初四数学预习学案.pdf
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1、第二十四章圆导学案24.1.1 圆定义:1.在同一平面内,线 段 绕 它 固 定 的 一 个 端 点。旋转一周,另一个端点/随之旋转所形成的图形叫做圆.(画法)2.到定点。的距离等于定长r 的所有的点组成的图形.(含义也是判断点在圆上的方法)表示方法:读 作“圆0”二.构成元素:1.圆心、半 径(直径)2.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.3.弧,优弧:大于半圆的弧半圆弧:直径分成的两条弧劣弧:小于半圆的弧如图:优弧/8 C 记 作 氐 册,半 圆 弧 记 作 i B,劣弧/C 记 作 岗4.同心圆:圆心相同,半径不同的两圆5.等圆:能够重合的两个圆6.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫
2、做等弧.三.例题:1.下列说法正确的是直径是弦 弦是直径半径是弦半圆是弧,但弧不一定是半圆半径相等的两个半圆是等弧 长度相等的两条弧是等弧 等弧的长度相等2.如图,4 8 是。的直径,C是。的弦,4 B、8 的延长线交于点E,已知45=2E,的度数.3.求证:圆的直径是圆中最长的弦4.已知:如图,四边形48CD是矩形,对角线Z C、8。交于点O.求证:点/、B、C、。在以。为圆心的圆上.5.如 图,菱形48CQ中,点 E、尸、G、,分别为各边的中点.求证:点E、F、G、”四点在同一个圆上.四.目标检测:选择题:I.A.1.A.3.A.以点。为圆心作圆,可 以 作(1 个B.2 个一个点到圆的最
3、小距离为4cm,2.5cm 或 6.5cm B.2.5cm确定一个圆的条件为(圆心B.半径)C.3 个D.无数个最大距离为9 c m,则该圆的直径是()C.6.5cm)C.圆心和半径D.5cm 或 13cmD.以上都不对.4.如图,4 8 是。的直径,C 3 是。的弦,三角形,则 NE的度数为()A.22.5 B.30 C.45二.解答题:5.如图,在。中,A C、8。为直径,求证:4 B、8 的延长线交于点E,已知”=2 O E,若 ACOO为直角D.15A B H C D6.如图,0 4、。8 为。的半径,C、D为O A、0 8 上两点,且 NC=8。求证:AD =BC7.如 图,四边形4
4、8C。是正方形,对角线Z C、8。交于点。.求证:点 4、B、C、。在以。为圆心的圆上.8.如图,在矩形Z8C。中,点E、尸、G、H 分别为。4、0 5、0 C、的中点.求证:点、F、G、H R点在同一个圆上.24.1.2 圆一.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧.符号语言:是。的直径 又.力B_LCDC E =D E 岗=髭推论:平 分 弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦所对的两条弧符号语言::/B 是。的直径 又,:C E =D E:.AB 1 C D,R?=二.例题:你知道赵州桥吗?它 是 1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的
5、主桥拱是圆弧形,它的筋度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2加,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?三.练习:1.如图,在。中,弦 4 3 的长为8 c m,圆心。到 4 5 的距离为3cm.求。的半径.2 .如图,在。中,A B、4C为互相垂直且相等的两条弦,1 于Q ,OE14C于E.求证:四边形4 O O E为正方形.C/、3 .如图所示,两个同心圆。,大圆的弦力8交小圆于C、。.求证:AC =BD (4 .如图所示,在。中,C、。是 弦 上 的 两 点,且 4 D =B C.求证:O C =O D(人)AVc D7目标检测1 .如图,在。O中,是弦,O C _
6、 L/B 于C.(1)若。/=5,0 C =4,求 的长;(2)若。/=6,AB=8,求。C 的长;若4 8 =1 2,0 C =8,求。的半径;若乙4 0 8 =1 2 0。,O J =1 0 O A=1 0,求 的 长.2 .如图所示,在。中,/、3是弦CQ延长线的两点,且 0 4 =0 8.求证:AC =BD3 .如图,在 9 0中,是弦,C为0 的中点,若 8 c =2 后,O到 的 距 离 为 1.求。的半径.4 .如图,-个圆弧形桥拱,其跨度4 8 为 1 0 米,拱高8 为 1 米.求桥拱的半径.5.。的半径为5c机,弦 4 B=6c m,弦 8=8 c m,且4 5 8.求两弦
7、之间的距离.24.1.3 趴一.弧、弦、圆心角:1.在同圆或等圆中,相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧,所对的弦.符号语言:2.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 相等,所对的_ _ _ _ _ _也相等.符号语言:3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的 相等,所对的_ _ _ _ _ _ 也相等.符号语言:例题:1.如图,在。中,虚=位,/4CB=60。.求证:AOB=Z BOC =Z AOC2.如图,在。中,A B、8 是两条弦,。尸_LC)于尸.如果4 4O8=N C O Z),那么OE与O F的大小有什么关系?为什么?如果OE=O尸,那 么 如 与C。的大小
8、有什么关系?为什么?N A O B 与 N C O D 呢?三.练习:1.如图,A B、CD是。的两条弦.(1)如果/13=。,则有,.如果尼=包,则有,.如果NZO8=N C O Z),则有,.如果48=CQ,OE L 4B 于 E ,OF L CD于 F,则OE与O尸相等吗?为什么?2.如 图,”是。的直径,品=面=施,Z C O D=35,求4 O E的度数.3.如图,AD =B C,比较俞与丽的长度,并证明你的结论.目标检测1.如果两个圆心角相等,那 么(A.这两个圆心角所对的弦相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等2.在同圆中,圆心角乙4 O 8 =2 N C。,A.轴=2 前 B
9、.娓 也)AB.这两个圆心角所对的弧相等D.以上说法都不对,/则两条储与E 关 系 是()/飞)C.窟 2 E D.不能确定 BV y3.如 图,。中,如果第=2 包,那 么().A.AB=2AC B.AB=AC C.AB 2 A C4 .交通工具上的轮子都是圆做的,这是运用了圆的性质中的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 .一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的_ _ _ _ _ _ _ _ _.6 .如图,和。E 是。的直径,弦 A C/D E ,若弦BE =3,则弦C E=_7.如图,在。中,C、。是 直 径 上 两 点,且/C =B。,M C LAB,c户ND r
10、AB,M、N 在。O 上.求证:A M=B N;8.如图,Z AOB=9 0 ,C、。是病的三等分点求证:A E=B F=C D.以 如 图 1 和图2,是。O的直径,弦 48、o c /,18 分别交OC、O D于点、E、F.A圉o BCD相 交 于 上 的 一 点P ,Z A P M =Z.C P M.由以上条件,你认为力8 和 CD大小关系是什么,请说明理由.若交点尸在。的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若;A M C图 1不成立,请说明理由.A图 224.1.4 圆探究:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系.已知:如 图 1,2,3 中,点 4、B、C都在。上
11、.筑所对的圆周角为;圆心角为如图1,N B 为。的直径,判断N B/C 与 N 8 0 c 的关系,并给出证明.如图2,圆心。在圆周角内部,中N A 4 c 与 Z B 0 C 的关系是否还成立,如图3,圆心。在圆周角外部,中N 8 N C 与 Z B O C 的关系是否还成立,说明理由.说明理由.结论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(直径)所对的圆周角是直角,90。的角所对的弦是直径.符号语言:如 图 1如图2二.例题:1.如图,在。中,点N、5、C、。、E、尸都在。上,5.ABAC =2.如图,。的 直 径 为IOCVM,弦“C 为6CTH
12、,NOB的平分线交。于。.求 5 C、AD.B 3 的长.3.如图,是。的直径,8。是。的弦,延长5。到 C,使 ZC=48.猜想5。与8的数量关系,并说明理由.目标检测1.如图,点 A、B、C 在。O 上,Z A 的度数是25,则NBOC的度数是。的直径,点 C、D 在。O 上,若ND=65,则/C A B 的曜是。4.如图,A B是。O 的直径,点 C、D 在。0 上,且点D 是 比 的中点,若/CAB=20,则/D的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5.3 1 图,半径OALOB,O B与。O 交于点C,连结A B交。O 于点D,且点D是玩的中点,则N B 的度数是。6.半径
13、为2。的。O 中,弦 A B的长为2石 ,则弦AB所对的圆周角的度数是7.如图,A B是。O 的直径,C、D、E 都是圆上的点,则Nl+N2=8.如图,C_L/B于E,若 N8=60。,则 4 4 的度数为9.如图,0Z_L5C,N4 OB=50 ,求 4 O C 的度数.1 0.如图,四边形4BCO的四个顶点都在。上.如图1,猜 想 四 边 形 的 对 角 的 关 系,并说明理由.如图2,中的结论是否成立?并说明理由.1 1.如图,在。O 中,AB=AC ,Z AP C =60.求证:A 48c是等边三角形.积.若8C=4cM,求。O 的面24.2.1 圆一.点与圆的位置关系:点/、B、C
14、到圆心。的距离为,半径为r点8 在圆外(2)点C 在圆上o d =厂 点/在圆内符号语言:探究:如图1,作经过已知点4 的圆,这样的圆能作 个;如图2,作经过已知点/、8 的圆,这样的圆能作 个,它们的圆心有什么特点?如图3,作经过已知点/、B、C 的圆,这样的圆能作 个.A图1A B图 2AB C图3结论:不在同一条直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.三.例题:1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.2.如图,
15、已知梯形 48CD 中,A B H C D ,AD =BC,AB=4 S c m,C D =30c mC、。四点,写出作法并求出这圆的半径高27cm,求作一个圆经过/、B、四.练 习:1.已知。的半径为8,点P 到。的距离为6啦,则 有()A.点P 在。O 的内部 B.点 P 在。的外部 C.点尸在。上2.下列图形中四个顶点在同一个圆上的是()A.矩形、平行四边形 B.菱形、正方形 C.正方形、平行四边形D.以上都不对D.矩形、等腰梯形3.一 个三角形的外心在三角形的内部,则这个三角形是 三角形.4.在A4 8 c中,AB=8c m,AC =15c m,BC =17c m,则此三角形的外心是,
16、外接圆的半径为.5.在A4BC中,BC =24 c m,外心。到 8 C 的距离为6c,”,则 A48c外接圆的半径为.6.已知矩形 ABC D 的边 AB=3c m,AD =4 c m.以点/为圆心,4CTW为半径作。4,求点8、C、。与。4 的位置关系;若以点/为圆心作G)/,使得8、C、。三点中有且只有一点在圆外,求。4的半径/的取值范围.-目标检测选择题:1 .已知。的直径为6 c 机,若点尸是。内部一点,则O P 的长度的取值范围为()A.O P 6 B.OP 3 C.0 OP 3 D.0 OP 5 5?时,点尸在.当O P 时,点P在圆内;8 .已知A 4 5 c 的三边长分别为6
17、 c v M、Oc m,则 这 个 三 角 形 的 外 接 圆 的 面 积 为(结果用含:a的代数式表示)9 .如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图所示,4、8、C为市 个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.B人三个的的三圾内在.C1 0 .如图,在 4 4 B C 中,Z AC S =9 0,乙4 =3 0。,C D 1 AB,AC =3c m,以点C为圆心,石 c m 为半径画。C,请判断力、B、。与。C的位置关系,并说明理由.1 1 .在 A
18、 4 B C 中,AB=AC =0,3 C =1 2,求&4 8 c 外接圆的半径.1 2 .在等腰A 4 8 C 中,AB=AC ,。为 BC的中点,以BC为直径作。当4 为多少度时,点/在。上?当44 为多少度时,点/在。内部?当 为 多 少 度 时,点/在 外 部?2 4.2.2 圆一.直线与圆的位置关系:探 究 1:将。沿着箭头的方向平移,从。与直线机的公共点个数来看,会有哪几种情况.直线与圆有两个公共点。相 交(割线)直线与圆有个公共点O 相 切(切线,切点)直线与圆没有公共点O 相离探究2:类比点与圆的位置关系,从圆心到直线的距离(d)与 半 径(r)的大小关系来确定直线与圆的位置
19、关系.直线与圆相交odr直线与圆相切(/=?直线与圆相离o d r例题:圆的直径是1 3 c m,如果直线与圆心的距离d分别如下,判断直线与圆的位置关系?并说明公共点的个数.(1)4.5 c m(2)6.5 c m(3)8 c mA练习:如图,已知用A/L B C 的斜边4 B =8CT,AC =4 c m.以点C为圆心作圆,当半径为多长时,直 线 与。C相切?为什么?-dC以点。为圆心,分别以2 c m 和 4 c m 为半径作两个圆,这两个圆与直线4 B 分别有怎样的位置关系?三.探究:如图,点4在。上,请过点4画一条直线/,使得判断直线/与。的位置关系切线定义:经过半径的外端并且垂直这条
20、半径的直线是圆的切线(判定圆的切线的方法)性质:圆的切线垂直过切点的半径.例题:如图,直线4 3经过。匕的点C,且。9=。3,AC =BC.求证:直 线 是。的切线.练 习 1:如图,”是。的直径,AABC=4 5 ,AC=AB.求证:直线/C是。的切线.练习2:如图,4 8 是。的直径,直线4、G是。的切线,/、B是切点.猜想直线乙、4的位置关系,并给出证明.目标检测1 .。的半径为4,圆心。到直线/的距离为3,则直线/与。O的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断2 .。的直径是3,直线/与。相交,圆心。到直线/的距离是d,则1的取值范围为()A.d 3 B.1.5 d
21、3 C.0 J 1.5 D.7 03 .若。的直径是1 2 c m,圆心。到直线/的距离是5.5 cm,则直线/与。的公共点个数为()A.2个 B.1 个 C.0个 D.无数个为半径的圆与OB相切,则半径-c m3厂为半径.A 作圆。C,4.&4BC三边长分别为6,8,1 0,作A4BC的外接圆G)。,若直线/与圆心。的距离为6,则直线/与。的位置关 系 为()A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断5.以点P(3,2式)为圆心的圆与x 轴相切,则这个圆与y 轴的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交6.如图,4 0 5 =30。,P 为边0 4 上一点,且。尸=5的,若
22、以点尸为圆心,的 值 为()A 8 为切点.探究尸力、P 8 的数量关系及乙4PO、N8PO的关系.结论:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,叫做这点到圆的切线长.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.二.例题:如图,P A、PB是。的两条切线,/、B 为切点.NP =a如图1,若点C 在优弧4 8 上,猜想4 4c8 与a 的关系,并说明理由;如图2,若点C 在劣弧4 3 上,猜想4 c B 与a 的关系,并说明理由.练习:如图尸力、分别切。于点4、8,点C、。在。上.若 ZP=40。,则,ZC=,Z Z)=若 =1 3 0,贝 l j 4 OB=,ZC=,ZP=.三.探究:如图
23、三角形铁皮,怎样才能从中剪裁一个最大的圆?相关知识:内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心四.例 题:如图,A48C的内切圆G)。与各边分别相切于点。、E、尸.且=BC =l4 c m,C A=3c m,BDC求 4 尸、B D、C E的长.练 习 1:如图,A 4 B C 中,Z ABC =50,乙4 c 8 =7 5。,点。为内心,则N B O C 的为练习2:&4 8 c 的内切圆的半径为r,A 4 B C 的周长为/,求 A 4 3 C 的面积.数目标检测一.填 空题:1 .如 图,P A、尸 8分别切。于点4、B,点
24、、C、。在。上.若/C=5 0 ,则 N 4 0 8=,Z =,Z P =.(2)若 N/O B =1 3 0 ,则 NC=,ZD=,NP =.2 .如图,。是&4 8 C 的内切圆,D、E、尸是切点。若N A=7 0 ,则NEDF的度数是;若N E D F=5 0 ,则NA的度数是3 .如图,点 O是aABC的内心。若N A=7 0 ,则NBOC的度数是;若N B O C=1 3 0 ,则NA的度数是4 .如 图,在 A B C,若N C=9 0 ,点 O是内心,则NAOB的度数是。5 .如图,点 O是AABC的外心。若/A=7 0 ,则NBOC的度数是;若N B O C=1 3 0 ,则/
25、A的度数是二.解答题:1 .如图。O是4ABC的内切圆,D、E、F是切点,。的半径r=4,A B=1 0,A C=1 2 o 求4ABC的面积2 .如图。O是4ABC的内切圆,D、E、F是切点,Z C=9 0 ,若 A B=1 2,B C=5,求。O的半径4 .如图P A、P B 是。O的切线,A、B为切点,AC是。O的直径,Z B A C=2 0 求:NP的度数5 .如图P A、P B 是。O的切线,A、B为切点,AC是。O的直径。求证:O P B CB C=1 4BA7.已知a A B C。求作:。0,使。O和AA B C的各边都相切。(保留作图痕迹)B_24.2.2(3)圆一.反证法:步
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