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1、证明正定矩阵(共7篇)篇:正定矩阵的几种经典证明方法科技论坛正定矩阵的几种经典证明方法封京梅(陕西广播电视大学,陕西西安)摘要:矩阵是数学中一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要利用特征值,单位矩阵,上三角矩阵,可逆矩阵等知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质,希望能起到推广正定矩阵应用的作用。关键词:正定矩阵;可逆矩阵;特征值;主子式零,由归纳法的假设可知。是正定矩阵,换句话说存在可逆的一引言矩阵的思想很早就已经有了,至少可以追溯到汉代中国学者在级矩阵使(是一
2、级单位矩阵),解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展,矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了,而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用正定矩阵的瓶颈,为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性质首先,对以下名词加以说明:正定矩阵:实数域上二次型刷,若对任意一,恐,),;均有价。,则称)为正定二次型,此时称为正定矩止时令,日一阵。主子式:在一个矩阵中取出相同的行,相同的列,其交叉位置就有,两边取行列式一上的元素重新组成的子矩阵的行列式叫做主子式,通常记为:【有(。(由条件,因此,刮顺序主子式的定义:子式令再二显然:】【二刊二】,故矩阵与单位矩阵合
3、同,因此是正定矩阵或者说二次型厂(,)是正定的,根据归纳法的原理,充分性得证。称为矩阵()的顺序主子式。定理如果的主子式均大于零,则为正定矩阵。证明:必要性:有定理显然成立。正交矩阵:为实矩阵且有丁一。充分性:设()为正定矩阵,反对称矩阵:若是实矩阵且满足一丁,则称其为反对称阵。陧证明方法也为(“的任意一个阶主子式(,定义实数域上二次型,若对任意,),均有(,则称删为正定二次型,此时称为正定矩阵详细证明过程见】。定理如果的顺序主子式均大于零,则为正定矩阵。作两个二次型和,对任意(,)和(,),证明:必要性:(,),:是正定的,对于每一个其中一恪一,由于是正定矩阵,故,从而。由的任意性,可知。是
4、正定二次型,即,由此得定理如果的正惯性指数,则为正定矩阵。证明:设二次型(:,)经过非退化线性替换后变为标准,令(而)毒害我们来证明是一个元的正定二次型。对于任意一组不全为零的实数(,)有证。(,恐,):(,)型:。()因此厂(,)是正定的,由定义可知与对应的矩阵的,(,)为正定的当且仅当()为正定二次型,而我们知道二次行列式型是正定的当且仅当,。即正惯性指数是。证毕,此方法说明正定二次型,(,)的规范型是咒。呲一定理如果矩阵合同于单位矩阵,则为正定矩阵。有定理显然成立。肚即矩阵的顺序主子式均大于零。充分性:对作数学归纳法当时,(,二由条件,显然有(是正定的。假设充分性的论断对于一元的二次型已
5、经成立,现在证明元的情形令定理如果矩阵的特征值全大于零,则为正定矩阵。证明:因为对任意的一个级实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得成为对角矩阵。若为正定矩阵,一定为对称矩阵,故存在阶正交矩阵,使得,一,:,为正定矩阵当且仅当合同于一个单位矩阵,有矩阵合同的传递性,可知,(,),得证。定理如果对于矩阵存在非退化矩阵,使得,则为正定矩阵。因为的顺序主子式全大于零,故的顺序主子式也全大于证明:为正定矩阵当且仅当合同一个单位矩阵,即存在可逆(下转页)于是矩阵可以分块写成科技论坛。一,因此拒绝域为,)。而一,则说明见表。(,:一)样本数据未落入拒绝域中,故在。下接受原假设。即认为该计算统计量的观察值)
6、(一。在显著性水土样的偏离度服从正态分布。平下查自由度为的分布表,得临界值其余个土样可做类似的检验,经计算只有粘一粉),由知不能拒绝原假设,所以认为两台仪器个土样是拒绝原假设的,因而总体来说,仪器的性能是良好的。的测量误差是由随机因素引起的,不存在系统偏差,两台仪器的性平行性测量结果分析能相同,仪器的稳定性很好,该种仪器可以被推广使用。结论两个研究所从同一厂家购买了两台同一型号的激光粒度分析仪,并分别在各自的研究所对相同的土样进行了测量,相应的得到对激光粒度分析仪所测数据在两个方面:重复性测量结果分析对仪器的性能进行了误差分析。重复性测两组测量数据。下面对这两组数据进行比较分析,观察两台仪器的
7、和平行性测量结果分析,测量结果之间是否存在系统误差。量结果分析主要是一台仪器对多个土样重复测量的数据进行分析结果表明测量结果仅有随机偏差,不存在系统偏差,从而说明首先,对所给的数据表格进行初步处理,从中筛选出两个研究处理,所都进行过试验的土样以及相应的试验数据,经过整理得到两个数本台仪器的性能良好,所测数据可靠性较高;平行性测量结果分析主要分析两台仪器对同一土样测量的多组数据,分析结果认为两台组矩阵:、厚:仪器的多次测量结果也只是由随机误差引起的,从而说明两台仪器一的性能相同,不同仪器的测量结果具有很好的稳定性。两次分析的,结果最终说明了激光粒度仪的性能良好,在土工试验的颗粒分析中其中第一个研
8、究所所用激光粒度仪对土样的测量数据,为可以被推广使用。第二个研究所所用仪器得到的测量数据。记参考文献杨慧连,张涛误差理论与数据处理天津:天津大学出版社,刘增荣土力学【】上海:同济大学出版社,令【。】,其中,数值,就表示两个研究所对第李静激光粒度分析仪在黄河调水调沙试验中的应用【个土样粒径测量值的偏离度。中国水利,由误差理论要检验个偏离度是否服从正态分布,在此利工程数据统计分析南京:东南大学出版社,用拟合优度检验进行检验。此处仅给出计算过程,部分计算结果作者简查:吴然,硕士,讲师。(上接页)因为任意一个可逆矩阵都可以分解成一个正交矩阵和一个上矩阵使得,即()(),令一。三角矩阵的乘积的形式。可知
9、:由此得证。而为正交矩阵,故存在可逆矩阵使得,又因为为定理对于矩阵,如果存在非退化的上三角阵使得可逆矩阵,所以(其中为正交矩阵,为上三角矩阵),由此则为正定矩阵,反之亦成立。可知,一()【)由此得证。证明:充分性,有定理显然成立,正定矩阵的性质必要性:已知为正定矩阵,性质设,均为正定矩阵,则乘积是正定矩阵的充要条件先看施密特正交法:已知。:线性无关,令是证明:必要性,()一日。为可交换阵。屈充分性:有为实对称阵。设的特征值为,不妨设为属于的的特征向量()(),()(丑)岛一一()()。为正定矩阵,分子且为正定矩阵,分母故为正定矩阵。即:可由线形表出,可由,:线形表出,岛可由。,结论线形表出,本
10、文主要介绍了正定矩阵的一些证明方法,同时将正定矩阵的一些特有性质加以论述,这就为我们理解应用正定矩阵提供了丰富的资料,文章的重点还是在正定矩阵的证明上,至于是否还有其他方法,现存的方法是否能够得到进一步的优化,条件能否减弱,都有待研究。参考文献】北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,高等北)京:高等教育出版社【钱吉林,高等代数题解精粹】,令簖【】同济大学应用数学系编,线性代数北京:高等教育出版社,故为正交矩阵,令(,)二,同。,等编注高等工程代数(占南)】北京:高等教育出版社,则一,碣作者简介:封京梅(),女,学历:硕士研究生,研究方向:运筹学与控制论一最优化。第2篇:正定矩阵的判定方法及
11、正定矩阵在三个不等式证明中的应用(写写帮整理)正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者:袁亮(西安财经大学)摘要:本文从正定矩阵的的定义出发,给出了正定矩阵的若干判定定理及推论,并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词:正定矩阵,判定,不等式,应用Abstract:Inthispaper,wemainlyintroducesomedecisiontheoremandinferencebasedonthedefinitionofpositivedefinitematricesandgivetheapplicationofpositiv
12、edefinitematricesintheprovingonCauchy、Holder、andMinkowskiinequality.Keywords:positivedefinitematrix,determine,inequality,application目录1引言42正定矩阵的判定方法42.1定义判定52.2定理判定62.3正定矩阵的一些重要推论113正定矩阵在三个不等式证明中的应用153.1证明柯西不等式153.2证明Holder不等式163.3证明Minkowski不等式18结束语21参考文献221引言代数学是数学中的一个重要的分支,而正定矩阵又是高等代数中的重要部分特别是正定矩
13、阵部分的应用很广泛,n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,占有十分重要的地位它在物理学、概率论以及优化控制理论2中都得到了重要的应用,而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法,并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵,若对任意xRn,且x0,都有xTMx0成立2.本文从正定矩阵的定义,给出正定矩阵的判定定理,并给出正定矩阵的重要推论,这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用,并在矩阵对策,经济均衡,障碍问题3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用,其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式,其二是用正定矩阵的性质给出Ho
14、lder不等式的一个新的证明,其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式,这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面,它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2正定矩阵的判定方法2.1定义判定设A=aij,(其中aijC,i,j=1,2,,n),A的共轭转置记为A=aji定义11对于实对称矩阵A=aij,(其中aijR,i,j=1,2,,n)若对于任意非零列向量X,都有XTAX0,则称A是正定矩阵.定义21对于复对称矩阵A=aij,(其中aijC,i,j=1,2,,n)若对于任意非零列向量X,都有XAX0,则称A
15、是正定矩阵例1设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩r(B)=n.证必要性设BTAB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x0,有xTBTABx0,即BxTABx0.于是Bx0,因此,Bx0只有零解,从而rBn.充分性因BTABBTATBBTAB,T即BTAB为实对称矩阵.若秩rBn,则线性方程组Bx0只有零解,从而对任意实n维向量x0有Bx0.又A为正定矩阵,所以对于Bx0,有BxTABx0,于是当x0时,xTBTABx0.故BTAB为正定矩阵.例23设A是n阶正定矩阵,B是nm实矩阵,B的秩为m,证明:BAB是正定矩阵.证因为(
16、BAB)=BAB=BAB,故BAB是实对称矩阵,其次,由于秩B=m,mn.故BX=0只有零解,因此,若任取非零实列向量X必有BX0,因A是正定矩阵,故对任取的非零实列向量X,必有X(BAB)X=(BX)A(BX)0.因此BAB是正定矩阵.注意以上两个例子,是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是,若A不是方阵,也不对称时,AA,AA是正定矩阵,若A是方阵,但不对称,则A+A是正定矩阵,同时,在证明的过程中,我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2定理判定定理11n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,xn)=XTAX的
17、正惯性指数为n证设实二次型f(x1,x2,xn)经过非退化线性变换得a1x1+a2x2+anxn.(2.1)222由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么A正定当且仅当(2.1)是正定的,由定义3知(3.1)正定当且仅当ai0(i1,2,n),因此,正惯性指数为n.d1定理21实对角矩阵(i1,2,n).d2正定的充分必要条件是di0,dn证由定理3.1得,实对称矩阵正定当且仅当二次型f(x1,x2,,xn)=d1x1+d2x2+dnxn.的正惯性指数为n,因此,di0(i=1,2,n,)例3设A为n阶实对称矩阵,证明:秩(A)=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B,使ABBTA是正定矩阵.
18、证充分性(反证法)反设rAn,则A0.于是0是A的特征值,假设相应的特征向量为x,即Ax0x0,222所以xTAT0.所以xTABBTAxxTABxxTBTAx0,和ABBTA是正定矩阵矛盾.必要性因为rAn,所以A的特征值1,2,n全不为0.取B=A,则ABBTAAAAA2A2.22T,22,2它的特征值为212n全部为正,所以ABBA是正定矩阵.定义3在实二次型fx1,x2,xn的规范形中,正平方项的个数p称为fx1,x2,xn的正惯性指数,负平方项的个数rp称为fx1,x2,xn的负惯性指数,它们的差prp2pr称为fx1,x2,xn的符号差.定理31实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的
19、秩与符号差n定理41实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,xn)=XTAX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.证由文献1知,实对称矩阵A可对角化为a1a2an其中a1,a2,an恰好是A的特征值,则二次型XTAX的标准形为:a1x1+a2x2+anxn,222而非退化实线性变换保持正定性不变,由f(x1,x2,,xn)=a1x1+a2x2+anxn.正定得ai0(i1,2,n)例4设A为实对称矩阵,则当t充分大时,A+tE为正定矩阵.222证设A的特征值为1,2,.,ni为实数,取tmaxi,则AtE的特1in征值iti1,2,.,n全部大于零,因此当tmaxi时,AtE
20、是正定矩阵.1in例5设A为n阶实对称矩阵,且A33A25A3E0.证明:A正定.证设是A的任一特征值,对应特征向量为x0,即Axx,代入已知等式A33A25A3E0,有A33A25A3Ex33253x0,因为x0,故满足332530.得1或12i,因A为实对称矩阵,其特征值一定为实数,故只有1,即A的全部特征值就是10,这就证明A是正定矩阵.定理51实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同证实正定二次型的规范形为x1+x2+xn.222(2.2.1)而(2.2.1)的系数矩阵为单位矩阵,非退化实线性变换保持正定性不变,而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当
21、它与单位矩阵合同定理62实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C使得A=CTC证设A为一正定矩阵,当切仅当A与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵C,使得A=CTEC=CTC.定理71实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零证必要性实对称矩阵A正定,则二次型f(x1,x2,xn)=XAX=aijxixj是正定的,Ti1j1nn对于每一个k,1kn,令fk(x1,x2,,xk)=aijxixj,i1j1kk我们来证fk是一个k元正定二次型,对于一组不全为零的数c1,c2,ck,有fk(c1,c2,ck)=fk(c1,c2,ck,0,,0)0,因此,fk是一个k元正定二次型.由充
22、要条件2得fk的矩阵行列式a11a1kak1akk0,(k=1,2,n).充分性对n作数学归纳法当n=1时,f(x1)=a11x1,由条件a110,显然f(x1)是正定的假定此论断对n-1元二次型成立,下证n元的情形.令2a11a12A1=an1,1a12a22an1,2a1,n1a2,n1,an1,n1a1na2n,X=an1,nA1则A=XTX.ann由A的顺序主子式全大于零可知A1的顺序主子式全大于零,由假设A1是正定矩阵,有n-1阶可逆矩阵G,使得GTA1G=En1,令G0C1=01,则C1TGTAC1=001A1XTXG0En1GTX.=Tann01XGann令En1C2=0GTX,
23、1则C2C1TT0En1GTXEn1AC1C2=XTG1XTGannEn1=0.TTannXGGX0En10GTX1令C=C1C2,a=ann-XTGGTX,则有11CTAC=.a两边取行列式得C2A=a,由条件A0知a0.由于1111=1a111111a1.a因此,A与单位矩阵合同.由定理5得,A是正定矩阵定理82n阶实对称阵A为正定的充要条件是存在对称正定阵B,使A=B2.证必要性存在正交阵Q,使A=QB=QQT,以及diag(1,2,.,n).(i,i1,2,.n),QT=QQTQQT6=B2,为A的特征值.充分性对任给X0,XTAXXTB2X0,因为B正定,所以A正定.定理93A是正定
24、矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=QTQ.证不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.必要性若A=(aij)是n阶正定矩阵,则A的任意k阶主子式大于零特别的有annO将A的第n列乘适当的倍数,分别加到第1,2nl列上,再施同样的行变化,可使A变成为A100a,nn的形式即存在非退化的下三角矩阵T1,使AT1TAT1100,ann再令T2diag(1,1,.,1,1ann),0.1A1TT故T2T1AT1T20因为A正定,故A1作为A的n-1阶顺序主子式,也是正定的.对A1做同样处理,最终可得到TTR2R1.T2TT1TAT1T2.R1R2En.令QT1T2.T
25、1R2,Q是非退化的下三角矩阵,且使A=OTQ充分性是显然的定理102A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,.,an使TTTa2a2.ananA=a1a1.2.3正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要推论,下面给出.推论13正定矩阵的和仍是正定矩阵证若A与B为同阶正定矩阵,则对于非零列向量C=(c1,c2,cn)0,必有CTAC0,CTBC0,从而推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A1一定是正定矩阵证由命题1.3得正定
26、矩阵A的逆矩阵A1一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵P使得A=PTEP=PTP,取逆矩阵得A1=P1EP1,T令Q=P1,T则A1=QTEQ.因此,A1与单位矩阵合同,所以A1是正定矩阵推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵推论64设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.证因为AB=BA,故(AB)=BA=BA=AB,所以AB为实对称矩阵,又因为A正定,所以实可逆矩阵P,使PAP=E.方法一PABP=PAPP1BP=P1BP,而B正定,故B的特征值都大于零,所以PABP的特征值大于零,正定,AB是正定的.方法二5PAB(P)1=PAPP1B(P)1
27、=P1B(P1),因为B正定,故P1B(P1)正定,P1B(P1)的特征值大于零,AB的特征值大于零,又因为AB实对称,所以AB是正定的.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A的伴随矩阵).证因为A正定,故A1正定;A*=AA1(A0),所以A*也正定.推论82若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在一n阶实可逆矩阵P使PTAP与PTBP同时为对角形.证因为B是正定的,所以合同于E,即存在可逆阵U使UTBU=E;且A是n阶实对称矩阵,则(UTAU)T=UTATU.存在正交矩阵C使CT(UTAU)C=diag(1,2,n),则CT(UTBU)CCTECCTCE.取P=U
28、C,则P为所求推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a0,bO,c0,使aE+A,E+bA.cEA均是正定矩阵.证若A的特征值为i,1in,则aE+A的特征值为a+i,1in,所以存在a使aE+A的特征值大于零,其余同理可证.推论10已知A是n阶正定矩阵,则Ak(k是正整数)也是正定矩阵.证Ak与A的特征值有熟知的关系,故从特征值角度人手考虑根据A正k,.,k定,即知其特征值1,n全正,由于Ak的全部特征值就是1n也都为正这就知Ak是正定矩阵.例6若A是n阶正定矩阵,则A2E2n.证法一A与2E都是n阶实对称正定矩阵,因此存在一n阶实可逆矩阵P使P(A2E)Pdiag(12,22,.n2).T由
29、推论9可知其中入i(i=l,2,n)为A的特征值且大于零所以i+2(i=l,2,n)为A+2E的特征值,也是大于零的.所以A2E=(1+2)(2+2)(n+2)2n.法二因为A与2E都是n阶实对称正定矩阵,由推论10,有A2EA+2E2n.推论116A为n阶正定矩阵,B为2n阶非零半正定矩阵,则ABA+B.证由题意可知,存在实可逆阵P,使PAP=E,且d1d2PBP=,(di0)dn.所以PABPP(AB)P1d11d2.1dn(1d1)(1d2).(1dn)1d1d2.dnd1d2En.dnPAPPBPP(AB)PP(AB)2所以ABA+B.推论12若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a110,
30、a220,ann0.证根据定义,对一切XO皆有XTAX0,故依次令X=e1,en,就有(e1)TAe1O,即a110(en)TAen0,即ann0.3正定矩阵在三个不等式证明中的应用3.1证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里,我们就熟悉了如下的一个不等式x1y1x2y2.xnynxx.x21222nyy.y21222n这就是著名的柯西不等式如果我们将上述不等式用内积的形式来表示,则可将它写成(,).(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢?如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式
31、进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(aij)是一个n阶正定矩阵,则对任何向量=(x1,x2,xn)与=(Y1,Y2,yn),定义(,)i,j1aijxiyj.则可以证明由上式定义的一定是n维向量间的内积反之,对于n维向量问的任意一种内积,一定存在一个n阶正定矩阵A=(aij),使得对任何向量和,(,)可由(2)式来定义因此,给定了一个n阶正定矩阵,在n维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式i,j1anijxiyji,j1anijxixji,j1anijyiyj.例7证明不等式2(x1y1x2y2x3y3)x1y2x2y3x3
32、y1x3y222232x12x2x3x1x2x2x3y12y2y2y1y2y2y3对所有实数x1,x2,x3和y1,y2,y3均成立证从不等式来看,可知它相当于(,)其中(,)是由矩阵210A=121.012所定义的,但要证明(,)是内积还需证明A是个正定矩阵经验证该矩阵为正定矩阵从而可看出该不等式就是由A所确定的内积所产生的柯西不等式,因此不等式成立.3.2证明Holder不等式设A为n阶正定矩阵,xRn,易知(xx)2xAxxA1x7,本节将其推广为更一般的形式,并以此为工具给出Holder不等式的一个新证明.定理7设A为n阶正定阵,xRn,r,s为任意正整数,则(xx)rs(xArx)s
33、(xAsx)r.证对任一xRn,x0,令sxAxa=rxArx11rs,则有a0,令ftartrasts,易见ft在0,上有最小值smrrrsrssrs,由于A正定,故存在正交阵P使APP,其中diag1,2,.,n,i0i1,.,n,为A的特征值,于是fAarArasAsPdiagf1,f2,.,fnP,由于fimi1,2.n,故diagf1,f2,.,fnmIn,从而fAarArasAsmIn,于是arxArxasxAsxmxx,将a的表达式代入上式左端并整理得axAxaxAxmxAx由此即得rrssrxAxrsrrs,xAxxAxrrsrrsxx,即xAxxAxxxrssrrs.证毕下面
34、我们利用以上结果证明Holder不等式.Holder不等式设ai0,bi0,p1,q1,并且nn1pn1q111,则pqpqababiiii.i1i1i1证由常规的极限过渡法,不妨设ai0,bi0i1,2.n且p,q为有理数;由111知必存在正整数r,s,使得pq1s1r,.prsqrs令xa1b1,a2b2,.,anbn111111srsrR,Adiaga1b1,a2b2,.,ansbnrn经简单运算得xxaibi,i1nxAxari1nsnriaip,i1nnxAxbi1rsribiq,i1于是由(xx)rs(xArx)s(xAsx)r得aibii1nrsaipbiq,i1i1nsnr即p
35、qababiiii.i1i1i1nn1pn1q3.3证明Minkowski不等式引理18设Ai,pmAjBjj1pnmAjj11ppnmBjj11ppn.1p引理28设Ai,Bi(i=1,2,m)是nn阶实对称正定矩阵,0rnr2mAiBii1prmAii11pprmBii11ppr.1prn时,等式成立当且仅当AiBi;当r=n时,即为引理1,等式成立当且仅当AikBik0i1,2,.,m.证令111,0p1,则p=q(p1).由Holder不等式(下文中由推pq论进行了证明)及引理1,得到ABii1mpriAiBii11r1rm1rAiBip1rp1r2i1mrnrAiBiAiBimpr2
36、rnrmAii1prAiBii1mAii11pmp1qrBii11p1qAiBii11p1pmp1q2rnr1pBii1mprmAiBii1pr,两边同乘2便得到rnrAiBii11pmpr,1p1p1p2rnrAiBii1mprAii1mprBii1mpr.若令Aiai,Bibi,ai,bi0为一阶矩阵时,在引理2中,取r=1,0paibiaipbiq.i1i1i1此为Minkowski不等式.n1pn1pn1q结束语本文重点介绍了正定矩阵的判定方法,归纳了判定正定矩阵的一系列定理及推论,并给出相应的证明和适当的例题.与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式,Hold
37、er不等式,Minkowski不等式的证明方法.参考文献1王萼芳,石生明.高等代数(第二版)M.北京:高等教育出版社,2003:205-226.2金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数M.北京:中国物资出版社,2002:198-224.3张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报L,2004,21(2):67-69.4岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报L,2008,10(5):31-33,59-59.5王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报L,2006,16(3):28-30.6曹璞.正定矩阵的判定与性质J.南都学坛,1994(3):1-3.7冯天祥,刘学飞.He
38、rmite正定矩阵迹的几个重要不等式J.数学杂志,2009,29(3).8王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报L,2006,34(3):352-354.第3篇:3矩阵的证明矩阵的证明常见的有矩阵秩的证明,向量组的线性相关性证明等,这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。第一:矩阵式的表示第二:矩阵秩和相关性的关系(秩小于向量的个数,线性相关,秩等于向量的个数,线性无关)第三:掌握秩的有关结论,主要有八个结论,用得比较多的有7.8.AmnBnl0R(A)R(B)nABCR(C)R(A),R(B)第4篇:矩阵分析第一章:了解线性空间(不考证明),维数,基9页:线性
39、变换,定理1.313页:定理1.10,线性空间的内积,正交要求:线性子空间(3条)非零,加法,数乘35页,2491011本章出两道题第二章:约旦标准型相似变换矩阵例2.8(51页)出3阶的例2.6(46页)出3阶的三角分解例2.9(55页)(待定系数法)(方阵)行满秩/列满秩(最大秩分解)奇异值分解本章出两道题第三章:例3.1(75页)定理3.2要会证明例3.3必须知道(证明不需要知道)定义3.3例3.4证明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握习题24本章出(一道计算,一道证明)或者(一道大题(一半计算,一半证明)第四章:矩阵级数的收敛性判定要会,一般会让你证明它的收敛比较法,数字级数对数量微分不考,考对向量微分(向量函数对向量求导)本章最多两道,最少一道,也能是出两道题选一道第六章:用广义逆矩阵法求例6.4(154页)能求最小范数(158页)如果无解就是LNLS解定理6.1了解定理6.2求广义逆的方法(不证明)定理6.3(会证明)定理6.4(会证明)(去年考了)定理6.9(会证明)推论要记住定理6.10(会证明)出一道证明一道计算第5篇:正定古城正定古城正定古城地处冀中平原,古称常山、真定,历史上曾与北京、保定并称“北方三雄镇”,是河北省会石家庄的北大门,地理位置优越,交通便利,京广铁路、107国道、京深高速
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