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1、 给定一个随机试验,给定一个随机试验,是它的样本空间,对于是它的样本空间,对于任意一个事件,赋予一个实数任意一个事件,赋予一个实数P(A),如果如果P()满足满足下列三条公理,那么,称下列三条公理,那么,称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。v 概率的公理概率的公理 化定义化定义u非负性非负性:()0 u 规范性规范性:()=1 u 可列可加性可列可加性:两两互不相容时(1 2)=(1)+(2)+证明证明:由公理由公理 3 知知 所以所以 v 概率的性质概率的性质(1)(1)不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零证明证明:在公理在公理3中,取取i=(i=n+1,n+2,).n 有限可加性有
2、限可加性设设A1,A2,,An两两两两互不相容互不相容,则,则v 概率的性质概率的性质 (2)(2)()()()()()()n 差事件的概率差事件的概率:若若 A B,则,则 P(B A)=P(B)P(A)v 概率的性质概率的性质 (3)(3)一般地,只有一般地,只有n 加法定理加法定理:对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、,有,有 v 概率的性质概率的性质 (4)(4)BCAn 加法定理加法定理:v 概率的性质概率的性质 (5)(5)证明证明:由于与其对立事件互不相容,由性质由于与其对立事件互不相容,由性质2有有 而而 所以所以 逆事件的概率逆事件的概率:v 概率的性质概率的性质 (6)
3、(6)袋中有袋中有20个球,其中个球,其中15个白球,个白球,5 个黑球,从中任取个黑球,从中任取3个,求至少取到一个白球的概率个,求至少取到一个白球的概率 设表示至少取到一个白球,设表示至少取到一个白球,i 表示刚好取表示刚好取 到到i个白球,个白球,i0,1,2,3,则则 u 方法方法 (用互不相容事件和的概率等于概率之和)(用互不相容事件和的概率等于概率之和)(A)(A123)(1)(2)(3)解解u 方法方法 (利用对立事件的概率关系)(利用对立事件的概率关系)甲、乙两人同时向目标射击一次,设甲击中的概率甲、乙两人同时向目标射击一次,设甲击中的概率为为 0.85,乙击中的概率为,乙击中
4、的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解设表示甲击中目标,表示乙击中目标,表示设表示甲击中目标,表示乙击中目标,表示目标被击中,目标被击中,则则 0.85 0.8 0.68 0.97 已知已知P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A)=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形试在下列两种情形下分别求出下分别求出:P(A-B):P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1)(1)事件事件A,BA,B互不相容互不相容(2)(2)事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(2)(2)由已知条件和性质由已知条件和性质3,3,推得
5、必定有推得必定有投掷两颗骰子投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之试计算两颗骰子的点数之和在和在4 4和和1010之间的概率之间的概率.解:设解:设A A表示点数之和在表示点数之和在4 4和和1010之间之间设设求求解:解:条件概率条件概率 Conditional Probabilityn抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数A=A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数,B=B=出现的点数不超过出现的点数不超过33,若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3,求出现的点数是,求出现的点数是奇数的概率奇数的概率 即事件即事件B B已发生,求事件已发生,求事件A A的概率()的概
6、率()A A B B 都发生,但样本空间都发生,但样本空间缩小到只包含的样本点缩小到只包含的样本点为在事件发生的条件下,事件发生的为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率条件概率 n定义定义:设,为同一个随机试验中的两个随机设,为同一个随机试验中的两个随机事件事件,且(),且(),则称则称条件概率条件概率 Conditional ProbabilitySample space Reduced sample space given event B条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间例例 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品,件一等品,25 件二等品,件二等品,规定一、
7、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件,求件,求(1)取得取得一等品的概率;一等品的概率;(2)已知取得的是合格品,求它是一等已知取得的是合格品,求它是一等品的概率品的概率 解解设表示取得一等品,表示取得合格品,则设表示取得一等品,表示取得合格品,则(1)因为)因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品,所以件一等品,所以(2)方法)方法1:方法方法2:因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品,所以件一等品,所以例例 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩,若已知某一家有男孩,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这
8、家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为等可能)(假定生男生女为等可能)=(男男,男男),(男男,女女),(女女,男男),(女女,女女)解解于是得于是得=(男男,男男),(男男,女女)则则=(男男,男男),(男男,女女),(女女,男男)=(男男,男男),设设 =“有男孩有男孩”,=“第一个是男孩第一个是男孩”=“有两个男孩有两个男孩”,乘法法则乘法法则 n推广推广一批产品中有一批产品中有 4%的次品,而合格品中一等品占的次品,而合格品中一等品占 45%.从这批产品中任取一件,求该产
9、品是一等品的概从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率率 设表示取到的产品是一等品,表示取设表示取到的产品是一等品,表示取出的产品是合格品,出的产品是合格品,则则 于是于是 所以所以 解解解:解:“请的第三个舞伴还不是女同学请的第三个舞伴还不是女同学”相当于相当于“第一、第二、第一、第二、第三次请的都是男同学第三次请的都是男同学”。设设 表示表示“第第 次请的是男同学次请的是男同学”。则所求事件的概率是:则所求事件的概率是:凡事不过三凡事不过三在一个化妆舞会上,有在一个化妆舞会上,有 20 20 个男同学,个男同学,10 10 个个女同学,试问:其中男同学女同学,试问:其中男同学GGGG请的第三个舞请的第三个舞伴还不是女同学的概率。伴还不是女同学的概率。某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7,活,活到到25岁的概率为岁的概率为0.56,求现年为,求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。设设A表示表示“这种动物活到这种动物活到20岁以上岁以上”,B表示表示“这种动物活到这种动物活到25岁以上岁以上”,则,则解:解:P(A)=0.7,P(B)=0.56,且,且作业:作业:习题一:习题一:9,13,14习题二:习题二:3,4
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