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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知:1 .全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2 B 铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2 .请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3 .保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5 分,共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知AABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+c :力=2 c 2,若 c 为最大边,则”2的取值范围a1 2+b2 c1A.-2 B.-1
2、 C.一一24.已知集合4 =卜|%2,1 ,8 =3 1 ,则 A U(Q 3)=(A.x|x 0 B.x|0 !k 1 C.x|-L,x 0成立,已知a =/(l n),一%则。,b,c的大小关系为()A.b a c B.b c a C.c b a D.c a b3.执行如图所示的程序框图,当输出的S =2时,则输入的S的值为()1D.-2)D.x|x.-l)5.已知不重合的平面a,和直线/,贝!“0/?”的充分不必要条件是()A.a内有无数条直线与夕平行 B.11a且/C.a lr且D.a内的任何直线都与夕平行6.在函数:丁二 口刈;y=|cosx|;=cos(2x+2;丫=tan 2
3、x-?中,最小正周期为江的所有函 数 为()A.B.C.D.x-2 y-2 Q7.若x、),满足约束条件0,30),将函数/(x)的图象向左平移?个单位长度,得到函数g(x)的图象,若TT函数g(x)的图象的一条对称轴是=二,则。的最小值为612 5 5A.B C.D.一6 3 3 69.如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm ,则该几何体的表面积为()人 入Zt-=7 /C 4 A.15兀 c m2 B.217r c m2C.24冗 c m2 D.334 c m210.ZVLBC的内角AB,C的对边分别为a,4 c,已知Q+2c=2Z?cosA,则角3的大小为()11.正方体A5
4、CQ-A与G。,月(i=l,2,42)是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面AG 3平行的直线有 几 条()A.3 6 B.2 1 C.1 2 D.61 2 .已知等差数列 的公差为-2,前n项和为S,,若 的,%,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为1 2 0,则 S,的最大值为()A.5B.1 1C.2 0D.2 5二、填空题:本题共4小题,每小题5 分,共 2 0 分。1 3 .记复数z=a+历。为虚数单位)的共扼复数为2 =。一初(a,h R),已知z=2+i,则”=1 4.复数z =2/1+7a为虚数单位)的虚部为1 5 .若函数 x)=G:+l n x (aeR)的图象与
5、直线y =3 x l 相切,贝心=.1 6 .正四面体A-BCD的各个点在平面“同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为三、解答题:共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)已知函数/(x)=*-x C a e R,e 为自然对数的底数),g(x)=I n x+,n r+l.(1)若/(x)有两个零点,求实数”的取值范围;当 a =l 时,/+打 冷 对 任 意 的 收 他 田 再 成 立,求实数,的取值范围.3 11 8 .(1 2 分)在 三 角 形 ABC中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 s i n A =t a
6、n(A-B)=,角 C为钝角,b=5.(1)求 s i n B 的值;(2)求边c 的长.1 9.(1 2 分)已知函数/(x)=j 3 x +6 ,g(x)=J 1 4-x ,若存在实数x使/(x)+g(x)成立,求实数。的取值范围.2 0.(1 2 分)在直角坐标系x O y 中,直线/的参数方程为x=-3+2百y.a 为参数).以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的 极 坐 标 方 程 为-4 p c o s。+3=0.(1)求/的普通方程及。的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点尸至I 距离的取值范围.x =2+2 c o s 021.(12分)在平面直角坐标系中,
7、曲线G:fy 2=2,曲线C,的参数方程为.y =2s m(6为参数).以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G、g的极坐标方程;T T(2)在极坐标系中,射线。=二 与 曲 线G,C,分别交于A、B两点(异于极点。),定点加(3,0),求A M钻的面积22.(10分)已知圆Q:(x +i y +y 2=8上有一动点。,点仪的坐标为。,。),四边形Q。/为平行四边形,线段。出的垂直平分线交。小于点P.(I )求点P的轨迹C的方程;(I I)过 点 作 直 线 与 曲 线。交于4 B两点,点K的坐标为(2,1),直线8 4,四 与y轴分别交于M,N两点,求证:线段M N
8、的中点为定点,并 求 出 面 积 的 最 大 值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】4 4 4 2 2由+二二,化 简 得 到c o s C的值,根据余弦定理和基本不等式,即可求解.a2+b2【详解】,a4+h4+c4+a2b-n 2(a2+Z?2)2+c4-a2h2.2由-;-=2c-,可得-二 z-=2c2a2+h2a2+h2可得 2+工,(/+/-:)+*,病八殂(+2-C2)(C2 a2 2)+。22 _ 八遇分得-z-z-=0 9a2+b2整理得(/+02)2=a2b2,所以(矿+/厂产=,2a
9、b 4因为C为三角形的最大角,所以c o s C=,,2又由余弦定理,=cr+-2abcosC=a2+/?2+ah=(a+b)2-ah(a+/?)2-(-)2=-(+/?)2,当且仅当a=8时,等号成立,2 4m i、i J 3 7 日n。,2/3所以C (Q+),即-c,所以F的取值范围是(1,寺 .故选:C.【点睛】本题主要考查了代数式的化简,余弦定理,以及基本不等式的综合应用,试题难度较大,属于中档试题,着重考查了推理与运算能力.2.A【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解:对 V%,尤,G(YO,0),且 看工,有 )0%一%/(x)在X(,0)上递增因为定义在R上的偶函
10、数/(x)所以/(x)在x e(O,M)上递减又因为 l o g 2石=b g 2 62,l l n%2,o e W a c故选:A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.3.B【解析】1若输入 S=2,则执行循环得 S=-=2;S=3 2 M=3;S=-2,K=4;S=1 =5;S=3 ,&=6;3 2 3 21335=-2 =7;5=,2=8;5=巳 =9;结束循环,输出S=一 ,与题意输出的S=2矛盾;3 2 2若输入 S=-l,则执行循环得 S=L =2;S=2M=3;S=-1,&=4;S=L,&=5;S=2,A:=6;2 2S=-1 =7;S=M=8;S=2,Z=9;结束循
11、环,输出5=2,符合题意;21 7 I 2若输入S=-一,则执行循环得S=2;S=3,4=3;S=-,k=4-,S=-,k=5;S =3,k=&,2 3 2 31 7S=-二=7;S=;#=8;S=3,Z=9;结束循环,输出5=3,与题意输出的S=2矛盾;23若输入S=2,则执行循环得 S=2M=2;S=-1,Z=3;S=L,Z=4;S=2/=5;S=-1,&=6;2 2S=L#=7;S=2 =8;S=1,A=9;结束循环,输出S=l,与题意输出的S=2矛盾;2综上选B.4.D【解析】先求出集合A,B,再求集合5的补集,然后求AU(QB)【详解】A=x|-1触 l,B=x|x 0 ,所以 AU
12、(B)=x|x.-l.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.5.B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】A.C内有无数条直线与夕平行,则外尸相交或。/,排除;B.l a且/!,故。/力,当&/力,不 能 得 到 且/,尸,满足;C.1/且y _ L尸,/?,则 以 尸相交或二/乃,排除;D.a内的任何直线都与夕平行,故a/月,若a/尸,则a内的任何直线都与尸平行,充要条件,排除.故选:B.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.6.A【解析】逐 一 考 查
13、所 给 的 函 数:y =c o s|2x|=c o s 2x ,该 函 数 为 偶 函 数,周 期7=夸=万;将 函 数y =c o s x图 象x轴 下 方 的 图 象 向 上 翻 折 即 可 得 到y =|c o s H的 图 象,该函数的周期为1 c一 x 2万=:2函 数y =c o s(2x +f 的 最 小 正 周 期 为T咛”;函数,一|的 最 小 正 周 期 为T=;综上可得最小正周期为万的所有函数为.本 题 选 择A选项.点 睛:求 三 角 函 数 式 的 最 小 正 周 期 时,要 尽 可 能 地 化 为 只 含 一 个 三 角 函 数 的 式 子,否则很容易出现错误.一
14、 般 地,经 过 恒 等 变 形 成_y=Asin(ex+9),y=Acos(x+e),y=Atan(“x+9)”的 形 式,再利用周期公式即可.7.C【解析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线z=3x+2 y,找出直线在),轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】x 2y 2 0作出满足约束条件x-y+1 2 0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.y 0,贝i J c o sB =-一,而3e(0,/),所以8 =一.23故选:A【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形,属于基础题.11.B【解析】先找到与平面4 GB平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【详
15、解】考虑与平面AGB平行的平面4,平 面/1山,平 面/代 2小,共有+=21,故选:B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.12.D【解析】由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列 4 的公差为-2,可知数列单调递减,则a3,%中 生 最 大,为最小,又 的,生,4为三角形的三边长,且最大内角为120。,由余弦定理得 2=+4+。3a 4 设首项为a,即(a2)2=-4)2+(a6)2+闭 4)(a6)=0得(a,-4)(-9)=0,所以4=4或4=9,又%=a 1
16、一6 0,即 a 1 6,q =4舍去,故4=9,d=-2前项和 sf l=9 n+V2 7X(-2)=-(H-5)+2 5.故 S”的最大值为S s=25.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分。13.3-4/【解析】计算得到z2=(2+0 2=3+4i,再计算?得到答案.【详解】z=2+i,.*.z2=(2+i)2=3+4i,则 z?=3 4 3故答案为:3-4i.【点睛】本题考查了复数的运算,共朝复数,意在考查学生的计算能力.14.1【解析】2i 2:(1-
17、i)2i+2试题分析:Z=r =1+:,即虚部为1,故填:1.1+:(l+il-i)2考点:复数的代数运算15.2【解析】./,(x0)=a +=3设切点4(%,%)由已知可得%,即可解得所求./(尤。)=a r0+l n x0=3x0-1【详解】设 A(X o,%),因为尸(x)=a +L 所 以 +,=3,即”=3 5-1,又 为=/+I n%,%=3 5-1.所以 I n%=0,xxo即 =1 ,a=2故答案为:2.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.16.Vio【解析】不妨设点A,D,C,5 到面的距离分别为1,
18、2,3,4,平面M 向下平移两个单位,与正四面体相交,过点O,与 AB,AC分别相交于点E,F,根据题意产为中点,E 为 A 8 的三等分点(靠近点4),设棱长为a,求得匕*且/*如。=正/,再 用 余 弦 定 理 求 得:E F,D E D F,c o s N E D F ,从而求得/3 24 3 72S EDF=-x D E x D F x s m Z E D F =-x -a x -a x =-a2,再根据顶点 A 到面 EO尸的距离为 1,得到皿 2 2 3 2 V21 12匕 曲xS.x lx或/*1 =走/,然后利用等体积法力”.=匕_ 诋一求解,3 3 12 36【详解】不妨设点
19、A,D,C,8 到面的距离分别为1,2,3,4,平面M 向下平移两个单位,与正四面体相交,过点。,与 4 8,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:尸为中点,E 为 A B的三等分点(靠近点4),设棱长为a,S AFF=x x xsin60=-a2 M F 2 2 3 24顶点。到面ABC的距离为1=J/且 =凡N 13 J 3所以匕,AFF=x 2 x-a=-a3,D-AEF 3 24 3 72|i ii 7 1 7由余弦定理得:E F2=-a2+-a2-2x-ax-axcos601=a2,DE2=-2+a2-2xax-axcos60=-a2,4 9 2 3 36 9 3 9 1 2
20、2 c 1 zc 3,丁“DE2+DF2-E F2 4DF-=+“2 -2XQX”XCOS60=tzcosZEDF=-=f=,4 2 4 2 DEDF 历所以 sin NEDF=,所以 S FDF=*DE又 DFxsin4EDF=义包a又昱a x =2a721 2 2 3 2 V21 12又 顶 点A到 面EDF的 距 离 为1,所 以.EO F=lx S .X1=L 旦2*1=旦2,A-EDF 3 gF 3 2 36因为 VD-AEF=KI-DEF 所吟得解 得a=V To 故答案为:M【点 睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力
21、,属于难题,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17.(1)0,-;(2)(-0,知X0n x*/(X)有 两 个 零 点=a=下 有两个相异实根.令G(x)=(,贝=由G(x)0得:0 c x e,由G(x)e,G(x)在(0,e)单调递增,在(e,+8)单调递减.G(x)max=G(e)=;,又.8)=0 当Ovxvl 时,G(x)1 时,G(x)0当+oo时,G(x)f 0/(X)有两个零点时,实数4的取值范围为 o,/);(2)当。=1 时,f (x)=ex-x,原命题等价于xeA lnx+m x+l对一切X G(O,+O O)恒成立u m ex-生色-对一
22、切 x e(O,+8)恒成立.x x令/(%)=_处_,(%0):,m 0 /2(x)在(0,+。)上单增又/z=e0,h=ee 2-l6?-l=0o e|-,1 J,使(不)=0即+Inx0=00当x e(O,尤o)时,7 z(x)0,即F(x)在(0,与)递减,在(升,小)递增,Ao Ao由知=T n /品 l nx0 1 .1 J 1 )l nr/.xoe=-=I n =I n e%X。xo xo I函数0(x)=M在(o,+力)单调递增,1/.x0=I n一 即 x0=-l nx0:.F(x).=e T n%_ _L =_ L +l=l,、,m i n Y Y Y Y人0 人0 人0
23、40m,实数,的取值范围为(c o,.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值问题,考查学生转化能力和分析能力,是一道难度较大的题目.1 8.(1)s i n B=2 1 1 1 (2)c =1 31 0【解析】(1)由s i n8 =s i n A (A 8),分别求得s i n4 c o s A,s i n(A-B),c o s(A-B)得到答案;(2)利用正弦定理苫=2 得 到a =3厢,利用余弦定理解出c =1 3.b s i nn【详解】3(1)因为角 C 为钝角,s i nA =-,所以 c o s A =A/l si nA =4w ,1jr又t a n(A _ 5)=
24、,所以0 a成立”转化为“求函数/(x)+g (x)的最大值”,再借助柯西不等式求出/(x)+g(x)的最大值即可获解.试题解析:存在实数x使/(x)+g(x)。成立,等价于/(x)+g(x)的最大值大于a,因为/(X)+g(x)=x+6 +y/l4-X=X-Jx+2+lx V14-X,由柯西不等式:(石x J T T I +l x Ji工(3 +l)(x+2 +1 4-x)=6 4,所以/(J)+g(x)=j3 x+6 +J 1 4-x W 8,当且仅当x =1 0时取“二”,故常数。的取值范围是(-8,8).考点:柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.2 0.(1)6xy+3G=O
25、,x2+y2-4 x +3 =O.(2)+i【解析】(1)根据直线/的参数方程为x=-3 4 ,r2 a为参数),消去参数/,即可求得的/的普通方程,曲线c的极坐标方y=t2程为22-4COS6+3=0,利用极坐标化直角坐标的公式:,x=pcosd,八,即可求得答案;y=夕 s i n(2)C的标准方程为(x-2)2 +y 2=i,圆心为C(2,0),半径为1,根据点到直线距离公式,即可求得答案.【详解】x=-3+,(D直线/的参数方程为,厂2。为参数),消去参数fy 2的普通方程为百工一丁+3G=0.曲线C的 极 坐 标 方 程 为 一 4Q c o s e +3 =0,x-pcos,0利用
26、极坐标化直角坐标的公式:.八y=p s i n 0C的直角坐标方程为d+y2-4 x+3 =0.(2)C的标准方程为(x 2)2 +y 2=i,圆心为C(2,0),半径为1二圆心C到/的距离为d=|2 6-0 +3、|=巫 ,2 2c Pi c/o二点p到/的距离的取值范围是+-1,+1.2 2【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.2 1.(1)C j:p c o s2 0-p s i n2 0 =2,C2:p =4 c o s ;(2)3/二 3.2【解析】(1)先把参数方程化成普通方程,再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐
27、标方程;(2)先 利 用 极 坐 标 求 出 弦 长,再求高,最后求A M 4 8的面积.【详解】(1)曲线G的极坐标方程为:p2c o s26 -p2s i n2 =2 ,因为曲线G的普通方程为:(x 2 y+y2=4 ,.-.X2+/-4X=0.曲线G的极坐标方程为P=4 c o s。;/71(2)由(1)得:点A的极坐标为2,z点8的极坐标为二.|A 5|=|2-2闽=2 8-2,M(3,0)点到射线。=1(。2 0)的距离为d=3 s i n =与6 6 2的 面 积 为 如MM=gx(26-2)x|=|二【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化,同时也考查了利用极坐标
28、方程求解面积问题,考查计算能力,属于中等题.22 2.(I )、+丁=1(0);(I I)4.【解析】(I)先画出图形,结合垂直平分线和平行四边形性质可得怛。|+归 勾=|。勾=2及 为 一 定 值,2 a 2 c,故可确定点P轨迹为椭圆(y#0),进而求解;r(DD设直线方程为x =?.y +l,点A,B坐标分别为(石,x),(w,%),联立直线与椭圆方程得X +%=二 巴,m+2=分别由点斜式求得直线必的方程为y-i =H(x-2),令x =o得y.=W-2)+i,同理得由 九 产 结 合 韦 达 定 理 即 可 求 解,而1 0 =3|阿 卜2 =|2 =2%(1)当重合交于(0)点时,
29、可求最值;【详解】(I )POPO=PR+PO2=RO2=QOt=2 V 2 ,所以点P的轨迹是一个椭圆,且长轴长2 a =2 a,半焦距c =l,r2所以 2=a2_c2=l f轨迹。的方程为1+丁=1(工0).(D)当直线A B 的斜率为0 时,与曲线。无交点.当直线A 8 的斜率不为0 时,设过点。2的直线方程为x=my+l,点 A B 坐标分别为(内,弘),(,%)直线与椭圆方程联立得x=my+l,院X2+2消去 X,得(利2+2)y2+2阳-1=0.-2772 1则 x +%=-r,必 必=工 3?m+2 m+2直线K A的方程为y-1 =2 kW(x-2).王一L八 八工(m-2)必+1令 X=0 得 加=-:.my1-1同理可得以J ;)5PPJ 加+_ (-2)1+1(,肛,2 -1)+(机-2)%+1(,孙-1)2(my,一(?-2)%+(+%)7m2yly2-m(y,+y2)+l m(m 2)-2m-(m2+2-nV+2m2+m2+2所以M N 的中点为(0,-1).不妨设M 点在N 点的上方,则 S.KMN=g W M 2=|MN|=2-(-1 4 2 x(1+1)=4.【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程,椭圆中的定点定值问题,属于中档题
限制150内