2021年中考数学复习考点解密规律探索性问题(含解析).pdf
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1、2021年中考数学二轮复习考点解密规律探索性问题第一部分讲解部分-专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据,处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐,逐渐成为中考数学的热门考题。解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的
2、数学思想方法,考察了学生的分析、解决问题能力,观察、联想、归纳能力,以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.。三.考点精讲考点一:数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式,然后写出其中蕴含的一般规律,一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分,找出各部分的特征,改写成要求的规律的形式。例 1.有一组数:一1 ,二3 二5 7 -9-请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第2 5 1 0 1 7 2 6为正整数)个数为.分析:观察式子发现分子变化是奇数,分母是数的平方加1.根据规律求解即可.解答:解:1 2 x 1-12 12+1
3、;3 _ 2 x 2-15-22+1 ;5 2 x 3-11 0-32+1 ;7 _ 2x4-117-42+1 ;9 _ 2x5-1记 二 守=2 1.第(为正整数)个数为n2+l点评:对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.此题的规律为:分子变化是奇数,分母是数的平方加1.例2(2019广东汕头)阅读下列材料:1x2=-(Ix2x3-Oxlx2),32x3=-(2x3x4-1x2x3),33x4=(3x4x52x3x4),3由以上三个等式相加,可 得Ix2+2x3+3x4=ix3x4x5=20.3读完以上材料,请你计算下列各题:(1)lx2+2x3+3x4+-+1
4、0 xll(写出过程);(2)x2+2x3+3x4+.+x(+l)=;(3)Ix2x3+2x3x4+3x4x5+7x8x9=.分析:仔细阅读提供的材料,可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进彳亍简化计算,从而得至I1公式Ix2+2x3+3x4+x(+l)=x(1x2x3-0 x1x2)+(2x3x4-1x2x3)+n(n+V)(n+2)-1)(+1)=;(+1)(+2);照此方法,同样有公式:1X2X3+2X3X4+3X4X5H +x(+l)x(+2)=;(1X2X3X4-0X1X2X3)+(2X3X4X5-1X2X3X4)+.+X5 +1)X(+2)X(+3)-(-1)XX5
5、+1)X(+2)=-n(n+1)(+2)(+3).4解:(1)V 1x2=*1x2x30 x1x2),32x3=-(2x3x41x2x3),33x4=-(3x4x52x3x4),.1 0 x 1 1 =1(1 0 x 1 1 x 1 2-9 x 1 0 x 1 1),3I x 2+2 x 3+3 x 4+-+1 0 x 1 1 =1 x 1 0 x 1 1 x 1 2=4 4 0.3(2);(+l)(+2).(3)1 2 6 0.点评:本题通过材料来探索有规律的数列求和公式,并应用此公式进行相关计算.本题系初、高中知识衔接的过渡题,对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要
6、求.如果学生不掌握这些数列求和的公式,直接硬做,既耽误了考试时间,又容易出错.而这些数列的求和公式的探索,需要认真阅读材料,寻找材料中提供的解题方法与技巧,从而较为轻松地解决问题.例 3 (2 0 1 9 山东日照,1 9,8 分)我们知道不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质?完成下列填空:你能应用不等式的性质证明上述关系式吗?分析:可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。解答:,;证明:*/?,:.a+cb+c.又,:c df b+c b+df+c +d.点评:本题是个考查不等式性质的探索规律题,属于中等题.要求学生具有熟练应用不等式
7、的基本性质和传递性进行解题的能力.区分度较好.考点二:点阵变化规律在这类有关点阵规律中,我们需要根据点的个数,确定下一个图中哪些部分发生了变化,变化的的规律是什么,通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.例 1:如图,在一个三角点阵中,从上向下数有无数多行,其中各行点数依次为2,4,6,2 ,请你探究出前”行的点数和所满足的规律、若前 行点数和为9 3 0,则=()A.2 9 B.3 0 C.3 1 D.3 2分析:有图个可以看出以后每行的点数增加2,前行点数和也就是前n个偶数的和。解答:解:设前行的点数和为s.则 尸2+4+6+.+2n=(2+=(+1
8、).2若 s=9 3 0,则(n+1)=9 3 0.(n+3 1)(n -3 0)=0.;.=-3 1 或 3 0.故选 B.点评:主要考查了学生通过特例,分析从而归纳总结出一般结论的能力.例 2 观察图给出的四个点阵,s 表示每个点阵中的点的个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜想第个点阵中的点的个数$为()第1个 第2个第3个第4个S=1 S=5 S-9 S=13A.3 -2 B.3 n -1 C.4 n+1 D.4 n -3考点:规律型:图形的变化类。专题:规律型。分析:根据所给的数据,不难发现:第一个数是1,后边是依次加4,则第个点阵中的点的个数是1+4 (-1)=4-3.解答:解:第
9、 个点阵中的点的个数是1+4 (-1)=4 n-3.故选D.点评:此题注意根据所给数据发现规律,进一步整理计算.考点三:循环排列规律循环排列规律是运动着的规律,我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现,看看最后所求的与循环的第几个一致即可。例 1:(2 0 0 7 广东佛山)观察下列图形,并判断照此规律从左向右第2 0 0 7 个图形是()考点:规律型:图形的变化类.专题:规律型.分析:本题的关键是要找出4个图形一循环,然后再求2 0 0 7 被 4整除后余数是3,从而确定是第3个图形.解答:解:根据题意可知笑脸是1,2,3,4即 4个一循环.所以2 0 0 7+4=
10、5 0 1 3.所以是第3个图形.故选C.点评:主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.例2 :下 列 一 串 梅 花 图 案 是 按 一 定 规 律 排 列 的,请 你 仔 细 观 察,/合虫好苗888孕.在前2 0 1 2 个梅花图案中,共有 个邛”图案.考点:规律型:图形的变化类.专题:规律型.分析:注意观察图形中循环的规律,然后进行计算.解答:解:观察图形可以发现:依次是向上、右、下、左 4个一循环.所以2 0 1 3+4=5 0 3余 1,则共有5 0
11、3+1=5 0 4 个.考点四:图形生长变化规律探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易I f.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.例 1 (2019四川乐川)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30。角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S i,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2,,第 个正方形和第八个直
12、角三角形的面积之和为S”.设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题:(1)Si=;(2)通过探究,用含 的代数式表示S”,则=.分析:根据正方形的面积公式求出面积,再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边,求出S 1,然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式.解答:解:(1)第一个正方形的边长为1,.正方形的面积为1,又.直角三角形一个角为30,二三角形的一条直角边为;,另 一 条 直 角 边 就 是 一g)2=乎,.三角形的面积为1 X 4-2=,2 2 8 Si=l+;(2).第二个正方形的边长为坐,它的面积就是3,也就是第一个正方形面积的2,2 4 4同理,
13、第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的士,4.52=(1+)依此类推,S3=(1+)即 S3=(1+)*(-)2,8 4 8 4 4 8 45 =(1 +字(,(为整数).点评:本题重点考查了勾股定理的运用.例 2 (2 0 2 0 重庆江津区)如图,四边形ABC Q 中,AC=a,B D=b,且 A C _ L 顺次连接四边形A B C。各边中点,得到四边形45。,再顺次连接四边形48G9各边中点,得到四边形A 2 8 2 c2。2,如此进行下去,得到四边形A n&C n d.下列结论正确的有()四边形4 2 8 2 c2。2 是矩形;四边形A 4 B 4 C4 Q4 是菱形;四边形A
14、5 B 5 C5 D5 的周长是空2四边形A n&CnOn的面积是一次.2 A、B、C、D、分析:首先根据题意,找出变化后的四边形的边长与四边形A B C D中各边长的长度关系规律,然后对以下选项作出分析与判断:根据矩形的判定与性质作出判断;根据菱形的判定与性质作出判断;由四边形的周长公式:周长=边长之和,来计算四边形4 8 5 c5。5的周长;根据四边形An&GA的面积与四边形A B C。的面积间的数量关系来求其面积.解答:解:连接4C”BIDL:在四边形A B C。中,顺次连接四边形A 8 C 各边中点,得到四边形A i B QDi ,:.AD/BD,BC/BD,CD/AC,A|B|A C
15、;:.AXD/BC,AB/CD,四边形A B C。是平行四边形;.8OI=AIG(平行四边形的两条对角线相等);:.A2D2-=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理),四边形4 2 8 2 c2。2是菱形;故本选项错误;由知,四边形A 2&C2 O2 是菱形;根据中位线定理知,四边形Z UB 4 c氢 5 4 是菱形;故本选项正确;根据中位线的性质易知,ASB5=一A.;B 3=-X AB=-X X AB,BsCs=-B3c32 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1=X BC=X X BC,2 2 2 2 2.四边形A s B 5 c5 D5 的周长是2 x 1 (a+h)=色 吆;故
16、本选项正确;8 4;四边形 A B CD 中,AC=a,B D=b,且 4 C _ L B。,:.S mKABCD=ah;由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,四边形AnBnCnDn的 面 积 是;2故本选项错误;综上所述,正确;故选C.点评:本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时,需理清菱形、矩形与平行四边形的关系.例 3:(2 0 0 9 锦州)图中的圆与正方形各边都相切,设这个圆的面积为Si;图 2中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这四个圆的
17、面积之和为S2;图 3中的九个圆半径相等,并依次外切,且与正方形的各边相切,设这九个圆的面积之和为S3,依此规律,当正方形边长为2时,第 n 个图中所有圆的面积之和Sn=分析:先从图中找出每个图中圆的面积,从中找出规律,再计算面积和.解答:根据图形发现:第一个图中,共一个愿,圆的半径是正方形边长的一半,为 1,s,=第二个图中,共 4个圆,圆的半径等于正方形边长的上,为,X 2=L;S?=4 n 於=44 4 2n(-)2=n,依次类推,则第n 个图中,共有J?个圆,所有圆的面积之和S=n2 n r2=n2 n(-)2n2=“,即都与第一个图中的圆的面积都相等,即为兀.点评:观察图形,即可发现
18、这些图中,每一个图中的所有的圆面积和都相等.考点五:与坐标有关规律这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起,加大了找规律的难度,点的坐标不仅要考虑数值的大小,还要考虑不同象限的坐标的符号。最后用n把第n个点的坐标表示出来。例 1:如图,己知 4 (1,0),A 2(1,1),43(1,1),4 (一1,-1),45(2,-1),则点 A 2012的坐标为分析:根 据(4除外)各个点分别位于四个象限的角平分线上,逐步探索出下标和个点坐标之间的关系,总结出规律,根据规律推理点42007的坐标.解答:由图形以及叙述可知各个点(除 4点外)分别位于四个象限的角平分线上,第一象限角平分线的点对应的字
19、母的下标是2,6,10,14,即 4 一 2(”是自然数,是点的横坐标的绝对值);点的坐标为(n,n).同理第二象限内点的下标是4九一1 (九是自然数,是点的横坐标的绝对值);点的坐标为(一n,n).第三象限是4(是自然数,”是点的横坐标的绝对值);点 的 坐 标 为(-n,-n).第四象限是1+4(”是自然数,是点的横坐标的绝对值);点 的 坐 标 为(n,-n).2012=4贝“=5 0 3,当2007等 于4+1或4或4一2时,不存在这样的”的值.故点A 2(X)7在第二象限的角平分线上,即 坐 标 为(-502,502).故 答 案 填(-503,-503).点评:本题是一个探究规律的
20、问题,正确对图中的所按所在的象限进行分类,找出每类的规律是解答此题的关键点.例2:(2009湖北仙桃)如图所示,直线y=x+l与y轴相交于点4,以 为 边 作 正 方 形O A i f i i G,记作第一个正方形;然后延长G B i与直线y=x+l相交于点A 2,再 以G A?为边作正方形C l A 28 2c 2,记作第二个正方形;同样延长C 2B 2与直线y=x+l相交于点A 3,再 以C 2A 3为边作正方形C 2A 38 3c 3,记作第三个正方形;,依此类推,则 第”个正方形的边长为.分析:解题的关键是求出第一个正方体的边长,然后依次计算=1,=2总结出规律.解答:根据题意不难得出
21、第一个正方体的边长=1,那么:=1时,第1个正方形的边长为:1=2凡=2时,第2个正方形的边长为:2=21=3时,第3个正方形的边长为:4=22第个正方形的边长为:2一1点评:解决这类问题首先要从简单图形入手,抓住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在 数 量 上 增 加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.考点六:高中知识衔接型 数列求和本题通过材料来探索有规律的数列求和公式,并应用此公式进行相关计算.本题系初、高中知识衔接的过渡题,对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求例题:(2019广东汕头)阅读下列材料:1x2
22、=i(lx2x3-0 xlx2),32x3=(2x3x4 1x2x3),33x4=-(3x4x52x3x4),3由以上三个等式相加,可得1x2+2x3+3x4=-x3x4x5=20.3读完以上材料,请你计算下列各题:(4)Ix2+2x3+3x4+10 x11(写出过程);(5)x2+2x3+3x4+x(+l)=;(6)1 x2x3+2x3x44-3x4x5+7x8x9=.分析:仔细阅读提供的材料,可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算,从而得至U 公式Ix2+2x3+3x4+x 5+l)g (l x 2 x 3-0 x l x 2)+(2x3x4 7 x 2 x 3)+
23、(+l)(”+2).(l)(+l)=-n(n +l)(n+2);照此方法,同样有公式:3Ix2x3+2x3x4+3x4x5+x(+l)x(+2)=:(1X2X3X4-0XI x2x3)+(2x3x4x5-lx2x3x4)+x 5 +l)x(+2)x(+3)-(-l)x x(+l)x(+2)=(+1)(+2)(n+3).4解:Vlx2=(1x2x30 x1x2),32x3=-(2 x 3 x 4-1x2x3),33x4=-(3x4x52x3x4),1 0 x 1 1 =1(1 0 x 1 1 x 1 2-9 x 1 0 x 1 1),3;l x 2+2 x 3+3 x 4+-+1 0 x l 1
24、=1 x 1 0 x 1 1 x 1 2=4 4 0.3(2);(+1)(+2).(3)1 2 6 0.点评:.如果学生不掌握这些数列求和的公式,直接硬做,既耽误了考试时间,又容易出错.而这些数列的求和公式的探索,需要认真阅读材料,寻找材料中提供的解题方法与技巧,从而较为轻松地解决问题.四.真题演练题 目 1.(2 0 1 9 福建三明大田县)观察分析下列数据,寻找规律:0,百,6,3,2 百,匹,3 收,那么第1 0 个数据应是题 目 2、(2 0 2 0 山东I I 照分)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2 0 2 0 应标在A.第 5 0 2 个正方形的左下角C.第 5 0
25、3 个正方形的左上角B.第 5 0 2 个正方形的右下角D.第 5 0 3 个正方形的右下角题 目 3 :(2 0 2 0 德州)图 1 是一个边长为I 的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图 2),依此规律继续拼下去(如图3),,则第n个图形的周长是()图 1图 2图 3A、2nB、4nC、D、2 n+2第二部分练习部分练习1、如图是一组有规律的图案,第 1 个图案由4个基础图形组成,第 2个图案由7个基础图形组成,第 n (n是正整数)个 图 案 中 由 个 基 础 图 形 组 成.(1)(2)(3)2、
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