数学建模讲稿(统稿含目录).pdf
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1、数学建模讲稿东华理工大学数学系熊思灿第 1 章 数学建模导言.31.1 数学科学的重要性.31.2 数学模型与数学建模.3一、数学模型(Mathematical M odel,重结果).3二、数学建模(Mathematical M odeling,重过程).51.3 数学建模竞赛.7一、美国大学生数学建模竞赛与美国大学生交叉学科数学建模竞赛(MCM&ICMin USA).7二、中国大学生数学建模竞赛(CUMCM).81.4 数学建模的教与学.10一、从学习角度.10二、从教学角度.10第 2 章 Mathematica 使用入门.112.1 概述及其使用说明.12一、Mathematica 的
2、特色.12二、应用Mathematica软件的几点说明.122.2 矩阵、函数及运算符.14一、矩 阵(列表).14二、函数.17三、运算符.212.3 绘图功能.22一、二维图.22二、三维图.242.4 解方程.24一、解线性方程组.24二、解微分方程.242.5 微积分、统计及曲线拟合.25一、求极限.25二、求导数.25三、求积分.25四、级数求和与展开.25五、求最值.26六、求统计量.26七、数据拟合.262.6 程序设计.27一、条件控制.27二、循环控制.28三、异常控制.28第 3 章 Matlab使用入门.293.1 软件概述及Notebook使用.29一、软件概述.29二
3、、Notebook使用说明,在 word中运行Matlab.303.2 矩阵及运算.30一、矩阵的直接输入.31二、矩阵的函数生成.31三、矩阵的裁剪与拼接.32四、矩阵的基本运算.33五、矩阵的特殊运算.343.3 常用数学函数.35一、语句.35二、标量函数.36三、向量函数.36四、矩阵函数.373.4 图形功能.38一、二维图形.38二、三维图形.443.5 程序设计.46一、关系运算.46二、逻辑运算.47三、条件和循环语句.48四、脚本M-文件.51五、函数M-文件.52第 4 章 初等模型.544.1 黄金分割.544.2 椅子放稳问题.564.3 常染色体隐性病模型.57第 5
4、 章 优化模型.605.1 无约束最优化.605.2 线性规划.62一、线性规划模型的建立.62二、线性规划的标准形式.63三、线性规划模型求解.635.3 非线性规划.64第 6 章 微分方程模型.726.1 凶杀案作案时间的推断问题.726.2 人口增长模型.73一、Malthus 模型.73二、Logistic 模型.756.3 慢跑者与狗.77第 7 章 回归模型.787.1 一元线性回归.79一、一元线性回归模型.79二、回归方程的显著性检验.80三、回归系数的区间估计.81四、回归函数值的点估计及置信区间.82五、的观测值的点预测和预测区间.82六、可化为一元线性回归的非线性回归.
5、827.2 多元线性回归.83一、多元线性回归模型.83二、回归模型的检验.84三、Matlab 实现.857.3 非线性回归.86一、多项式回归(拟合).86二、非线性回归.86第 8 章 模拟模型.888.1 随机数的产生.88一、均匀分布随机数.88二、任意分布随机数.888.2 蒙特卡洛模拟.89一、基本思想.89二、估计定积分.898.3 离散随机变量模拟.918.4 排队服务系统的模拟.958.5 追逐轨迹问题.96参考文献.98第 1 章数学建模导言1.1 数学科学的重要性众所周知,人类已经进入了以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代。定量化和数字化技术得到了迅速
6、发展,并应用于诸多领域。随着社会的发展,科学技术的更新,特别是计算机技术的飞速发展和广泛应用,使得数学的应用越来越广泛,数学的应用正在向一切领域渗透。当今世界上已公认:一门科学从定性描述到定量分析,是这门科学达到成熟的重要标志。“数学是科学的大门和钥匙”一一英国著名哲学家Bacon(培根)。“高技术本质上是一种数学技术”一一中国科学院院士、全国大学生数学建模竞赛委员会主任、复旦大学李大潜教授。总之,科学、社会的发展离不开数学。1.2 数学模型与数学建模一、数 学 模 型(Mathematical M odel,重结果)1、模型所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。(1)、
7、对实体本身的模拟:对飞机形状进行模拟的模型飞机。(2)、对实体某些属性的模拟:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机。(3)、对实体某些属性的抽象:一张地质图是某些地貌情况的抽象。注意:任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化,决不是真实系统的重现。2、数学模型(1)、现实与数学之间的桥梁。(2)、一种抽象模型,区别于具体模型。(3)、对某一特定对象,为了某个特定目的,根据特有的内在规律,作出一些必要地简化与假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构(数学符号、数学公式、程序、图、表等。(4)、用数学术语对现实问题的具体描述;它或者能解释特定对象的现实形态,或者能预测对象未来状况,或者能提供处理
8、对象的最优决策或控制。3、数学模型分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种。(1)、按照模型研究对象所属学科或模型的应用领域分人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等。范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学、数理金融学等。(2)、按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分初等模型、几何模型、微分方程模型、概率统计模型、图论模型、马氏链模型、规划模型等.(3)、按照模型的表现特性又有几种分法确定性模型(经典数学方法)、随机性模型(概率论、数理统计和随机过程)和模糊模型(模糊集合理论、
9、模糊逻辑及模糊决策)。静态模型和动态模型,取决于是否考虑时间因素引起的变化。线性模型和非线性模型,取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的。离散模型和连续模型,指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的。虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的,但是由于确定性、静态、线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定。在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法。(4)、按照建模目
10、的分描述性模型、分析模型、预报、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。(5)、按照对模型结构的了解程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙。白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了。灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做。至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象。有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理
11、,但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理。当然,白、灰、黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的。注意:数学模型的分类并没有什么重要意义,因为对一个具体的现实问题而言,数学建模没有确定的模式,没有普遍适用的准则,它与问题的性质、建模的目的、建模者的数学素养有关。二 数 学 建 模(Mathematical M odeling,重过程)1、数学建模(1)、架设桥梁、创立数学模型的全过程。(2)、是运用数学的思维方式,数学的语言,获得数学模型,对其求解,得到结论并验证结论是否正确的全过程。(3)、数学建模方法是一种数学的思考方法
12、,它是近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。2、数学建模的一般方法(1)、机理分析法机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义。(2)、测试分析法测试分析方法就是将研究对象视为一个“黑箱”系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。对许多实际问题,常常将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法,在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对
13、象的了解程度和建模目的来决定。(3)、计算机模拟借助于计算机的快速计算,对实际研究对象的属性或变量进行模拟,可视为对研究对象进行的“实验”或“观察”。3、数学建模的一般步骤(1)、问题分析 了解问题背景,明确建模目的,搜集必要信息。(2)、模型假设 根据对象的特征和建模目的,抓住问题本质,忽略次要因素,作出必要、合理的简化和假设。所谓假设合理是指这些假设既能反映问题的本质特征,又能使问题得到简化,便于进行数学描述。(3)、建立模型在分析和假设的基础上,利用合适的数学工具去刻画各变量之间的关系,建立相应的数学结构即建立数学模型,把问题化为数学问题。要注意尽量采取简单的数学工具,借鉴已有数学模型.
14、因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用。所以建模的原则就是:在能达到预期目的的前提下,所用数学工具越简单、越大众化越好。(4)、模型求解利用已知的数学方法来求解得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设。在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解。因此,熟练利用数学软件会给我们求解带来方便。(5)、模型分析对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。(6)、模型检验分析
15、所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改、补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善。(7)、模型应用所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善。应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的,一般不属于数学建模课程的内容。图数学建模流程图1.3数学建模竞赛一 美国大学生数学建模竞赛与美国大学生交叉学科数学建模竞赛(MCM&ICM inUSA)Mathematical Contest in Modeling(MCM),The Interdisciplinary Contest in Modeling(ICM)http: 于
16、 1985年,ICM始 于 1999年,是由美国数学学会、美国工业与应用数学学会、美国运筹及管理科学研究所、美国国家安全局等机构联合举办的国际性大学生数学建模竞赛。其宗旨是鼓励大学生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法,每队在 4 天内对一考题展开设计,要求以清楚定义的格式写出解法论文。每年2 月中旬,竞赛的组委会在官方网站上公布由应用数学家提出的有强烈应用背景的两个竞赛题目,参赛学生以3 人组成一队,任选一题,利用数学模型方法解决,即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题转化为数学模型,然后运用各种数学方法及计算机技术进行求解,验证模型的合理性,并用该数学模型
17、所提供的解答来解释现实问题。竞赛不仅要求参赛选手具有扎实的数学、计算机和论文写作能力,而且还要有很强的英语表达能力。竞赛设立四个奖项,分别为Outstanding Winner(特等奖)、Meritorious Winner(一等 奖)、Honorable Mention(二等奖)和 Successful Participant(成功参赛奖)。1989年我国大学生(北京大学、清华大学、北京理工大学共4 个队)首次参加美国大学生数学建模竞赛,自此每年我国都有同学参加这项竞赛。2009年美国大学生数学建模竞赛于美国时间2009年 2 月 5 日到9 日举行,共有中国、中国(香港)、美国、澳大利亚、
18、加拿大、芬兰、德国、匈牙利、印度尼西亚、爱尔兰、墨西哥、新加坡、南非、英 国 14个国家和地区的高校、研究单位的2049支队伍参赛。其中参赛 MCM的 1675个队,参赛ICM 的 374个队。中国有190所高校、3 所中学1624支队伍成功参赛,约占79%。总共9 个队获MCM-2009的特等奖,2 个队获ICM-2009的特等奖。中国参赛队中,清华大学有一个队获MCM-2009的特等奖。位于徐州的中国矿业大学有一个 队 获 ICM-2009的特等奖并荣获INFORMS奖(美国运筹学与管理科学学会奖)。此次比赛获奖队伍 783 支,其中特等奖(Outstanding Winner)11 个
19、队(0.5%);一 奖(MeritoriousWinner)330 个 队(16%),;二 等 奖(Honorable Mention)442 个 队(21.5%)。中国学生竞赛结果统计见下表。表注:a.其中包括香港特区9 个队;b.其中包括香港特区3 个队。参赛队伍特等奖队数一等奖队数二等奖队数三等奖队数总数中国总数中国总数中国总数中国总数中国MCM16751282a91294179298256107484676.53%11.10%60.88%85.91%78.77%ICM374342621362614413519218091.44%50.00%72.20%93.70%93.75%2009年
20、美国竞赛题有两个,一 个 是 Designing a Traffic Circle,即如何设计交通转盘的信号控制系统,以提高交通流量。另一个是 Energy and the Cell Phone,讨论电话座机被手机逐步替代后对能源消耗的影响。赛题涉及公共交通、通讯、环境资源等热点问题,具有广泛的实际背景和应用潜力。中国学生参加美赛历年情况统计表时间院校比例MCMICM获特等奖队队数比例队数比例1989.2341996.2.9-1139115复旦大学,中国科技大学1997.2.7-9华东理工大学1998.2.6-8清华大学1999.2.6-84319%15532%浙江大学2000.2.6-846
21、20%16934%国防科技大学2001.2.9-126226%19840%3846%2002.221641%5451%2003.230047%浙江大学、北京大学、东南大学、东华大学2004.239854%成都电子科技大学2005.23X960%12576%华东理工大学2006.246662%19487%上海交通大学,浙江工业大学2007.262766%23586%北京大学,国防科技大学;吉林大学,杭州电子科技大学2008.284973%35794%国防科技大学,北京邮电大学2009.219079%167577%37491%清华大学;中国矿业大学(徐州)裕注:从 1999年起,增加交叉学科建模竞
22、赛作为C 题,从 2001年起两项竞赛分开。二 中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling(CUMCM)http:1988年 6 月,叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模竞赛发起者和负责人Fusaro教授了解这项竞赛的情况,商讨中国学生参赛的办法和规则。1990年 6 月 22号至7 月 1 号,美国Fusaro教授访问北京和上海,作了有关美国大学生数学建模竞赛的报告,并与叶其孝、姜启源等讨论数学建模竞赛的组织工作。1990年 12月 7 号至9 号,上海市举办大学生(数学类)数学模型竞赛
23、,这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛。1992年 11月 27号至29号,部分城市大学生数学模型联赛举行,这是全国性的首届竞赛,10省(市)79所院校的314队参加。教育部领导及时发现并扶植、培育了这一新生事物,决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛。本竞赛每年9 月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3 天,72 小时)举行,竞赛面向全国大专院校的学生,不分专业(但竞赛分本科、专科两组,本科组竞赛所有大学生均可参加,专科组竞赛只有专科 生(包括高职、高专生)可以参加)。大学生以队为单位参赛,每队3 人(须属于同一所学校),研究生不得参加
24、。每队可设一名指导教师(或教师组),从事赛前辅导和参赛的组织工作,但在竞赛期间必须回避参赛队员,不得进行指导或参与讨论,否则按违反纪律处理。竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件,可以在国际互联网上浏览。但不得与队外任何人(包括在网上)讨论。全国大学生数学建模竞赛的目的在于激励大学生学习数学的积极性,提高大学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力,鼓励大学生踊跃参加课外科技活动,开拓知识面,培养创造精神及合作意识,推动大学数学教学体系、教学内容和教学方法的改革。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题,不要求参赛者预先掌握深入的专门知识,只
25、需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求,完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文(即答卷)。我国大学生数学建模竞赛分全国奖与赛区设奖,首先是各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会,评选本赛区的一等、二 等 奖(也可增设三等奖),获奖比例一般不超过三分之一,其余凡完成合格答卷者可获得成功参赛证书。然后各赛区组委会按全国组委会规定的数量将本赛区的优秀答卷送全国组委会。全国组委会聘请专家组成全国评阅委员会,按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出特等奖、全国一等、二等奖,一、二等奖获奖比例
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