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1、第三节 柯西不等式与排序不等式1.1.二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式内容内容等号成立的条件等号成立的条件代数代数形式形式若若a,b,c,da,b,c,dR,R,则则(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)_当且仅当当且仅当_时,等号成立时,等号成立向量向量形式形式设设 是两个向量,则是两个向量,则|_当且仅当当且仅当_或或_时,时,等号成立等号成立三角三角形式形式 设设x x1 1,y,y1 1,x,x2 2,y,y2 2R,R,那么那么_当且仅当当且仅当_时,等号成立时,等号成立(ac+bd)(ac+bd)2 2ad=bcad=bc 是零向量是零向量存在实数存
2、在实数k,k,使使P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),O(0,0)O(0,0)三点共线,且三点共线,且P P1 1,P P2 2在在原点原点O O两旁两旁2.2.三维形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3R,R,则则_._.当且仅当当且仅当_或或_时时,等号成立等号成立.(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3)2 2b b1 1=b=b2 2=b=b3 3=0=0存在一个数存在一个数k,k,使得使得a a1 1=k
3、b=kb1 1,a,a2 2=kb=kb2 2,a,a3 3=kb=kb3 33.3.一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式设设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,an n,b,b1 1,b,b2 2,b,b3 3,b,bn n是实数是实数,则则 _,_,当且仅当当且仅当_或或_时时,等号成立等号成立.(a(a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3+a+an nb bn n)2 2b bi i=0(i=1,2,3,=0(i=1,2,3,n),n)存在一个数存在一个数k,k,使得使得a ai i=kb=kbi i(i=1,2,3,(i=1,2,3,n)
4、,n)4.4.顺序和、乱序和、反序和的概念顺序和、乱序和、反序和的概念设设a a1 1a a2 2a a3 3a an n,b b1 1b b2 2b b3 3b bn n为两组实数,为两组实数,c c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b bn n的任一排列,则称的任一排列,则称a ai i与与b bi i(i=1,2,(i=1,2,n)n)按相同顺序相乘所得积的和按相同顺序相乘所得积的和_为顺序和,和为顺序和,和_为乱序和,按相反顺序相乘所得积的和为乱序和,按相反顺序相乘所得积的和_为反序和为反序和.a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an
5、 nb bn na a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn na a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 15.5.排序不等式排序不等式(排序原理排序原理)设设a a1 1aa2 2aan n,b,b1 1bb2 2bbn n为两组实数,为两组实数,c c1 1,c,c2 2,c,cn n是是b b1 1,b,b2 2,b,bn n的任一排列的任一排列,则则_ _ _,当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时,反序和等于顺序和时,反序和等于顺序和,此不等式简记为此不等
6、式简记为_顺序和顺序和.a a1 1b bn n+a+a2 2b bn-1n-1+a+an nb b1 1a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+an nc cn na a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+an nb bn n反序和反序和乱序和乱序和判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以是是 ()()(2)(2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是 (
7、)()(3)(3)顺序和与反序和可能相等顺序和与反序和可能相等.().()(4)(4)设设 ,是两个向量,则是两个向量,则|中等号成立的中等号成立的条件是存在实数条件是存在实数k k,使,使 =k .()=k .()【解析解析】(1)(1)错误错误.当当b b,d=0d=0时,柯西不等式成立,但时,柯西不等式成立,但不成立不成立.(2)(2)错误错误.当当b b1 1,b,b2 2,b,b3 3都为零时都为零时,不成立,但此时柯西不成立,但此时柯西不等式成立不等式成立.(3)(3)正确正确.当当a a1 1=a=a2 2=a=an n或或b b1 1=b=b2 2=b=bn n时,顺序和等于反
8、序和时,顺序和等于反序和.(4)(4)错误错误.当当 =0时,时,|=|.|=|.答案:答案:(1)(1)(2)(3)(4)(2)(3)(4)考向考向 1 1 二维柯西不等式代数形式的应用二维柯西不等式代数形式的应用 【典例典例1 1】已知已知x+y=1,x+y=1,则则2x2x2 2+3y+3y2 2的最小值为的最小值为_._.【思路点拨思路点拨】分析已知条件与待求代数式的关系设法凑出柯西分析已知条件与待求代数式的关系设法凑出柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式求解不等式的结构特征,利用柯西不等式求解.【规范解答规范解答】2x2x2 2+3y+3y2 2=(2x=(2x2 2+3y+3y2
9、2)()()=(x+y)=(x+y)2 2=当且仅当当且仅当 即即2x=3y2x=3y时等号成立,又时等号成立,又x+y=1x+y=1,即即x=y=x=y=时,等号成立时,等号成立.答案:答案:【拓展提升拓展提升】正确理解柯西不等式正确理解柯西不等式(1)(1)柯西不等式的几种形式都涉及对不等式的理解与记忆,因柯西不等式的几种形式都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由的一种不等关系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔
10、细体会两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会.(a.(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2,(a,(a2 2+b+b2 2)(d)(d2 2+c+c2 2)(ad+bc)(ad+bc)2 2,谁与谁组合、联系,要,谁与谁组合、联系,要有一定的认识有一定的认识.“二维二维”是由向量的个数来说的,在平面上一是由向量的个数来说的,在平面上一个向量有两个量:横、纵坐标,因此个向量有两个量:横、纵坐标,因此“二维二维”就要有四个量,就要有四个量,还可以认为是四个数组合成的一种不等关系还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.(2)(2)根据题设条件,综合
11、地利用添、拆、分解、组合、配方、根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口破口.【变式训练变式训练】设设x x0,y0,y0,x+y40,x+y4,则,则 的最小值的最小值为为_._.【解析解析】1.1.当且仅当当且仅当即即x=yx=y时等号成立,此时时等号成立,此时x+y=4x+y=4,即,即x=2x=2且且y=2.y=2.答案:答案:1 1考向考向 二维柯西不等式的向量形式的应用二维柯西不等式的向量形式的应用【典例典例】已知已知p,qRp,qR+,且,且p p3 3+q+q3 3
12、=2,=2,则则p+qp+q的最大值为的最大值为_._.【思路点拨思路点拨】设置出基本向量,凑出公式结构设置出基本向量,凑出公式结构,利用柯西不等利用柯西不等式求解式求解.【规范解答规范解答】设设m=(),=(),n=(),=(),则则p p2 2+q+q2 2=|=|mn|m|n|=又又(p+q)(p+q)2 22(p2(p2 2+q+q2 2),),则则(p+q)(p+q)4 48(p+q),8(p+q),(p+q)(p+q)3 38,p+q2.8,p+q2.当且仅当当且仅当 即即p=qp=q时等号成立,此时时等号成立,此时2p2p3 3=2=2,p=q=1.p=q=1.答案:答案:2 2
13、【互动探究】【互动探究】若本例条件中若本例条件中“p p3 3+q+q3 3=2”=2”改为改为“p p2 2+q+q2 2=2”=2”,则,则p+qp+q的最大值为的最大值为_._.【解析解析】pp2 2+q+q2 2=2,(p=2,(p2 2+q+q2 2)(1)(12 2+1+12 2)(p+q)(p+q)2 2,4(p+q)4(p+q)2 2,p+q2.,p+q2.当且仅当当且仅当p1=q1p1=q1即即p=q=1p=q=1时,等号成立时,等号成立.答案:答案:2 2【拓展提升拓展提升】二维柯西不等式的向量形式应用方法与技巧二维柯西不等式的向量形式应用方法与技巧(1)(1)应用二维柯西
14、不等式的代数形式证题时应用二维柯西不等式的代数形式证题时,常需要构造两列数,常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式,由柯西不等式证向另一造的向量满足待证不等式一侧的形式,由柯西不等式证向另一侧侧.(2)(2)要注意向量模的计算公式要注意向量模的计算公式.例如,例如,a=(x,y),|=(x,y),|a|=|=对数对数学式子的影响学式子的影响.(3)(3)求最值时有时要与基本不等式结合应用求最值时有时要与基本不等式结合应用.【变式备选变式备选】函数函数f(x)=3cosx+
15、4 f(x)=3cosx+4 的最大值为的最大值为_._.【解析解析】设设m=(3,4),=(3,4),n=(cosx,),=(cosx,),则则f(x)=3cosx+4 =|f(x)=3cosx+4 =|mn|m|n|=当且仅当当且仅当mn时上式等号成立时上式等号成立.此时此时3 =4cosx,3 =4cosx,解得解得sinx=cosx=sinx=cosx=答案:答案:考向考向 2 2 利用三维柯西不等式求最值利用三维柯西不等式求最值【典例典例2 2】(2013(2013哈尔滨模拟哈尔滨模拟)已已a,b,c(0,+),a,b,c(0,+),=2,=2,则则a+2b+3ca+2b+3c的最小
16、值为的最小值为_._.【思路点拨思路点拨】分析待求式子的结构特征,结合已知条件构造两组分析待求式子的结构特征,结合已知条件构造两组数,利用柯西不等式求解数,利用柯西不等式求解.【规范解答规范解答】()()(a+2b+3c)=(a+2b+3c)=(1+2+3)=(1+2+3)2 2=36,=36,又又 =2,a+2b+3c18,=2,a+2b+3c18,当且仅当当且仅当a=b=c=3a=b=c=3时等号成立时等号成立.答案:答案:1818【拓展提升拓展提升】三维柯西不等式的应用三维柯西不等式的应用由由a,b,ca,b,c构成新的数字形式,而形成三维的柯西不等式,需要构成新的数字形式,而形成三维的
17、柯西不等式,需要有较高的观察能力,从所给的数学式的结构中看出,常用的技有较高的观察能力,从所给的数学式的结构中看出,常用的技巧有以下几种:巧有以下几种:(1)(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序序.(3)(3)构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变式子的结构.(4)(4)构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项.【变式训练变式训练】已知已知x+
18、4y+9z=1,x+4y+9z=1,则则x x2 2+y+y2 2+z+z2 2的最小值为的最小值为_._.【解析解析】x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=(x=(x2 2+y+y2 2+z+z2 2)(1(12 2+4+42 2+9+92 2)(x+4y+9z)(x+4y+9z)2 2=当且仅当当且仅当x=y=z=x=y=z=时等号成立时等号成立.答案:答案:考向考向 3 3 排序不等式的应用排序不等式的应用【典例典例3 3】已知已知a,b,ca,b,c为任意正数,则为任意正数,则 的最小值的最小值为为_._.【思路点拨思路点拨】题目中没有给出题目中没有给出a,b,ca,b,c的大小顺
19、序,且的大小顺序,且a,b,ca,b,c在不在不等式中的地位是均等的,不妨设等式中的地位是均等的,不妨设abc,abc,再利用排序不等式等再利用排序不等式等号成立时求最小值号成立时求最小值.【规范解答规范解答】不妨设不妨设abcabc0 0,则,则a+ba+cb+ca+ba+cb+c,由排序不等式得:由排序不等式得:两式相加,则两式相加,则2()3,2()3,即即 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时,时,取最小值取最小值答案:答案:【拓展提升拓展提升】排序不等式的应用技巧排序不等式的应用技巧(1)(1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,排序原理是对不同的两个数组来研究不同
20、的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种能构造的和按数组中的某种“搭配搭配”的顺序被分为三种形式:的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的是怎样的“次序次序”即可即可.(2)(2)在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,可用排们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,可用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系
21、来解题等关系来解题.【变式训练变式训练】已知两组数已知两组数a a1 1aa2 2aa3 3aa4 4aa5 5,b b1 1bb2 2bb3 3bb4 4bb5 5,其中其中a a1 1=2,a=2,a2 2=7,a=7,a3 3=8,a=8,a4 4=9,a=9,a5 5=12,=12,b b1 1=3,b=3,b2 2=4,b=4,b3 3=6,b=6,b4 4=10,b=10,b5 5=11,=11,将将b bi i(i=1,2,3,4,5)(i=1,2,3,4,5)重新排列记为重新排列记为c c1 1,c,c2 2,c,c3 3,c,c4 4,c,c5 5,则则a a1 1c c1 1+a+a2 2c c2 2+a+a3 3c c3 3+a+a5 5c c5 5的最大值为的最大值为_,_,最小值为最小值为_._.【解析解析】由顺序和最大知由顺序和最大知最大值为:最大值为:a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3+a+a4 4b b4 4+a+a5 5b b5 5=304,=304,由反序和最小知由反序和最小知最小值为:最小值为:a a1 1b b5 5+a+a2 2b b4 4+a+a3 3b b3 3+a+a4 4b b2 2+a+a5 5b b1 1=212.=212.答案:答案:304 212304 212
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