导数压轴题题型归纳.pdf
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1、 导数压轴题题型归纳 1.高考命题回顾 例 1 已知函数 f(x)exln(xm)(新课标卷)(1)设 x0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m2 时,证明 f(x)0.例 2 已知函数 f(x)x2axb,g(x)ex(cxd),若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0,2),且在点 P处有相同的切线 y4x+2(新课标卷)()求 a,b,c,d 的值()若 x2 时,()()f xkg x,求 k 的取值范围。例 3 已知函数)(xf满足2121)0()1()(xxfefxfx(新课标)(1)求)(xf的解析式及单调区间;(2)若baxxxf22
2、1)(,求ba)1(的最大值。例 4 已知函数ln()1axbf xxx,曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。(新课标)()求a、b的值;()如果当0 x,且1x 时,ln()1xkf xxx,求k的取值范围。例 5 设函数2()1xf xexax(新课标)(1)若0a,求()f x的单调区间;(2)若当0 x 时()0f x,求a的取值范围 例 6 已知函数 f(x)(x3+3x2+ax+b)ex.(1)若 ab3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明 6.2.在解题中常用的有关结论(1)曲线()y
3、f x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx,且切线方程为 000()()()yfxxxf x。(2)若可导函数()yf x在 0 xx 处取得极值,则0()0fx。反之,不成立。(3)对于可导函数()f x,不等式()fx00()的解集决定函数()f x的递增(减)区间。(4)函数()f x在区间 I 上递增(减)的充要条件是:xI()fx0(0)恒成立(()fx 不恒为 0).(5)函数()f x(非常量函数)在区间 I 上不单调等价于()f x在区间 I 上有极值,则可等价转化为方程()0fx在区间 I 上有实根且为非二重根。(若()fx为二次函数且 I=R,则有0)。(6)()f x在
4、区间 I 上无极值等价于()f x在区间在上是单调函数,进而得到()fx0或()fx0在 I 上恒成立(7)若xI,()f x0恒成立,则min()f x0;若xI,()f x0恒成立,则max()f x0(8)若0 xI,使得0()f x0,则max()f x0;若0 xI,使得0()f x0,则min()f x0.(9)设()f x与()g x的定义域的交集为 D,若xD()()f xg x恒成立,则有 min()()0f xg x.(10)若对11xI、22xI,12()()f xg x恒成立,则minmax()()f xg x.若对11xI,22xI,使得12()()f xg x,则m
5、inmin()()f xg x.若对11xI,22xI,使得12()()f xg x,则maxmax()()f xg x.(11)已知()f x在区间1I上的值域为 A,,()g x在区间2I上值域为 B,若对11xI,22xI,使得1()f x=2()g x成立,则AB。(12)若三次函数 f(x)有三个零点,则方程()0fx有两个不等实根12xx、,且极大值大于 0,极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式:ln1(0)xxx ln+1(1)xx x()1xex 1xex 1 x x ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx 3.题型归纳 导数切线、定义、单调性、极值、最
6、值、的直接应用 例 7(构造函数,最值定位)设函数 21xf xxekx(其中kR).()当1k 时,求函数 f x的单调区间;()当1,12k时,求函数 f x在0,k上的最大值M.例 8(分类讨论,区间划分)已知函数3211()(0)32f xxaxxb a,()fx为函数()f x的导函数.(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是33yx,求,a b的值;(2)若函数()()axg xefx,求函数()g x的单调区间.例 9(切线)设函数axxf2)(.(1)当1a时,求函数)()(xxfxg在区间 1,0上的最小值;(2)当0a时,
7、曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l,l与x轴交于点)0,(2xA求证:axx21.例 10(极值比较)已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR 当0a 时,求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当23a 时,求函数()f x的单调区间与极值.例 11(零点存在性定理应用)已知函数()ln,().xf xx g xe 若函数 (x)=f(x)11xx,求函数 (x)的单调区间;设直线 l 为函数 f(x)的图象上一点 A(x0,f(x0)处的切线,证明:在区间(1,+)上存在唯一的 x0,使得直
8、线 l 与曲线 y=g(x)相切 例12(最值问题,两边分求)已知函数1()ln1af xxaxx()aR.当12a时,讨论()f x的单调性;设2()24.g xxbx当14a 时,若对任意1(0,2)x,存在21,2x,使12()()f xg x,求实数b取值范围.例13(二阶导转换)已知函数xxfln)(若)()()(RaxaxfxF,求)(xF的极大值;若kxxfxG2)()(在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围.例 14(综合技巧)设函数1()ln().f xxax aRx 讨论函数()f x的单调性;若()f x有两个极值点12,x x,记过点11(,(),A x
9、f x22(,()B xf x的直线斜率为k,问:是否存在a,使得2ka?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.交点与根的分布 例 15(切线交点)已知函数 323,f xaxbxx a bR在点 1,1f处的切线方程为20y 求函数 f x的解析式;若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有 12f xf xc,求实数c的最小值;若过点2,2Mmm 可作曲线 yf x的三条切线,求实数m的取值范围 例 16(根的个数)已知函数xxf)(,函数xxfxgsin)()(是区间-1,1上的减函数.(I)求的最大值;(II)若 1,11)(2xttxg在上恒成立,求 t 的取值范围;(
10、)讨论关于 x 的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数 例 17(综合应用)已知函数.23)32ln()(2xxxf 求 f(x)在0,1上的极值;若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式成立,求实数 a 的取值范围;若关于 x 的方程bxxf2)(在0,1上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.不等式证明 例 18(变形构造法)已知函数1)(xax,a 为正常数 若)(ln)(xxxf,且 a29,求函数)(xf的单调增区间;在中当0a时,函数)(xfy 的图象上任意不同的两点11,yxA,22,yxB,线段AB的中点为),(00yxC,记直线AB的斜率为k,试证
11、明:)(0 xfk 若)(ln)(xxxg,且对任意的2,0,21xx,21xx,都有1)()(1212xxxgxg,求 a 的取值范围 例 19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf.(1)若2)(xxf对任意的0 x恒成立,求实数a的取值范围;(2)当1a时,设函数xxfxg)()(,若1),1,1(,2121xxexx,求证42121)(xxxx 例 20(绝对值处理)已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点,且在1x处取得极大值(I)求实数a的取值范围;(II)若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根,求)(xf的解析式;(III)对
12、于(II)中的函数)(xf,对任意R、,求证:81|)sin2()sin2(|ff 例 21(等价变形)已知函数xaxxfln1)()aR()讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数;()若函数)(xf在1x处取得极值,对x),0(,2)(bxxf恒成立,求实数b的取值范围;()当20eyx且ex 时,试比较xyxyln1ln1与的大小 例 22(前后问联系法证明不等式)已知217()ln,()(0)22f xx g xxmxm,直线l与函数(),()f x g x的图像都相切,且与函数()f x的图像的切点的横坐标为 1。(I)求直线l的方程及 m 的值;(II)若()(1)()()h xf
13、 xg x其中g(x)是g(x)的导函数,求函数()h x的最大值。(III)当0ba时,求证:()(2).2baf abfaa 例 23(整体把握,贯穿全题)已知函数ln()1xf xx(1)试判断函数()f x的单调性;(2)设0m,求()f x在,2 mm上的最大值;(3)试证明:对任意*nN,不等式11ln()ennnn都成立(其中e是自然对数的底数)例 24(化简为繁,统一变量)设aR,函数()lnf xxax.()若2a,求曲线()yf x在1,2P处的切线方程;()若()f x无零点,求实数a的取值范围;()若()f x有两个相异零点12,x x,求证:212xxe.例 25(导
14、数与常见不等式综合)已知函数211()()1(1)tf xtxxx,其中为正常数()求函数()tf x在(0,)上的最大值;()设数列na满足:153a,132nnaa,(1)求数列na的通项公式na;(2)证明:对任意的0 x,231()(*)nnfx nNa;()证明:2121111nnaaan 例 26(利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(I)求函数 f(x)的单调区间;(II)如果对任意,2 x,都有不等式f(x)x+x2成立,求实数a的取值范围;(III)设*Nn,证明:nn)1(+nn)2(+nn)3(+nnn)(0时1)(xkxf恒
15、成立,求正整数k的最大值.例 36(创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值;()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1),Q(x2,g(x 2)(x10,x20),且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离;()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x)的图象上方,求实数 a 的取值范围 例 37(创新题型)已知函数)(xf=)(1lnRaxax,xxexg1)(.()求函数)(xg在区间,0(e上的值域;()是否存在实数a,对任意给定的,0(0ex,在区间,1 e上都存在两个
16、不同的)2,1(ixi,使得)()(0 xgxfi成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由;()给出如下定义:对于函数)(F xy 图象上任意不同的两点),(),(2211yxByxA,如果对于函数)(F xy 图 象 上 的 点),(00yxM(其 中)2210 xxx总 能 使 得)(F)(F)(F21021xxxxx成立,则称函数具备性质“L”,试判断函数)(xf是不是具备性质“L”,并说明理由.例 38(图像分析,综合应用)已知函数)1,0(12)(2babaxaxxg,在区间3,2上有最大值 4,最小值 1,设()()g xf xx()求ba,的值;()不等式02)2(x
17、xkf在 1,1x上恒成立,求实数k的范围;()方程0)3|12|2(|)12(|xxkf有三个不同的实数解,求实数k的范围 导数与数列 例39(创新型问题)设函数2()()()xf xxaxb e,abR、,xa是()f x的一个极大值点 若0a,求b的取值范围;当a是给定的实常数,设123xxx,是()f x的3个极值点,问是否存在实数b,可找到4xR,使得1234xxxx,的某种排列1234,iiiixxxx(其中1234iiii,=12 3 4,)依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的4x;若不存在,说明理由 例 40(数列求和,导数结合)给定函数2()2(1)xf xx(1)试求
18、函数 f x的单调减区间;(2)已知各项均为负的数列 na满足,14()1nnSfa求证:1111lnnnnana;(3)设1nnba,nT为数列 nb的前n项和,求证:201220111ln2012TT.导数与曲线新题型 例 41(形数转换)已知函数()lnf xx,21()2g xaxbx(0)a.(1)若2a ,函数()()()h xf xg x 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数2xx(x)=e+be,x 0,ln2,求函数(x)的最小值;(3)设函数)(xf的图象 C1与函数)(xg的图象 C2交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作x轴的垂线
19、分别交 C1、C2于点M、N,问是否存在点 R,使 C1在M处的切线与 C2在N处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例 42(全综合应用)已知函数()1 ln(02)2xf xxx.(1)是否存在点(,)M a b,使得函数()yf x的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数()yf x的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义2111221()()()()nniinSffffnnnn,其中*nN,求2013S;(3)在(2)的条件下,令12nnSa,若不等式2()1namna对*n N且2n 恒成立,求实数m的取值范围.导
20、数与三角函数综合 例 43(换元替代,消除三角)设函数2()()f xx xa(xR),其中aR()当1a 时,求曲线()yf x在点(2(2)f,处的切线方程;()当0a 时,求函数()f x的极大值和极小值;()当3a,10k ,时,若不等式22(cos)(cos)f kxf kx对任意的xR恒成立,求k的值。例 44(新题型,第 7 次晚课练习)设函数()cos,0,f xaxx x.(1)讨论()f x的单调性(2)设()1 sinf xx,求a的取值范围.创新问题积累 例 45 已知函数2()ln44xxf xx.I、求()f x的极值.II、求证()f x的图象是中心对称图形.II
21、I、设()f x的定义域为D,是否存在,a bD.当,xa b时,()f x的取值范围是,4 4a b?若存在,求实数a、b的值;若不存在,说明理由 例 46 已知函数14)(234axxxxf在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减(1)求 a 的值;(2)设1)(2 bxxg,若方程)()(xgxf的解集恰好有 3 个元素,求b的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数对),(nm,使)()(nxgmxf为偶函数?如存在,求出nm,如不存在,说明理由 导数压轴题题型归纳 参考答案 例 1(1)解 f(x)exln(xm)f(x)ex1xmf(0)e010m0m1,定义域为x|x
22、1,f(x)ex1xmexx11x1,显然 f(x)在(1,0上单调递减,在0,)上单调递增(2)证明 g(x)exln(x2),则 g(x)ex1x2(x2)h(x)g(x)ex1x2(x2)h(x)ex1x220,所以 h(x)是增函数,h(x)0 至多只有一个实数根,又 g(12)1e1320,所以 h(x)g(x)0 的唯一实根在区间12,0 内,设 g(x)0 的根为 t,则有 g(t)et1t2012t0,所以,et1t2t2et,当 x(2,t)时,g(x)g(t)0,g(x)单调递增;所以 g(x)ming(t)etln(t2)1t2t1t2t20,当 m2 时,有 ln(xm
23、)ln(x2),所以 f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例 2()由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgfg,而()fx=2xb,()g x=()xecxdc,a=4,b=2,c=2,d=2;4 分()由()知,2()42f xxx,()2(1)xg xex,设函数()F x=()()kg xf x=22(1)42xkexxx(2x ),()F x=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke,有题设可得(0)F0,即1k,令()F x=0 得,1x=lnk,2x=2,(1)若21ke,则21x0,当1(2,)xx 时,()F x0,当1(,)xx
24、时,()F x 0,即()F x在1(2,)x单 调递 减,在1(,)x 单调 递增,故()F x在x=1x取 最小值1()F x,而1()F x=21112242xxx=11(2)x x0,当x2 时,()F x0,即()f x()kg x恒成立,(2)若2ke,则()F x=222(2)()xexee,当x2 时,()F x0,()F x在(2,+)单调递增,而(2)F=0,当x2 时,()F x0,即()f x()kg x恒成立,(3)若2ke,则(2)F=222ke=222()eke0,当x2 时,()f x()kg x不可能恒成立,综上所述,k的取值范围为1,2e.例 3(1)121
25、1()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx 令1x 得:(0)1f 1211()(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得:21()()()12xxf xexxg xfxex ()10()xg xeyg x 在xR上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx 得:()f x的解析式为21()2xf xexx 且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,0)(2)21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea 当10a 时,()0()h xyh x在xR上单调递增 x 时,()h x 与()0h x 矛盾 当1
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