数学分支巡礼.pdf
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1、数学分支巡礼最 早 的 数 学 一 算 术算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。“算术”这个词,在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学科的名称,都是后来很晚的时候才有的。国外系统地整理前人数学知识的书,要算是希腊的欧几里得的 几何原本最早。几何原本全书共十五卷,后两卷是后人增补的。全书大部分是属于几何知识,在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算,属于算术的内容。现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数(音属,Shu三音)数的技术”变化而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思,表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“
2、算术”包含当时的全部数学知识与计算技能,流传下来的最古老的 九章算术以及失传的许商 算术和 杜 忠 算术,就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。关于算数的产生,还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的,有不同类型的量,也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段,由于人类日常生活与生产实践中的需要,在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物,如果说两棵树,就是一棵再一颗;如果有三只羊,就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊,半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉,而不能算作树和羊。不过,自然数
3、不足以解决生活和生产中常见的分份问题,因此数的概念产生了第一次扩张。分数是对另一种类型的量的分割而产生的。比如,长度就是一种可以无限地分割的量,要表示这些量,就只有用分数。从已有的文献可知,人类认识自然数和分数的历史是很久的。比如约公元前2000年流传下来的古埃及莱茵德纸草书,就记载有关于分数的计算方法;中国殷代遗留下来的甲骨文中也有很多自然数,最大的数字是三万,并且全部是应用十进位制的位置计数法。自然数和分数具有不同的性质,数和数之间也有不同的关系,为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法,这四种方法就是四则运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来,并加以整理
4、,就形成了最古老的一门数学算术。在算术的发展过程中,由于实践和理论上的要求,提出了许多新问题,在解决这些新问题的过程中,古算术从两个方面得到了进一步的发展。一方面在研究自然数四则运算中,发现只有除法比较复杂,有的能除尽,有的除不尽,有的数可以分解,有的数不能分解,有些数又大 于 1 的公约数,有些数没有大于1 的公约数。为了寻求这些数的规律,从而发展成为专门研究数的性质、脱离了古算术而独立的一个数学分支,叫做整数论,或叫做初等数论,并在以后又有新的发展。另一方面,在古算术中讨论各种类型的应用问题,以及对这些问题的各种解法。在长期的研究中,很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也就是
5、说,能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解决同样类型的应用问题,于是发明了抽象的数学符号,从而发展成为数学的另一个古老的分支,指就是初等代数。数学发展到现在,算术已不再是数学的一个分支,现在我们通常提到的算术,只是作为小学里的一个教学科目,目的是使学生理解和掌握有关数量关系和空间形式的最基础的知识,能够正确、迅速地进行整数、小数、分数的四则运算,初步了解现代数学中的一些最简单的思想,具有初步的逻辑思维能力和空间观念。现代小学数学的具体内容,基本上还是古代算术的知识,也就是说,古代算术和现代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也还存在着区别。首先,算术的内容是古代的成人包括数学家所研
6、究的对象,现在这些内容已变成了少年儿童的数学。其次,在现代小学数学里,总结了长期以来所归结出来的基本运算性质,就是加法、乘法的交换律和结合律,以及乘法对加法的分配律,这五条基本运算定律,不仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质,也是整个数学里,特别是代数学里着重研究的主要性质。第三,在现代的小学数学里,还孕育着近代数学里的集合和函数等数学基础概念的思想。比如,和、差、积、商的变化,数和数之间的对应关系,以及比和比例等。另外,现在小学数学里,还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们的四则运算。应当提出的是十进小数不是一种新的数,而可以被看作是一种分母是10的方塞的分数的另一种写法。我们在这里把算术
7、列成第一个分支,主要是想强调在古代全部数学就叫做算术,现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来,算学、数学的概念出现了,它代替了算术的含义,包括了全部数学,算术就变成了一个分支了。因此,也可以说算术是最古老的分支。高等代数初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初
8、步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,其运算性质也由很大的不同了。高等代数发展简史代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求
9、解方法。关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的 缉古算经就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶再他所著的 数书九章这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式卡当公式。在数学史上,相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(15011576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔
10、塔里亚公式。三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(15221560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没有解决。到了十九世纪初,挪威的一位青年数学家阿贝尔(18021829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难,而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。后来,五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题,由法国的一位青年数学家伽罗
11、华彻底解决了。伽罗华20岁的时候,因为积极参加法国资产阶级革命运动,曾两次被捕入狱,1832年4月,他出狱不久,便在一次私人决斗中死去,年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说:“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的;有些是关于整函数的。公开请求雅可比或高斯,不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在 百科评论中。他的论文手稿过了 14年,才由刘维尔(18
12、091882)编辑出版了他的部分文章,并向数学界推荐。随着时间的推移,伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻,但是他在数学史上做出的贡献,不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念,并由此发展了一整套关于群和域的理论,开辟了代数学的一个崭新的天地,直接影响了代数学研究方法的变革。从此,代数学不再以方程理论为中心内容,而转向对代数结构性质的研究,促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中,伽罗华的论文是最薄的,但他的数学思想却是光辉夺目的。高等代数的基本内容代数学从高等代数总的问题出发,又发展成
13、为包括许多独立分支的一个大的数学科目,比如:多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象,也已不仅是数,还有矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。多项式是一类最常见、最简单的函数,它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上
14、和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点,零点不存在的时候,所对应的代数方程就没有解。我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。生活中的几何一欧式几何几何学发展简况“几何”这个词在汉语里是“多少?”的意思,但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。“几何”这个词的词义来源于希腊文,原意是土地测量,或叫测地术。几何学和算术一样产生于实践,也可以说几何产生的历史和算术是相似的。在远古时代,人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念,并且逐步
15、认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系,这些后来就成了几何学的基本概念。正是生产实践的需要,原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识是零散的,而且大多数是经验性的,但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的儿何知识之上的。儿何学史数学中最古老的分支之一,也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是儿何学的重要发源地。大量出土文物证明,在我国的史前时期,人们已经掌握了许多儿何的基本知识,看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制,一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿,都足以说明当时
16、人们掌握的儿何知识是多么丰富了。儿何之所以能成为一门系统的学科,希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣,生产比较发达,一批学者热心追求科学知识,研究儿何就是最感兴趣的内容,在这里应当提及的是哲学家、儿何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展儿何学的贡献。柏拉图把逻辑学的思想方法引入了儿何,使原始的儿何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授儿何学,已经运用逻辑推理的方法对儿何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人,他所提出的“三段论”的演绎推理的方法,对于几何学的发展,影响更是巨大的。到今天,在初等儿何学中,仍是运用三段论
17、的形式来进行推理。但是,尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识,这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把儿何总结成一门具有比较严密理论的学科的,是希腊杰出的数学家欧几里得。欧儿里得在公元前300年左右,曾经到亚历山大城教学,是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学,深知柏拉图的一些儿何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切儿何事实,按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法,整理成一门有着严密系统的理论,写成了数学史上早期的巨著 儿何原本。儿何原本的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里,全部儿何知识都是从最初的儿个假设除法、运用逻辑推理的方
18、法展开和叙述的。也就是说,从 儿何原本发表开始,儿何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。欧儿里得的 儿何原本欧儿里得的 儿何原本共有十三卷,其中第一卷讲三角形全等的条件,三角形边和角的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积(面积相等)的条件;第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形;第三卷讲圆;第四卷讨论内接和外切多边形;第六卷讲相似多边形理论;第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论;最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出,目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在 几何原本 里了。因此长期以来,人们都认为 几何原本 是两千多年来传播儿何知识的标准教
19、科书。属 于 儿何原本内容的儿何学,人们把它叫做欧儿里得儿何学,或简称为欧式儿何。儿何原本最主要的特色是建立了比较严格的儿何体系,在这个体系中有四方面主要内容,定义、公理、公设、命 题(包括作图和定理)。几何原本第一卷列有23个定义,5条公理,5条公设。(其中最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。它引发了儿何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧儿何。)这些定义、公理、公 设 就 是 儿何原本全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑
20、推理给予仔细证明。关于儿何论证的方法,欧儿里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了,分析这时候成立的条件,由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始,逐步的导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下,否定结论,从结论的反面出发,由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果,从而证实原来命题的结论是正确的,也称作反证法。欧儿里得 儿何原本的诞生在儿何学发展的历史中具有重要意义。它标志着儿何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。从欧儿里得发表 儿何原本到现在,已经过去了两千多年,尽管科学技术日新月异,但是欧儿里得儿何学仍旧是中学生学
21、习数学基础知识的好教材。由于欧氏儿何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点,在长期的实践中表明,它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习儿何中得到益处,从而作出了伟大的贡献。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本 几何原本,开始他认为这本书的内容没有超出常识范围,因而并没有认真地去读它,而对笛卡儿的“坐标儿何”很感兴趣而专心攻读。后来,牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选,当时的考官巴罗博士对他说:“因为你的儿何基础知识太贫乏,无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是,牛顿又重新把 儿何原本从头到尾地反
22、复进行了深入钻研,为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学,并且应用几何学的思想方法,开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时,特别提到在十二岁的时候“儿何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来,儿何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数儿个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中,爱因斯坦就是运用这种思想方法,把整个理论建立在两条公理:相对原理和光速不变原理。在儿何学发展的历史中,欧儿里得的 儿何原本起了重大的历史作用。这种作用归结到一点,就是提出了儿何学的“
23、根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的 儿何原本中,就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部儿何学,这项工作,前人未曾作到。但是,在人类认识的长河中,无论怎样高明的前辈和名家,都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制,欧儿里得在 儿何原本中提出儿何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决,他的理论体系并不是完美无缺的。比如,对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义,这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如,欧儿里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念,但是在 儿何原本中从未提到过这个概念。现代几何公理体系人 们 对 几何原本中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现,正是推动几何学不断
24、向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上,在 他1899年 发 表 的 儿何基础一书中提出了一个比较完善的儿何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。希尔伯特不仅提出了一个完善的儿何体系,并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个儿何公理系统中,采取哪些公理,应该包含多少条公理,应当考虑如下三个方面的问题:第一,共存性(和谐性),就是在一个公理系统中,各条公理应该是不矛盾的,它们和谐而共存在同一系统中。第二,独立性,公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的,没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。第三,完备性,公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科
25、的任何新命题。这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法,成了数学中所谓的“公理化方法”,而把欧几里得在 几何原本提出的体系叫做古典公理法。公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点,在公理法理论中,由于基本对象不予定义,因此就不必探究对象的直观形象是什么,只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看,我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物,只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等,使这些关系满足公理系统中所规定的要求,这就构成了儿何学。因此,凡是符合公理系统的元素都能构成儿何学,每一个儿何学的直观形象不止只有一个,而是可能有无穷多个,每一
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