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1、第二章第二章 场场 论论第一节第一节 场场 与时间无关的场称为稳定场,否则为不稳定场.1.场场:如果在空间或其部分空间的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,该物理量的一个场场.如果该物理量是数量,称它为数量场;如果该物理量是矢量,称它为矢量场矢量场或向量场向量场.分别用表示.及则称在该空间定义了关于工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论2.数量场的等值面数量场的等值面数量场的等值面数量场的等值面在数量场 中,称曲面 为该数量场的等值面.在平面场 中,称曲线为它的等值线,如等温线、等高线等.一个等值面通过;等值面族充满了数量场所在的空间
2、,而且互不相交.由于数量场是单值的,所以场中的每一点有且仅有等值面等值线工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论3.3.矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场的矢量线矢量场的矢量线设 C 为矢量场 中的曲线,如果C矢量线:上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.设 为曲线上一点,因为 ,所以矢量线满足工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论解:解:矢量线所满足的微分方程为 由得又由合比定理 例例例例1.1.求矢量场的矢量线方程.过点可得有将点 代入得所以所求矢量线方程为:工程数学工程
3、数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论第二节第二节 数量场的方向导数与梯度数量场的方向导数与梯度定义1:1.方向导数方向导数设是数量场中的一点,存在,则称此极限为 在点处沿 l 方向的方向导数,记作若沿方向 l工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论定理定理1:1:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:且有得若函数在点处可微,故在点 可微,由函数工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论定义定义定义定义2 2:设是数量场中的一
4、点,存在,则称此极限为 在点处沿曲线C(正向)的记作若沿曲线C 之正向方向导数,定理定理定理定理2:2:曲线C光滑,若在点处函数 可微、l 为 C 在 处 的切线方向(正向),则工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例1.1.在点是曲面设处指向下侧的法向量,求函数在点M处沿 的方向导数.解解:方向余弦为而法向量为所以所以工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例2 2.朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用矢量形式表示为它在点 P 的切向量为在点P(2,3)沿曲线求函数
5、工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论2.梯度梯度梯度梯度记作 gradu,即定义:定义:称向量为数量场 u(M)在设有矢量场在点处,点 M 处的梯度,引入哈密顿算子:有工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论性质:性质:性质:性质:方向:u 变化率最大的方向 模:u 的最大变化率之值1)2)3)为等值面在点 M 处的法向量,u(M)增大的一方.指向数量场注:注:称为由数量场u产生的梯度场.矢量场工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论运
6、算公式运算公式运算公式运算公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例3.3.证证:试证处矢径 r 的模,工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例4.4.作出数量场所产生的梯度场的矢量线.解解:数量场所产生其矢量线满足微分方程 所以矢量线方程为:的梯度场为工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论第三节第三节 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度定义:定义:1.通量通量简单曲线简单曲线:没有重点的连续曲线;没有重点的连续曲线;
7、简单曲面简单曲面:没有重点的连续曲面;没有重点的连续曲面;设有矢量场 ,中有向曲面S某一侧的曲面积分向积分所沿一侧叫做矢量场穿过曲面S的通量.沿其工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论设又所以通量为 当 0 时,当 0 时,当=0 时,不能判定S内有无源.表明S 内有正源源;表明S 内有负源;通量的物理意义通量的物理意义通量的表示通量的表示通量的表示通量的表示工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例1.1.解解:设由矢径构成的矢量场中,有一由圆锥面及平面所围成的封闭曲面S,试求 从
8、S内穿出S的通量.由奥-高公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论2.2.散度散度散度散度定义:定义:存在,则称此极限为 在点处的散度,记作若设有矢量场 ,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.说明说明:散度是通量对体积的变化率,且工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论定理定理定理定理:在任一点M(x,y,z)的散度为在直角坐标系中,矢量场证明:证明:由奥-高公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量
9、分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论又由中值定理得所以其中 为 中的某一点,工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论推论推论推论推论1 1:奥-高公式的矢量形式推论推论2:若在封闭曲面 S 内处处有 ,则推论推论3:或这些点的任一封闭曲面的通量都相等.若在矢量场 内某些点上有 ,不存在,而在其他点上 ,则穿出包围工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例2.2.解解:求矢量场所产生的散度场,并求此散度场通过点 M(2,-1,1)的梯度。令工程数学工程数学-矢量分析与
10、场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论散度的运算公式散度的运算公式散度的运算公式散度的运算公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例3.3.解解:已知 求由基本公式得由于故工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论第四节第四节 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度定义:定义:1.环量环量设有矢量场 ,封闭有向曲线 l按积分所取方向沿曲线 l 的环量.叫做矢量场沿其中通量表示表示的曲线积分工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与
11、场论-矢量分析与场论例例例例1.1.解解:设有平面矢量场l 为场中的星形线求沿l正向的环量工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论2.2.环量面密度环量面密度环量面密度环量面密度定义:定义:存在,中的设 M 为矢量场 记作 ,一点,若沿方向 则称此极限为 在点处沿方向 的环量面密度,即工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论定理定理定理定理:在直角坐标系中,矢量场证明:证明:由斯托克斯公式在任一点M(x,y,z)的处沿方向 的环量面密度为其中 为的方向角.工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量
12、分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论又由中值定理得所以其中 为 中的某一点,工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例2.2.解解:求矢量场在点 M(2,-1,1)沿方向环量面密度.的方向余弦为所以在点 M沿环量面密度为工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论3.3.旋度旋度旋度旋度定义:定义:称向量设矢量场在点处,为矢量场在点 M 处的旋度,记作 ,即工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论性质:性质:性质:性质
13、:方向:模:1)2)的最大环量面密度的方向的最大环量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义旋度的力学意义旋度的力学意义:工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论旋度的运算公式旋度的运算公式旋度的运算公式旋度的运算公式工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论A A的雅
14、可比矩阵的雅可比矩阵的雅可比矩阵的雅可比矩阵工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例3.3.解解:已知 求由于又及所以故工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论第五节第五节 几种重要的矢量场几种重要的矢量场线单连域线单连域:如果空间区域G内的任何一条简单闭曲线 l,都存在一个以l为边界且全部位于 G的曲面S,否则称G为线复连域.则称区域G为线单连域,面单连域面单连域:如果空间区域G内的任何一个简单闭曲面S所包围的点皆在G内(即S 没有洞),否则称G为面复连域.则称区域G为面单连域,工
15、程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论1.1.有势场有势场有势场有势场定义定义:若存在单值函数使得使得则称为有势场.称为该矢量场的势函数,即设矢量场势函数的全体可表示为定理定理定理定理:在线单连域内,为有势场工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论证明:证明:证明:证明:设为有势场,则存在单值函数使得那么由于场所在区域为线单连域,所以l 为区域内任一闭曲线;与路径无关();“”“”场保守工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论存在函数 u即
16、为有势场.注:注:1)场有势场保守场无旋2)势函数工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例1.1.解解:则存在函数 u(M),使因 是保守场,则曲线积分 与路径无关,于是其中 为场中任一点.若 是保守场,令则注:注:称为的原函数.工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例2.2.解解:证明矢量场为保守场,并计算曲线积分其中l 是从 A(1,4,1)到 B(2,3,1)为保守场.故取于是的任一路径.工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量
17、分析与场论例例例例3.3.解解:是有势场,并求其势函数 v.证明矢量场由 的雅可比矩阵得为有势场,故那么存在函数使得工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论取于是得势函数势函数的全体为工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论那么有第一个方程对x积分,得上式对y 求导,得所以有于是也就有不定积分法求势函数存在函数使得工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论即有于是所以有从而势函数上式对 z 求导,得工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场
18、论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论若2.2.管形场管形场管形场管形场定义:定义:设矢量场 ,称 为管形场(无源场).定理定理2:是矢量管上的任意两个横断面,法矢都指向 所指方向一侧,定理定理3:在面单连域内,为管形场充要条件是存在一个矢量场 ,使得 .此时称 为 的势矢量.为面单连域,任取一矢量管.其则设管形场 所在空间区域工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论若3.3.调和场调和场调和场调和场定义:定义:设矢量场 ,则称 为调和场.(1)调和函数定义:定义:如果函数 u 满足拉普拉斯方程则称函数 u 为调和函数.其中叫做拉普
19、拉斯算子.工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论(2)平面调和场平面调和场设平面调和场 1)即势函数所以工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论2)即所以令则的势函数的力函数工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论3)比较 u 和 v 可得且即 u 和 v 均为调和函数.称 v 为 u 的共轭调和函数.4)等值线分别称为 的力线与等势线,力线与等势线互相正交.工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论例例例例4.4.解解:已知调和函数求其共轭调和函数v.因为所以上式对x 求导,得即有于是所以有工程数学工程数学-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论矢量分析与场论-矢量分析与场论
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