振动力学与结构动力学1.pptx
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1、一.运动方程及其解m mEIl令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程其通解为由初始条件可得令令其中其中第1页/共58页无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以 为振动频率的简谐振动,并且永无休止初始条件的说明:初始条件是外界能量转入的一种方式,有初始位移即转入了弹性势能,有初始速度即转入了动能第2页/共58页二、单自由度系统的动力特性二、单自由度系统的动力特性周期:周期:园频率:园频率:工程频率:工程频率:与外界无关,体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系A A、v v不是系统的固有属性的
2、数不是系统的固有属性的数字特征,与系统过去所受到过字特征,与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关处的状态有关 第3页/共58页 例例:图示刚架其横梁的刚度为无限大,柱子的抗图示刚架其横梁的刚度为无限大,柱子的抗弯刚度弯刚度 ,梁的质量,梁的质量m m=5000kg=5000kg,不计柱子的轴向变形和阻尼,试计算此刚架的自不计柱子的轴向变形和阻尼,试计算此刚架的自振频率。振频率。思考题:刚架如何振动?关键是求侧移劲度。第4页/共58页求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率(a a)弹簧串联情况;)弹簧串联情况;(b b)弹簧并联情况。)弹簧并联情况。
3、(a)(a)串联情况串联情况串联情况串联情况思考题:串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化?第5页/共58页(b)(b)并联情况并联情况思考题:并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化?第6页/共58页 例:简支梁例:简支梁ABAB,重量不计。在梁的中点位置放一重重量不计。在梁的中点位置放一重为为W W的物体的物体M M时,其静挠度为时,其静挠度为y ystst。现将物体现将物体M M从高度从高度h h处处自由释放,落到梁的中点处,求该系统振动的规律。自由释放,落到梁的中点处,求该系统振动的规律。当物体落到梁上后,梁、物体系统作简谐振动,只要定出简谐振动的三个参数:圆频率、振幅和初相角即可。
4、第7页/共58页第8页/共58页2.2.算例例一.求图示体系的自振频率和周期.m mEIlEIl=1=1ll/2l解:第9页/共58页例二.求图示体系的自振频率和周期.=1解:m mEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.解:EIkl1k第10页/共58页第二节第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、一、有阻尼自由振动的解有阻尼自由振动的解特征方程的根:特征方程的根:1 1、临界阻尼情况:不产生振动的最小阻尼、临界阻尼情况:不产生振动的最小阻尼第11页/共58页2 2、超阻尼情况、超阻尼情况 体系仍不作振动,只发生按指数规律衰减的非周期体系仍不
5、作振动,只发生按指数规律衰减的非周期蠕动,蠕动,上式也不含简谐振动因子,由于大阻尼作用,受干扰后,偏离平衡位置体系不会产生振动,初始能量全部用于克服阻尼,不足以引起振动。第12页/共58页3 3、负阻尼情况、负阻尼情况 00或或c0c0 阻尼本来是耗散能量的,负阻尼表示在系统振动过程中不阻尼本来是耗散能量的,负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量,而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是仅不消耗能量,而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的,其振幅将会愈来愈大,直至系统破坏。不稳定的,其振幅将会愈来愈大,直至系统破坏。4 4、低阻尼或小阻尼情况、低阻尼或小阻尼情况 11或或c2mc2
6、m 第13页/共58页考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小,亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。结构实际量测表明,对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼结构实际量测表明,对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比比 在在0.050.05左右,拱坝在左右,拱坝在0.03-0.050.03-0.05,重力坝包括大头坝在,重力坝包括大头坝在0.05-0.10,0.05-0.10,土坝、堆石坝在土坝、堆石坝在0.10-0.200.10-0.20之间。强震时,之间。强震时,还会还会增加一些,但其值也是不大的。即使取增加一些,但其值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的频率与代入求得的频率与
7、不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。计阻尼的影响。第14页/共58页 不同阻尼比对自由振动幅值的影响不同阻尼比对自由振动幅值的影响第15页/共58页二、阻尼的量测二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写成小阻尼解答经过三角转换可写成可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值,可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值,在在t ti i时刻,时刻,y yi i=Ae=Ae-t ti i;在在t ti i+T+Td d时刻,时刻,y yi+1i+1=Ae=Ae-(t(ti i+T+Td d),),
8、定义自定义自然对数递减率然对数递减率 y y第16页/共58页自由振动衰减曲线自由振动衰减曲线 第17页/共58页第18页/共58页 例:有关参数同前刚架,若用千斤顶使例:有关参数同前刚架,若用千斤顶使M M产生侧移产生侧移25mm25mm,然后突然放开,刚架产生自由振动,振动,然后突然放开,刚架产生自由振动,振动5 5周后测得的侧移为周后测得的侧移为7.12mm7.12mm。试求。试求 :(:(1 1)考虑阻)考虑阻尼时的自振频率;(尼时的自振频率;(2 2)阻尼比和阻尼系数;()阻尼比和阻尼系数;(3 3)振动振动1010周后的振幅。周后的振幅。解:由解:由y y0 0=25mm,y=25
9、mm,y0+5TD0+5TD=7.12mm,=7.12mm,有:有:第19页/共58页第20页/共58页例例:对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验.用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm,用用 力力16.416.416.416.4kNkN,降绳突然切断降绳突然切断,开始作开始作 自由振动自由振动.经经4 4 4 4周期周期,用时用时2 2 2 2秒秒,振幅振幅降为降为1 1 1 1cmcm.求求 1.1.1.1.阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系
10、数6.6.6.6.若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解:1.1.1.1.阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加800kg,800kg,800kg,800kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多少第21页/共58页第三节第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动受迫振动一、无阻尼受迫振动一、无阻尼受迫振动 1 1、无阻尼受迫振动方程
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