.3:2解 析 无.如图,设 AC=07?=4,DE=EB=3.设4=依 则3=90。仇进 而ZCDE=180-AADC-4DBD=180-0-(90-0)=90,因此CE=5,从 而tan4=tan。=2,进而AD _ CD cos。_ 4 _ 2DB DE cos(90 O)3 tan 0 3-备 注 In/ABC with a right angle at C.poin
24、t D lies in the interior of AB and point E lies in the interiorof BC so that AC=CD,DE=EB,and the ratio AC:DE=4:3.What is the ratio AD:DB?17.一个红球和一个绿球被随机地独立地扔到用正整数编号的箱子里,且对于每个球,它被扔到木箱子里的概率 是2-上(人=1,2,3一),红球被扔到比绿球编号更高的箱子里的概率是多少()A 1 R 2 D 3 F 3A.%B.,C.-D.E-7解析 C.红球和绿球落在同一个箱子的概率为+OO+8 E(2-f c-2-f c)=4-
25、f c=-,k=l A:=l,11 -j考虑到对称性,所求概率为3 =v备注 A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with positiveintegers so that for each ball,the probability that it is tossed into bin k is 2k for k=1,2,3,.Whatis the probability that the red ball is tossed into a higher-niu
26、nber(?d bin than the green ball?18.某人决定在某天早上进行锻炼,他从家出发2千米外的健身房并走了-的路程,此时他改变了主意,掉头回家、并走了离家距离的彳,然后他又改变了主意,走了离健身房距离的以此类推.如果他持续在44距离当前目的地的-路程处改变主意,那么最后他将近似在离家A千米处和离家B千米处之家来回走 o2G 9年美国数学竞赛(AMC1 0B)动,则|4一8|=()A.1 B.1 C.11 D.14 E.3542解析 C不 妨 设 则 根 据 题意,有Q9B-B.-=A,1Q 6今 Q|力初=11.4+(2-4)4=5 8 =)40事实上,设Xn为第n次决
27、定去健身房时他所处的位置离家的距离与健身房离家总距离之比,则有叫=0,且痂+1=(1 _ 4)(2 +(1 _ 斯)a)=”+而,容易证明该数列单调递增且有上界;,进而收敛于2553备打:Henry decides one morning to do a workout,and he walks-of the way from his home to his gym.43The gym is 2 kilometers away from Henry5s home.At that point,he changes his mind and walks-ofthe way from where h
28、e is back toward home.When he reaches that point,he changes his mind again and3walks-of the distance from there back toward the gym.If Henry keeps changing his mind when he has3walked-of the distance toward either the gym or home from the point where he last changed his mind,he will get very close t
29、o walking back and forth between a point A kilometers from home and a point Bkilometers from home.What is A B?19.设S是100000的所有正整数因数组成的集合,那 么S中的元素两两乘积的不同取值个数为()A.98 B.100 C.117 D.119 E.121解析 C.100000=25心5,于是S中的两个不同元素的乘积为2g+3-5加+禽,其中(%如)丰(X2,y2),x1,X2,yi,y2 0,1,2,3,4,5.因此可能的取值为2,其中 0,1,2,10,且(i,j)*(0,0
30、),(0,10),(10,0),(10,10),因此所求个数为1/一 4=117.备注 Let S be the set of all positive integer divisors of 100,000.How many numbers are the product oftwo distinct elements of S?20.如图,线 段A D被 属C三等分,且A B =B C =C D =2.半 圆AEB,B F C,C G D与直线E G相切于E,F,G,以F为圆心2为半径作圆,在圆内但不在半圆内的部分为阴影部分,阴影部分的面积可以写作,7 T,E+d,其中 Q,b,c,d 均
31、为正整数,且(Q,b)=1,贝ij a+b+c+d=()M20/9年美国数学竞赛(AMC10B)A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 6 E.1 7解析 E.下方的弓形的弧所对的圆心角为1 20。,于是阴影部分的面积为/2+4(1一3)+.得-血。.2 2=?_入 +4,于是a +b +c +d =7+3+3+4 1 7.备注 A s s h o w n i n th e f ig ur e,l in e s e g m e n t A D is tr is e c te d b y p o in ts B an d C s o th at A B =B C =C D =2.T h r
32、e e s e m ic ir c l e s o f r ad ius 1,A E B,B F C,an d C G D,h av e th e ir d iam e te r s o n AD,an d ar e tan g e n tto l in e E G at E,F,an d G.r e s p e c tiv e l y.A c ir c l e o f r ad ius 2 h as its c e n te r o n F.T h e ar e a o f th e r e g io nin s id e th e c ir c l e b ut o uts id e th
33、 e th r e e s e m ic ir c l e s,s h ad e d in th e f ig ur e,c an b e e xp r e s s e d in th e f o r m7 7T 一班+d,bw h e r e a.b,c,an d d ar c p o s itiv e in te g e r s an d a an d b ar e r e l ativ e l y p r im e.W h a t is a+b +c +d?2 1.不断地掷硬币,直到连续得到两个正面或两个反面时停止,则以看到连续两个正面为结束时看到第二个正面之前先看到第二个反面的概率是(
34、)A.士 B.C.4 D.士 E,3 62 41 81 26解析 B.用1表示得到正面,用0表示得到反面,则所有的投掷结果为0 1 0 1 0 1-0 U,k其 中R N.0 1 0 1 1出现的概率为焉,01出现概率为p于是所求概率为以焉为首项,;为公比的无1穷递缩等比数列的和.为 3T=5.1 1 2 41-4备注 D e b r a f l ip s a f air c o in r e p e ate d l y,k e e p in g tr ac k o f h o w m an y h e ad s an d h o w m an y tail s s h e h ass e e
35、 n in to tal,un til s h e g e ts e ith e r tw o h e ad s in a r o w o r tw o tail s in a to w,at w h ic h p o in t s h e s to p s o20/9年美国数学竞赛(AMC10B)nipping.What is the probability that she gets two heads in a row but she sees a second tail before shesees a second head?2 2.甲,乙,丙三人玩下面的游戏.每个人开始都有1美元,
36、每15秒响一次铃,此时每个目前有钱的玩家同时选择另外两个玩家中的一个独立随机地给他1美 元.例 如,甲和丙可能各自决定给乙1美元,乙可能决定给丙她的美元,此时甲将有0美元,乙将有2美元,丙将有1美元,此时第一轮游戏结束.在第二轮时,甲没有钱可以给,但乙和丙可能会互相选择给对方1美元,而各自拥有的钱数将与第二轮结束时一样.2019次铃响后每个玩家都有1美元的概率是()A J B;C.1 D.i E.|74323解析 B.设n次铃响后玩家的钱数为(1,1,1)的 概 率 为 玩 家 的 钱 数 为(2,1,0)的概率为yn,则 的=!且而1-4=%+1nnN1-43-41-43-%计41=13从而
37、可得xn=而 外+i=.44备注:Raashan,Sylvia,and Ted play the following game.Each starts with 1 dollar.A bell rings every15 seconds,at which time each of the players who currently have money simultaneously chooses one of theother two players independently and at random and gives 1 dollar to that player.What is t
38、he probabilitythat after the bell has rung 2019 times,each player will have 1 dollar?(For example,Raashan and Tedmay each decide to give 1 dollar to Sylvia,and Sylvia may decide to give her dollar to Ted,at whichpoint Raashan will have 0 dollar,Sylvia would have 2 dollar,and Ted would have 1 dollar,
39、and and thatis the end of the first round of play.In the second round Raashan has no money to give,but Sylvia andTed might choose each other to give their 1 dollar to,and and the holdings will be the same as the endof the second round.2 3.平面上点力(6,13)和 点5(12,11)是圆3上的点,若 a 在4 6处的切线相交于h轴上的某点,则 s的面 积 为(
40、)A 837r 217r 857r 八 43T T 877rA.B.C.D.E.82848解析 c.如图,设 外 在A石处的切线相交于点P,圆幻的圆心为N,A B的中点为 o20/9年美国数学竞赛(AMC10B)由X(6,1 3),5(1 2,1 1)可 得A f(9,1 2),直线A B的斜率为一因此直线P M的方程为 2?111/=L U。2 117,声,因此m所处的区间是 8 1,242.o20/9年美国数学竞赛(AMC10B)备注 Define a sequence recursively by co=5 and琮+5xn+4 n+l =U出 九 十 6for all nonnegat
41、ive integers n.Let m be the least positive integer such thatW 4+得,In which of the following intervals does m lie?2 5.由 0,1 组成的19项的数列中,以 0 开头,以 0 结尾且及包含连续的两个0,也不包含连续的3 个 1 的个数 为()A.55 B.60 C.65 D.70 E.75解析 C.设数列项数为八?3)时,符合要求的数列个数为xn.符合要求的数列必然以10或 110结尾.因此当 打?6 时,有=n 3+n 2,而 的=皿=3=1,因此n12345678910n11122345n11121314151617181920力冷791216212837496586备注 How many sequences of 0 s and 1 s of length 19 are there that begin with a 0,end with a 0,containno two consecutive 0 s,and contain no three consecutive 1 s?
限制150内