冯恩信电磁场与电磁波课后习题答案2.pdf
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1、习题1.1已知X =2 +3 亍-2;与=2+亍 一 2 2 ,求:(a)A和 5 的大小(模);(b)A和 5的单位矢量;(c)A B ,(d)Nx月;(e)4和 3之间的夹角;(f)A 在 5上的投影。解:(a)A 和 5 的大小A=|A|=JA:+A;+4;=7 22+32+12=V 1 4 =3.7 4B=|f i|=他+B j+B;=7 12+12+22=7 6 =2.4 5(b)A 和 8的单位矢量2 1=-=(2 x +3 D=0.5 3 5%+0.8 0 2 9-0.2 6 7 2人B 1/?=-=五(9+亍-2 2)=0.4 0 8%+0.4 0 8$-0.8 16 2(c)
2、A 8A -B =AVBV+Ay By+A.B =2 +3 +2 =7(d)Ax BxAx B=AxB,人 Ay zA,A:B、B:,V2人 Ay z3 -1=5 +3 21 -2(e)A和 5之间的夹角a根 据 屋 月=A B c o s a 得c o s a =ABA B79.16 3=0.7 6 4a =4 0.19(f)A 在 3上的投影A-b=AB72 4 5=2.8 6B1.2 如果矢量A、B 和 C 在同一平面,证明A (5*0=0。证明:设矢量A、5和 C 所在平面为盯 平面A =Axx+AyyB =Bxx+ByyC =Cxx+Cyyx y zE xW=B*By Bz=(ByC
3、z-BzCy)x+(BzCx-BxCz)y+(BxCy-ByCxyzCx Cy C:=(BxCy-ByCx)zA(B xC)=0 xBC)”2=01.3 已知4=cosa+fs in a、5=_icos力一fs in/?和 C=cos=+(s in,,证明这三个矢量都是单位矢量,且三个矢量是共面的。证明:1)三个矢量都是单位矢量A=网=+A:=Vcos2 a+sin2 a=18=网=牺+8;+B:=7cos2 +sin2/7=1C=同=+C;+C;=7cos2/?+sin2/7=12)三个矢量是共面的x y zB xC -Bx By B.=2cos夕sin/C*Cy CzA-(5 x C)=0
4、 x 2 cos/?sin 伐 2=01.4 A=x+2y-zx B=ax+y-3 z 当 X_L与时,求 a。解:当,,后忖,屋 与=0A-B=a+2+3=0所以a-51.5 证明三个矢量4=5 -5$、B=3 x-7 y-z C=一 2 -2$-2 形成一个三角形的三条边,并利用矢积求此三角形的面积。证 明:因 为 A-B =2x+2y+zA+(-B)+C=0所以三个矢量A、3 和 C 形成一个三角形此三角形的面积为1 -S=AxB2Ay-5-70 =A/52+52+2 02/2 =10.61.6 P点和Q点的位置矢量分别为5 3 +12 9+2和2 2 3 9+2,求从P点到Q点的距离矢
5、量及其长度。解:从P点到Q点的距离矢量为R=rQ-rp=(2x-3y+z)-(5x+l2y+z)=-3x-15y从P点到Q点的距离为-=网=扬+&=15.31.7 求与两矢量A=4 1 3 9+2和5=2 +$?都正交的单位矢量。解:设矢量C与两矢量A=4 3?+2和3=2 2+$-2都正交,则A-C4CX-3CV+C.=0瓦 d =2 Cr +Cy -C =0(1)+(2)得 6 C,-2 C、.=0(1)+3 x (2)得 1 0C-=0如果矢量6是单位矢量,则(1)(2)C-3C(3)y x.G=5 C,.(4)C=不也+=把+9小2 5 C;=1所以 C,=-,=0.16 97 1+9
6、+2 5Cx=3 C,=0.5 0 7C:=5 c x =0.8 4 5C=0.16 9x +0.5 0 7 y +0.8 4 5 1.8将直角坐标系中的矢量场E(x,y,z)=x,F2(x,y,z)=亍分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解:在圆柱坐标系中cos。si”o-cos。si”o-Tcos。=-sin 0cos。0=-sin 0cos。00=-sin 9001儿00100户i(p,(p,z)=cos 妨一 sin(p(p*COS0sin。o-cos。sin。o-Qsin。%-sin(pCOS00二 一 sin。cos。01=cos。00140010_|_0F2(p,p,z)=s
7、in 啰 +cos(p(p在圆球坐标系中%sin。cos sin sincos。心Fi=COS。CO S 0cos sin一 sin。F叫-sin9cos。04sin cossin Osin。cos。Tsin。cos=C O S 8 CO S 0cos sin一 sin。0=cos 0 cos(p.sin 夕cos。00 sine 人F(r,9,(p)=sin 0 cos(pp+cos 0 cos(p0-sin(p(p%sin。cos sindsin。cos。=cos cos cos。sin-s in。F、2F*-sin cos。0屋sinOcosesin Osin 夕cos。Osin Osi
8、n。=cos 6 cos 夕cos sin一 sin。1=cos Osin*sin 0cos。00cos。人尸2(几。,0)=sin sin 5+cos 0 sin(p0+cos(p(p1.9将圆柱坐标系中的矢量场FP,(P,Z)=2 Q,E(p,0,z)=3 0 用直角坐标系中的坐标分量表示。解:根据4一cos*-sin 9 0FA,=sin。cos 夕 0A.(1)4 _0 0 1_L A,/sinBcos。cos cos-sin 9 R5 sin。cos=sin Osin。cos Osin/cos。0=5sin Osin。A.COS0一 sin。005 cos。户i(x,y,z)=x5s
9、in 6cos夕 +f5sin 6sinQ+25cos6x=r s i n Oc o s e又因为=(3 +2)2 +(5 +4)0 +(-4 +3)2 =5万 +90-9P(b)A x B-ApsA,B单人 AZ P&=3B:2A 人(P z5 4 =3 12 -17 0 +2 24 3(c)6 =A1A/32+52+42(3 p +5 0 4 2)=+(2 p +4 0 +3 2)1BA/22+42+32(2。+4 0 +3 2)=(2。+4。+3 2)5.3 8 5(d)A和8之间的夹角0-c o s-1(B)=c o s-1()=6 8.4 0A B 3 8.0 7 7(e)A和3的大
10、小A=M+d+&=7.0 7 1B =B/B;+B;=5.3 8 5A在5上的投影-A JA 6=(3 Q +5 0 -4 2)-(2。+4。+3 2)=2.61.13矢量场中,取圆柱坐标系,已知在点P(l 7/2,2)矢量为A=2方+3 0,在点Q(2,肛3)矢量为8=-3。+10 2;求:(a)4+8 ;(b)A(c)A和5之间的夹角。解:转换到直角坐标系AAvAPC O Se-s i n 90 As i n。CO S00 A0014(PA-3x+2y0(a)(b)(c)B-1000001-30103 x +10 A+B-2y+10 A=9A和8之间的夹角6=c o s-1(2 )=c o
11、 s-1(二-)=12 5.7 A B 15.4 41.14计算在圆球坐标系中两点尸(10,万/4,万/3)和Q(2,4/2,I)之间的距离及从P点 到Q点的距离矢量。解:根据圆球坐标与直角坐标的关系x =r s i n c o s y=r s i n Os i n。z =r c o s。匹=r s i n cos=10 x 0.7 0 7 x 0.5 =3.5 3 5 乃=r s i n s i n =10 x 0.7 0 7 x 0.8 6 6 =6.12 2曷=r c o s =10 x 0.7 0 7 =7.0 7x2=r s i n c o s?=2 x 1x(-1)=-2 y2=r
12、 s i n e s i n。=2 x l x =0z2=r c o s 6 =2 x 0 =0d =X-二2)2+(M-乃尸+(Z1 一、2尸=7(3.5 3 5 +2)2+(6.12 2)2+(7.0 7)2=10.8 71.15空间中的同一点上有两个矢量,取圆球坐标系,A=3 q+书+5 0,8=2分 方+4。,求:A+3 ;(b)A(c)4和3的单位矢量;(d)A和B之间的夹角;(e)A和5的大小;A在上的投影。解:(a)4+B=5户+9。(b)A B=2 5(c)4和5的单位矢量人 A.I 人a=-=(3 r +O+5 );b =(2。+4。)V3 5 V2 1(d)A和B之间的夹角
13、0=c o s-1(-)=c o s-1(-)=2 2.7 5 A B 2 7.11(e)4和5的大小A=-;+A;+&=5.92B =加+或+用=4.5 84在5上的投影H 街+0 +5Q(2-否+4 0)=5.4 5 51.16 求/(x,y,z)=r/z 的梯度。解:V/=x +y +z =3x2y2zx+2x3yzy+x3y2zdx,4 E1.17求标量场f(x,y,z)=xy+2z2在点(1,1)沿=五一2亍+2方向的变化率。解:vT+痔+噜yx+x y +4zz/=-,1=(xx-2y+z)y/x2+y2+l 2 x +4 z厘 7 x2+/+l所以(1,1,0 =6Z O /5
14、J)1.18由=勺+丝+d,利用圆柱坐标和直角坐标的关系,推导今 办 区VOA处 人I&=p +夕-dp p d(p+z解:在直角坐标系中V 人冽)人冽)人冽)=x +y +z (1)X=pCGS(p(y =p s in。、z =zP=x2+y2y (p-arctg xz =z(2)(3)x=Q c o s。一。s in。(4)y=/s in e+0 c o s (5)由(2)、(3)式可得bpdx=COS 9(6)d(pd xyx11 +(,)2Xy 1 .-r=一s in。x +y p(7)S y(8)1d(px由-1 +(-)2X(5)式得x 1-=cos(pX+y P口 小 加 入 纳
15、 八 加=x +y +z今 效 区,八 A .、加 /八.八、加 人 兔=(c o s-0 s in (p)-+(/?s in e+0 c o s 夕)+z-d x,功&:而d p 3 d(p 6 0=-+-=c o s。一d p今 d p d x d(p d xi a o .-S in 6 9p的生=竺迦+名竺=竺5+工 驾3夕4 d p d y d(p d y d p p d(p再 由(6)-(9)式可得 ,/人 人.、/2 1 2.、=(p c o s 9-s incp)(c o s。-s in(p)d p p d(p+(加n”0 c s e)(吗i +c o s。)+2迤d p p d
16、(p A=Q以c o s 2 +对辿3-03何”-对竺3好”d p p d(p d p p d(p+Q 以 s in 4 +对空+丝 c o s s i”+非以 c o s s i”+2 理d p p d(p d p p d(p 次八加 1加八邢V O =p +(p-+z d p p d(p 戊1.1 9 求 f(p,(p,z)=Pc o s。的梯度。4 73 v 7r 八 守 八1 国解:寸-0C GS(p_ 0n(p1.20由=堂+f业+业,利用圆球坐标和直角坐标的关系,推导的 为 女冽)人1冽)VO=r +-dr r d0人1 H)+(p-r sin 6 说解:x=rsinBcos。v
17、y 二r sin Osin/z=rcosdzy(P=arctg xx=r sin cos(p+0 cos 0 cos(p-(psAn(py=户 sin Osin*+Acos Osin +0cos 2=/cos 6一3sin。_ 50 dr dO 3 d(pSx,dr dx dO dx d(p dx却 50 dr 3 dO 3 d(p=-1-1-历 dr dy 83 dy d(p dydr dO 5Q d(p=-1-1-E dr dz dO dz d(p dzSr.=sin e cos。dx5r-5r一a 7a 5xM=sin sin=cos 6=COS COS 9r-cos Osin/rdO
18、1 .八=-sin 夕dz rsin(prsin。丝&丽丽&cos 9rsin。0V(D =x +y+今 4 炭(0dr。S3 3d(o 人 人-+-+-)(r sin 0 cos(p+6 cos 0 cos。一 sin(p)dr dx d0 dx d(p dx旗D dr 850 8Q(o 人+(-+-+-)(rsin Osin o+3cos6sin(p+0cos)dr dy dO dy d(p dy5)Qr 30 Q0(50 d(D 人+(竺生+竺竺+雪丝)(/cose Osin。)dr&90 dz d(p dz3 人 人 人=(sin cos(r sin cos(p+0 cos 0 cos
19、 sin(p)dr+(cos 0 cos(/)(户 sin 夕 cos(p+0 cos 0 cos 9-0 sin cp)r dO1 50 人 人-(-sin*)(rsincos(p-0cos0cos(p-(p .(p)rsin。d(p次D 人 人 人+(方sin sin cp)(F sin 6 sin 9+6 cos 6 sin 0+cos(p)+(!_ cos 6 sin )(/sin 6 sin 夕 +往 cos 6 sin 夕 +0 cos(p)r S31 a0 人 人+(-cos(p)(r sin 8 sin 9+6 cos 6 sin 0+cos(p)rsin3 d(pao 人+(
20、cos 0)(r cos。一 3sin 0)dr1卯 人+(-sin 0)(r cos 9-sin 3)r dO口不人出”&人1 冽)=r +e-+0-dr r dO rsin。d(p1.2 1 求/(r,。,。)=/s in B c o s 夕的梯度。解:V f =r +0+(p-d r r 30 rs in d(p=r 2r s in 0 c o s(p+0r c o s c o s s in1.2 2 求梯度V p,V r,V eb,其中为常数。解:V 7 Op-N P=P W =P即V 7 八 次 V Y=Y =rd rN*=亍 匕=r k ek rd r1.2 3在 圆球坐标系中,矢
21、量场户(尸)为尸(尸)=万 户,其中为常数,证明矢量场户(7)对r任意闭合曲线/的环量积分为零,即疗点=0 I证明:根据斯托克思定理:-d l=j|V x F-JS/sV y V v k G _ 1rdr d r s in 0q)=0eaV A r ir i VA r r2 r2sind rkded(p-)广00所以5x F -d S =0i s1.2 3 证 明(1)V=-v(T V O-O V T);(2)V F()=/()V。证明:一生+/且 7工曳一二生T dx T2 dx dy-T2 dy T dz T2 及甲 上3小-d小 八9人”3 5.S T 高 巴7 x +y +z -r x
22、+V+z*?2 dx dy dz T-dx dy dz=J(+V(D D V+)a a a(2)VF(O)=x F +y F +f Fdx dy dza a a=航 二 +?$色 +*c o s (pS p=C GS(pd xd(p 1 .=-s in ed x pd(p 1=cos(pS y Pc 7 以d p d A d(p 、d p S A Q(p 前V-A =-4-+-+:-+-d p d x d(p d x d p d y d(p d y 次8 I 。=c o s(p(Ap c o s -s in (p)-s in (p(A/c o s 一 s in (p)+s in 色(A,s i
23、n +A c o s +1 c o s 9且(4 s in 夕 +A c o s 夕)+汽d p p d(p 仇 A cos2(p-A c o s s in -s in c o s A,+-s in2d p d p p d(p pI d A 1 1 a A i+-s in-(p+s in c o sq)A+c o s cp-c o s s in(pAp d(p p p d(p p+s in 4 +s in c o s +-c o s s in +-cosM,+d p d p p d(p p Ea胃+&i%现d p p p的 女1 /,、1 必。d .-(风)+-+-p d p p的 次 -n
24、1 o(2)V-A=(r2A)+-(sin4J+r2 dr r rsin。箔 91 冬rsind d(p5r-ax=sin 9 sin 6 9ar-5y0ec o s力一及种a Yr-c o s=-cos Osin 夕r生及竺&e2ed(p _ cos(pdy rsinO翳。AsinOcos。cos 0 cos(p一 sin A,A、.=sin Osin cosgsin。cos。cos。一 sin 60A,名 dr dA dO dA d(p 必朋+3A),d(pvdr-+-+-+-+dr dx dO dx dtp dx&dy dO dy d(p dy国.dr dA_ 50 dA,d(p+-+-
25、+Sr dz d0 dz d(p dza-sin 0cos(p(sin 6 cos(pAr+cos 6cos 处 sin 出 夕)+cos 0 cos(p-(sin 0 cos(pAr+cos cos(pA0-sin 巩Jsin。d/.八 .八 A.A、-(sin 0 cos(pAr+cos 0 cos(pe-sin(pJ)rsin。勿e+s in 6 s in 0 (s in。s in(pAr+c o s Os in(pA0+c o s (pA )&a+c o s 8 s in -(s in 6 s in 出,.+c o s 6 s in(pA0+c o s (pA )r 30C OS。O/
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