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1、4.1 根轨迹法的基本概念 引例4 41 1 随动系统如图所示。开环传递函数 闭环传递函数 闭环特征方程 闭环根第1页/共45页闭环特征方程Kgs1s20 0-10.1-0.113-0.8870.25-0.5-0.50.5 -0.5+j 0.5-0.5-j 0.5-0.5+j-0.5-j增益Kg时,闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。第2页/共45页一般控制系统一般控制系统闭环特征方程闭环特征方程根轨迹的条件方程根轨迹的条件方程 由第3页/共45页开环传递函数以开环零、极点来表示时条件方程为 复平面上任意点si,如果满足条件方程,则在根轨迹上,否则,根轨迹不过该点。可以根据一些作图
2、法则作图法则作根轨迹图。第4页/共45页4.2绘制根轨迹图的基本法则 一、根轨迹的连续性根轨迹的连续性由于根轨迹增益在Kg:0 变化时是连续的,所以特征根也连续变化,即根轨迹连续。二、根轨迹的对称性根轨迹的对称性由于线性定常系统闭环特征方程的根必为实数或共轭复数,根轨迹图实轴对称。三、根轨迹的分支数根轨迹的分支数 n阶系统,其特征方程有n个根,所以当增益在由0 变化时,在s平面有n条根轨迹,即根轨迹的分支数等于n,与系统的阶数相等。第5页/共45页四、根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹增益Kg=0时的闭环极点称为根轨迹的起点根轨迹增益Kg=时的闭环极点称为根轨迹的终点 第6页/共45页
3、由有Kg=0,两边相等,必有n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。第7页/共45页由有Kg,两边相等,必有n条根轨迹终止于系统的n个开环零点。一般mn,n阶系统只有m个有限零点,m条根轨迹终止于m个有限零点,其余n-m条根轨迹终止于无穷远处。第8页/共45页证明:由有因为mn,Kg ,有s 所以,其余n-m条根轨迹终止于无穷远处。第9页/共45页例 已知开环传递函数为确定根轨迹的起点与终点。解:起点为开环极点:sp1=0,sp2=-1,sp3=-5终点为开环零点:sz1,2=-1j,sz3=如图所示。第10页/共45页五、根轨迹的渐近线 n-m条根轨迹将以什么方式趋向无穷远?即作渐近线。渐近线与
4、实轴交点坐标 渐近线与实轴夹角 第11页/共45页例42 已知系统开环传递函数 试确定根轨迹的支数、起点和终点、渐近线。解n=3,m=0,(1)由于n=3,所以有3条根轨迹。(2)起点:-p1=0,-p2=-1和-p3=-5。终点:由于m=0,3个终点为无穷远处。(3)渐近线:与实轴的交点-及倾斜角 分别为 第12页/共45页六、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法在实轴上选取实验点si,如果实验点si右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数,则实验点所在的实验段是根轨迹,否则该实验段不是根轨迹。第13页/共45页例43 设系统开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。解:-4,-1
5、.5,-1,-0.5-4,-1.5,-1,-0.5是根轨迹,其余不是根轨迹。第14页/共45页七、根轨迹的会合点和分离点 根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开,称该点为分离点或会合点。实轴分离点和会合点的判别 实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点;实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点;实轴上开环零点、极点之间是根轨迹,可能既无分离点也无会合点,也可能既有分离点也有会合点。第15页/共45页分离点或会合点位置的计算重根法:基于代数重根法则,如果方程函数f(x)=0有重根,则f(x)=0的根也是f(x)=0的根。因此有 联立方程:求解:求得分离点。第16页/共45页极值法极值法:由于函数f
6、(x)可以在重根处获得极值,有 得求解方程即可求得分离点。第17页/共45页例44 单位反馈系统,开环传递函数为 确定分离点和会合点。解:由得方程:第18页/共45页八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角,根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角。由幅角条件 第19页/共45页出射角为入射角为第20页/共45页例45 已知开环传递函数,试确定根轨迹的出射角。解:由同理第21页/共45页例例4 46 6 已知开环传递函数,已知开环传递函数,计算根轨迹与虚轴交点。计算根轨迹与虚轴交点。特征方程九、根轨迹与虚轴的交点 计算根轨迹穿越虚轴的点。根轨迹穿
7、越虚轴,其闭环根必为纯虚根,所以,可设s=j,代入特征方程,联立实部方程和虚部方程解出。也可由劳斯判据解出第22页/共45页得实部方程与虚部方程解出第23页/共45页十、闭环系统极点之和与闭环系统极闭环系统极点之和与闭环系统极点之积点之积a)当n-m2时,闭环极点之和等于开环极点之和且为常数an-1。根轨迹走向以重心sg为中心,左右两边对称运动。(b)闭环极点之积和开环零极点关系如下。第24页/共45页4.3 控制系统根轨迹的绘制 一、单回路负反馈系统的根轨迹 例47 设系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。解:解:(1)n=2,根轨迹有2支(2)起点:sq1=-0.1,sq2=-0.5终
8、点:sz1=-1,sz2=(3)实轴根轨迹(-,-1,-0.5,-0.1 第25页/共45页(4)计算分离点、会合点(5)绘图,根轨迹为圆,可由s=+j代入特征方程证得。第26页/共45页解:(1)n=4,根轨迹有4支(2)起点:s1=0,s2=-3,s3,4=-1j终点:s1=-2,s2,3,3=,(3)实轴根轨迹(-,-3和-2,0(4)分离点和会合点:无(5)渐近线 例48 设系统开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。第27页/共45页(6)出射角(7)根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 第28页/共45页二、参量根轨迹二、参量根轨迹 除根轨迹增益Kg外其它参数变化时例如某些开环零、极点,绘制
9、的根轨迹称参量根轨迹 绘制参量根轨迹的步骤 1写出原系统的特征方程。2以特征方程中不含参量的各项除特征方程,得 系统的等效开环传递函数,该方程中原系统的 参量 即为等效系统的根轨迹增益。3绘制等效系统的根轨迹,即为原系统的参量根轨 迹。第29页/共45页解 当Kg=4时,开环传递函数 闭环传递函数 闭环特征方程 由于 等效开环传递函数 例49 控制系统如图所示,当Kg=4时,试绘制开环极点p变化时参量根轨迹。第30页/共45页四、正反馈系统的根轨迹 正反馈结构图闭环传递函数 闭环特征方程第31页/共45页条件方程又称零度根轨迹。第32页/共45页1.渐近线倾斜角修改为:5.出射角和入射角计算公
10、式修改为绘图步骤基本相同,在绘图法则中需要修改几条:3.实轴上的根轨迹:实验点右方实轴上的开环零点和 极点数总和为偶数的线段。第33页/共45页负反馈根轨迹与正反馈根轨迹在复平面上为互补的。例1负反馈正反馈第34页/共45页例2负反馈正反馈第35页/共45页例3负反馈正反馈第36页/共45页4.4 控制系统的根轨迹法分析根轨迹法分析是根据系统的结构和参数,绘制出系统的根轨迹图后,利用根轨迹图来对系统进行性能分析的分析方法。它包括:确定系统的稳定性;计算系统的动态性能和稳态性能;根据性能要求确定系统的参数等。第37页/共45页一、稳定性分析稳定性分析例48 设系统开环传递函数为根据根轨迹图分析系
11、统稳定性。解:根轨迹如图所示。临界增益:kg=7因此,系统稳定增益范围为0 kg 7第38页/共45页二、瞬态性能分析瞬态性能分析 S平面上,欠阻尼系统闭环极点位置如图所示等ts线,等Mp线,等n线,等d线第39页/共45页例412 单位反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量Mp18%,试确定开环增益。解:作根轨迹如图。超调量 Mp18%,阻尼角 60作射线交根轨迹,闭环极点为 s1=-1.2+j2.1第40页/共45页计算交点处根轨迹增益kg,由幅值条件开环增益为3个闭环极点为:-7.6 -1.2+2.1j-1.2-2.1j第41页/共45页三、条件稳定系统的分析条件稳定系统的分析例例411 设某系统开环传递函数为 作系统分析。解:作根轨迹如图。0K14,64K195参数在一定的范围内取值才能使系统稳定,这样的系统称条件稳定系统。第42页/共45页四四 稳态性能分析稳态性能分析1、无差度 系统的无差度 是由前向通路中积分环节的个数来决定的,在根轨迹图上即位于原点的开环极点的个数,很容易从图上读到。2、稳态误差ess有差系统的稳态误差大小是由系统的开环增益来确定的。因此,在根轨迹法分析中,只要计算出系统的开环增益即可以得到系统的稳态性能。第43页/共45页第44页/共45页感谢您的观看!第45页/共45页
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