冯恩信 电磁场与电磁波 课后习题答案.pdf
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1、习题1.1已知 =2+39 2;月=+22,求:(a)4和B的大小(模);(b)A和5的单位矢量;(c)A B-,(d)M xQ;(e)A和8之间的夹角;(f)A在3上的投影。解:(a)4和8的大小A=同=Q A;+A;+32+=V14=3.743=年8+B;+B;=712+12+22=瓜=2.45(b)A和8的单位矢量2 =-=痂(2x+3 y-z)=0.5 3 5i+0.802$-0.267z-B 1b=j =桌(x+y-2 z)=0.408x+0.408g-0.81 位(C)A B屋 A也+AV 纥+A也=2+3+2=7(d)A xBAx B-x4B、八 人y zA AB、B.A人y z
2、3-1 =-5+3 y-z1 -2(e)4和 B 之间的夹角a根据Z-=ABcosa得cosa=A BAB79.1630.764a =40.19A 在 8 上的投影A bA B72452.86B1.2如果矢量A、8 和 C 在同一平面,证明A(5xC)=0。证明:设矢量A、8 和 C 所在平面为孙平面B=Bxx+ByyC Cxx+Cyyx y zB x C=Bx By Bz=(ByCz-BzCy)x+(BzCx-BXCZ)y+(BxCy-ByCx)zCx Cy C=C B,C 工A (B x Q =0 x(BxCy-ByCx)z-z=O1.3 已知 A=co s a+gs in a、B=x c
3、o s-y s in(3 C=xc o s/3+y s in(3,证明这三个矢量都是单位矢量,且三个矢量是共面的。证明:1)三个矢量都是单位矢量A=同=JA:+A;+A;=Vco s2 +s in2 a=1B=网=JB;+B;+B:=7 co s2 +s in2 =1c=|c|=Jc:+C;+C;=7 co s2+s i n2=12)三个矢量是共面的土 yB x C Bxx Byvc cZB_=2 co s/?s in 伉cA(B x C)=0 x 2 co s 用 s in废-2 =01.4 当 A I Z时.求 a。解:当N 1Z时,=0A,B=t z+2 +3 =0所以a =-51.5
4、证明三个矢量4 =5-5$、B=3 x-7 y-z C=一2 -2 -2形成一个三角形的三条边,并利用矢积求此三角形的面积。证 明:因 为A-B =2x+2y+zA +(-B)+C =0所以三个矢量A、B和C形成一个三角形此三角形的面积为5=小、同=XyA,B、zAB ;x y5-53 -7z0 =V 52+52+2 02/2 =1 0.6-11.6 P点和Q点的位置矢量分别为5 +1 2 亍+2 和 2 -3 亍+二 求从P点到Q点的距离矢量及其长度。解:从 P点到Q点的距离矢量为R =rQ-rp=(2 x-3 y +z)-(5 x +1 2 y +z)=-3 x-1 5 y从 P点到Q点的
5、距离为/?=|=7 32+1 52=1 5.31.7 求与两矢量A 4 x-3 y +z和B=2 x+y-z都正交的单位矢量。解:设矢量C 与两矢量A=4 3 夕+2和 5=2+夕2 都正交,则A-C =4 C -3 C +C.=0 (1)*)ZB C =2 C+C-C.=0 (2)x y t.+(2)得 6 Cv-2 Cv=0 t C,=3C(3)(1)+3 义(2)得 1 0 Cv-2Q=0 f Cz=5 CV(4)如果矢量6是单位矢量,则C =I c|=Tc J Tc f Tc F =7C9C1+25C=1所以 c*=j=0.1 6 97 1 +9 +2 5J =3C”().5()7C.
6、=5Q=0.8 4 5C =0.1 6 9 r +0.5 0 7 9 +0.8 4 5 z1.8 将直角坐标系中的矢量场 分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解:在圆柱坐标系中cos。si”0cos。si”01cos。=-sin 9 cos。0“=-sin 9 cos。00=sin。001001 0_0Fx(夕,夕,z)=cos痂-sin(p(pcos。si”0-4-cose si”0usin。F*二一 si”cose 0-sine cose 01=cos。一 心 一0 0 1_FZ20 0 1_ 00F2 1p,z)=sin 痂 +cos 时在圆球坐标系中F“殳=sin。coscosOc
7、os。sin OsinocosOsinecos。一 sin。正 叫-sincos。0sinOcosesin Osin 夕cos。丁sin。cose=cos0cos(pcosOsin。一 sin。0=cosOcosp-sincos00-sinFx(r,a(P)=sin 0cos(pp+coscos-sin qxp工2F 2F*=sinOcos。cosOcos/-sin sinOcos。sin Osin 夕cosOsin 夕cos夕sin Osin 0cos。一 sin。0cos。%sin 8 sine_F-0-z2_=cosOcosocossin?sin。1cosOsin/一 sin ocos。
8、0 J0cos.人F2(r,0.cp)=sin sin+cos sin(p6+cos(p)1.9将 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 场二三用直角坐标系中的坐标分.;A一量表示。得(1)6(x,y,z)=2cos m+2sin 新凡cos sin 夕 022cos 夕%=sin 夕 cose 00二2sine0 0 1 00又因为(2)一2F(x,y,z)=2Q=-(xr+yy)F2(x,y,z)=-3sin 砒+3cos 行利 用(2)式可得_3F、(x,y,z)=3(p=,(戏-yx)k+y1.1 0 将圆球坐标系中的矢量场;运用直角坐标系中的坐标分量表示。解:根据Ff(x,y,z)=x
9、5 sin 0cos(p+y5 sin 9sin 夕+z5 cos。sin 3cos(pcos。cos。-sin 55sin6cose%=sin Osin cosOsin/cos。0=5sin Osin 夕cos。一 sin 6005cos。x-r s in 0c o s(p又因为)=。=0 x /人 i/人八八、二 /,(xx+yy+zz)Jx +y +z-0=/,;(方一词E(厂,a o)=。=。x /,/人 人、4 /八 八 人、=厂,广(x y-y x)x ,(xx+yy+z z)Jx +y x2+y2+z-=-/J T 7 l-z(x2+/)+x z r+y z y 7 x2+y2
10、x2+y2+z21.1 1计 算在圆柱坐标系中两点P(5,n/6,5)和Q(2,万/3,4)之间的距离。解:两点P(5,乃/6,5)和。(2,乃/3,4)之间的距离为4=J(X|%)2+(|一内产+91-Z z)?=A/(5X CO S(ZT/6)-2X CO S(/3)2+(5 x s in(/6)-2 x s in(/3)2+(5-4)2=J(3.3 3)2 +(0.7 6 8,+2 =7 1 2.6 9 =3.5 61.1 2 空间中同一点上有两个矢量,取圆柱坐标系,4 =3 0 +5 0 4 2,8=2。+4 0 +3 2,求:(a)4+8 ;(b)Ax B;(c)A和B的单位矢量;(
11、d)A和3之间的夹角;(e)A和3的大小;A在5上的投影。解:(a)H+月=(3 +2)万+(5 +4)0+(-4+3)2 =5。+9。-2(c)A=1-(3。+5。一 4z)=(2p+4+3z)、*二.y“7.07”人B 1b =(2p+4+3z)B 抄+42+32(d)A和3之间的夹角短即+力+3力0=cos-1(B)-c o s-I()=68.4。AB 38.077(e)A和3的大小A=7.071B=4 B B;+B:=5.385(DA在5上的投影-人 1A/?=(3Q+50 42)y (2 Q +40+32)=2.61.13矢量场中,取圆柱坐标系,已知在点r(1,乃/2,2)矢量为4=
12、2。+3 0,在点Q(2,%,3)矢量为 5=3Q+1O2;求:(a)A+5;(b)A(c)A 和 3 之间的夹角。解:转换到直角坐标系I sin(5IT/LA.A.A suno ocsO O(a)(b)(c)AB-3x+2y-1000-1000-30103x+1 OzA+B-29+102A-B=9A和8之间的夹角6=cos-1(-)=cos-1(-)=125.7AB 15.441.14计算在圆球坐标系中两点P(10,乃/4,万/3)和Q(2,乃/2,外 之 间的距离及从P点 到Q点的距离矢量。解:根据圆球坐标与直角坐标的关系x=r s in 0c o s(p y =r s in O s in
13、。z-r c o s OX =r s in 6 co s =1 O x 0.7 0 7 x 0.5 =3.5 3 5 y=r s in s i n=1 0 x 0.7 0 7 x 0.8 6 6=6.1 2 2Z=r c o s d=1 0 x 0.7 0 7=7.0 7x2=r s in co s =2 x 1 x(-1)=-2 y2-r s in s in?=2 x lx =0z2=r c o s d=2 x 0 =0d=-尸+(弘 一丁2尸 +(Z-2 2)2=7(3.5 3 5+2)2 3*6*8+(6.1 2 2)2+(7.0 7)2=1 0.8 71.1 5空间中的同一点上有两个矢
14、量,取圆球坐标系,A=3r +0+5(p,8=2/一。+4 0,求:(a)A+8 ;(b)A“;(c)A和3的单位矢量;(d)4和B之间的夹角;(e)A和8的大小;A在8上的投影。解:(a)4+3 =5/+9 0(b)A B=25(c)A和5的单位矢量A Z*I人3 =(3/+6 +5 0);Z?=(2f 6 +4。)V3 5 V2 1(d)A和8之间的夹角6=co s-1(无 当=co s 1(金-)=2 2.7 5 AB 2 7.1 1(e)A和B的大小A=+由+A;=5.9 28 =加+比+用=4.5 8(f)A在5上的投影=(3/+3 +5 0 A 4(25一。+4。)=5.4 5 5
15、1.1 6 求/(X,y,Z)二/产 的梯度。解:V/=x+y +z=3x2y2zx+2x3yzy+x3 y2zdx.dy di1.1 7 求标量场三在点(I1 1)沿方向的变化率。解:公琮+痔+冬yi+6 +4z2l,、二(xx-2y+z)次+V+12=xy 2x+4zJ/+y 2 +所以詈|(1”)=/1.1 8 由利用圆柱坐标和直角坐标的关系,推导解:在直角坐标系中(1)X =pcos夕y=p sin(pz 二 z(2)P(p =arctg x(3)(4)(5)由(2)、(3)式可得dp=COS(Pdx(6)_ _ 2 _d(p x2 y 1 .5、-=-=广 一7 =s in e (7
16、)&1 +()2 尸+y-PXepSy=s in (p(8)1d(p x x 1 ”、=-=-=co s*(9)i +(2)2%+y PX由(1)一(5)式得V 0 =x +y +z 今 4 d人 人 八 八 8 D 人独=(Q co s e -0 s in (p)+(Q s in 0 +0 co s 0)+2 dx,dy di而加 5 0 dp M)d(p S O 1 S中.=-1-=-CO S 6 9-s in。&dp dx d(p dx dp p d(p。dp d(p d.1 3=-二+-=S H1 0+-C O S 6 9 dp dy d(p 8y dp p d(p再 由(6)-(9)
17、式可得VO=(Q co s _0s i n o)(c o s(p-s i n c p)dp p d(p/人.A、/凶).十 (Q s i n 0+0co s 0)(s i n 夕 +明_L硬p e(p八co s。)+z di。以高 +足以 s i n?。0 名 co s e s i”-非以 c o s*”dp p d(p dp p d(p+Q丝s i n”对生。s 2/+0旦。s*n +对生。s源”+把dp p d(p dp p d(p d z.-Z-1.1 9 求/(p,8,z)=p co s。的梯度。解:W旦+01且+2巨dp p d(p di=p c o s(p-(p n(p1.20由二
18、,利用圆球坐标和直角坐标的关系,推导立-O解:x=rsinOcosg=;v-1*-Ls=(以 包 +名 丝 +以 丝)(沁in%os+%os%os-0sin)dr dx d0 dx d(p dx+(黎导瑞*瑞凯沁 i n e s in o+%n c o s )+(凶)a”+项ae+加 3夕dr dz 80 dz d(p dz)(/cosg-isin。)50 八 人 人=(sincose)(/sin6cos+ecosecos夕一0sin0)dr1 3 人 人 人+(-cos Bcos cp)(/sin,cose+8cos9cos0-0sine)r d0-(-sin(p)(沁in8cos0+3co
19、secos0-0sino)rsin dtp50 八 八 八+(sin Osin)(rsin sincp+cossin(p+(pcos(p)dr+(-cos 6sin)(rsin 3sin(p-cossin+(pcos(p)r d01 50 人 八+(-cos。)(rsin 夕sin 夕+,cos6sin 0+0cos夕)rsin0 d(p8中 八+(cos 0)(尸cos。一 6sin 夕)dr1 3 人+(-sin。)(/cos6 Osin夕)r dO-1.21 求/(r,。,。)=sinO cos夕的梯度。解:7f=r +0-+(p-dr r 36 r s in 6&=/2 rs in 8
20、 c o s +为c o sec o s0 伊 sin。1.22求 梯 度?其 中 左 为 常 数。解:T=QVr=r=rdrNekr=r =rkekrdr1.23在圆球坐标系中,矢量场 附 为 反 力=与 尸,其中左为常数,证明矢量场 协 对任意闭合曲线/的环量积分为零,即,户,=0。/证明:根据斯托克思定理:dl=J JV x F S/sr r0r sin 60Vx F(r-7 x r da=0v x 厂r r sm0ap00所以p.j/=|V x F /S=Oi s1.23 证 明(1)证明:(2)(1)V 2登 色 虫+夕 且 虫+2 2 虫+&+dz TT dx+2 a 甲 p2 d
21、y P dz T2 dz=工+0+小例-戈 曳+名+史dx dy dz 5 f i r dy dz击(5一%)(2)VF()=2/+夕色尸+2 尸dx dy dza a a=xF O+F O+zF O=尸()dx dy dzHA-JS-1.24 由 SA =l i m -推导*-F=oA Y T0 A V a解:d 小Q d.dg-r-4-(CS O O y+du i s cy)ds o o y +s o o y +u i s y)u i s +d)Q d dq(d)u i s y-O s o o y)d)u i S y -(d)u i s y-O s o o y)ds o o =7 f f
22、g d)Q&Q d XQ d)Q XQ d而 小 而7+语 坛+而 砺+/至 一d 0O s o。一=U)UIS=d6 U IS-一力 s o o =XQd)QY。雨O s o o 婚+。呼”w =Aydi i s V V=V 爵VTi o oV七 Io 5 C E 2klK=&|O iCI1S 5ODV(2)=sin Seos(pdxa/-5y=sin Osin/arf e/菽衫=cos 8=-cos Ocos(pr1 八=cosc/sm?1 .=sm 8dz rd(p _ sin cpdx rsin 0d(p _ cos(pdy 厂 sin。丝=0dz|_-f i r Oe S3x dr
23、dAx Q6 dAx d(p 必),dr 5Ay Q0 dAy Q(pdr dx 5 0 dx d(p dx dr dy d0 dy d(p dy阴 一 dr dA.d0 dA.d(p+-+-+-dr dz dO dz d(p dz=sincos(p(sin cos(pAr+cos9cos(pA0 一sin 出)dr+cos cos(p-(sin cos(pAr+cos cos(pAe-sin 4)sin。drsin 加(sinOcosM +cos6cos处 0-sin(pA)d+sin sin 一(sin Osin 出,.+cos Osin(pAe+cos 出)dr+cos sin (sin
24、 0 sin(pAr+cos 6 sin(pA0+cos(pA)r 60COS。U /C.A 八 A A、+-z-(sinsin(pAr+cossin(pA0+cos 出)rsin 0&pa+cos 0 (cos 0Ar-sin 3A0)drsin6 3,八4 .、-(cos 3Ar sin 6A0)r 30-sin2 cos2(p-Ar+sinco s cos2(p A0-sin 6 8 s sin(p-Adr dr dr+si.n2 Osin2 (p-日 A.2.0r 4-sin cos sin(p A0+sin sin?cos cp4-cos2 0-Ar-cos Osin。二 A。dr
25、dr+(sin Seos 6cos2(p-Ar+cos2 Seos2 cp Ao-cos 8 cos 9sinc p-A)r 30 36 30+(sin Seos Osin?cp Ar+cos2 sin2(p A0 4-cos Bsin 9cos(p A)r 30 36 36-(sin 6cos 0 Ar-sin2 0-Ao)r 30 33+(cos2/9cos2(pAr-sin/9cos cos2(pA0)r+(cos 2 Osin2 3Ar-sin cos 0sin2(pA0)r1 .9+(sin*-0Ar+sincos 0AO)r1H-rsina a e(-sinsincos Ar-co
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