2023年初二同步辅导材料.pdf
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1、优秀学习资料 欢迎下载 初二同步辅导材料 北师版八上4.3 菱形同步辅导 教学目标与要求:1理解并掌握菱形的概念,性质和判别方法;(这是重点,也是难点,要掌握好)2经历探索菱形的性质和判别条件的过程,在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识,进一步了解和体会说理的基本方法;3了解菱形的现实应用和常用的判别条件;4体会特殊与一般的关系【重点难点解析】1菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(4)菱形是轴对称图形 2菱形的面积=底高=对角线乘积的一半 考点指要 菱形是特殊的平行四边
2、形,其性质和判别方法是中考的重要内容之一 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外,菱形还具有以下性质:菱形的四条边都相等;两条对角线互相垂直平分;(出现了垂直,常与勾股定理联系在一起)每一条对角线都平分一组内角(出现了相等的角,常与角平分线联系在一起)菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴(不是对角线,而是其所在直线,因为对称轴是直线,而对角线是线段)菱形的判别方法:(学会利用轴对称的方法研究菱形)一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边都相等的四边形是菱形 三典型例题 例
3、 1 如图,已知菱形 ABCD 的周长为58cm,对角线 AC、BC的比为 1:2,求 AC、BD的长。解:四边形 ABCD 是菱形,设 AC交 BD于点 O AC、BD互相垂直平分,且 AB=5841=52 OA:OB=AC:BD=1:2,设 OA=x,则 OB=2x,RtAOB中,222)52()2(xx 解得2x AC=2x=4cm,BD=4x=8cm。说明:由于菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形;四条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形,因此有关菱形的问题常转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。ABDCO优秀学习资料 欢迎下载 例 2:如图 4-24,在ABC中,BAC
4、=90,AD BC于 D,CE平分ACB,交 AD于 G,交 AB于E,EFBC于 F求证:四边形 AEFG 是菱形 思路分析 由已知可知,图中有平行线,就可证角相等、线段相等,因此,可先证四边形 AEFG 是平行四边形,再证一组邻边相等 证明:BAC=90,EFBC,CE平分ACB,AE=EF,CEA=CEF (这是略证,并不是完整的证明过程)AD BC,EFBC,EFAD,(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)CEF=AGE,(两直线平行,内错角相等)CEA=AGE,AE=AG,EFAG,且 EF=AG,四边形 AEFG 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)又AE=EF,
5、平行四边形 AEFG 是菱形 例 3 如图,ABCD的对角线 AC、BD交于点 O,且 AB=19,AC=32,BD=8,请判断:ABCD是菱形吗?为什么?解:ABCD 是菱形。证明:ABCD 中,321 ACOA,421 BDOB,AB=19 且222)9 1(194)3(即ABC中,222ABOBOA OA OB ABCD 是菱形 说明:这里首先利用了平行四边形对角线互相平分的性质,再由勾股逆定理判别出 AO、BO互相垂直,最后由对角线互相垂直的平行四边形判别出菱形。例 4:已知菱形的周长为 20cm,一条对角线长为 5cm,求菱形各个角的度数 已知:菱形 ABCD 中,AB+BC+CD+
6、DA=20cm,对角线 AC=5cm 求ADC、ABC、BCD、DAB的度数 思路分析 利用菱形的四条边相等,可求出各边长,从而得到等边三角形,如图 4-25 ABDCO的主动探究习惯和初步的审美意识进一步了解和体会说理的基本方法了直并且每一条对角线平分一对角菱形是轴对称图形菱形的面积底高对角四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外菱形还具有以下性质优秀学习资料 欢迎下载 解:在菱形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,又 AB+BC+CD+DA=20cm,AB=BC=CD=DA=5cm,又AC=5cm,AB=BC=AC,CD=DA=AC,ABC和DAC都是等边三角形,(本题将边之间的长
7、度关系转化为角的关系)ADC=ABC=60,BCD=DAB=120 例 5:如图 4-26,在平行四边形 ABCD 中,BAE=FAE,FBA=FBE 求证:四边形 ABEF是菱形 证法一:AF BE,FAE=AEB (两直线平行,内错角相等)又BAE=FAE,BAE=AEB,AB=BE (等角对等边)同理,AB=AF,BE=EF,AB=BE=EF=AF,四边形 ABEF是菱形(四条边都相等的四边形是菱形)证法二:AF BE,FAE=AEB,又BAE=FAE,BAE=AEB,AB=BE 又FBA=FBE,AO=OE,AE FB,(等腰三角形三线合一)同理,BO=OF,四边形 ABEF是菱形(对
8、角线互相垂直平分的四边形是菱形)(你还有其他的证明方法吗?不妨试一下)的主动探究习惯和初步的审美意识进一步了解和体会说理的基本方法了直并且每一条对角线平分一对角菱形是轴对称图形菱形的面积底高对角四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外菱形还具有以下性质优秀学习资料 欢迎下载 例 6 如图,ABCD 中,E、F分别是 AB、CD的中点,AF、DE相交于点 G,CE、BF相交于点 H,(1)你能说明四边形 EHFG 是平行四边形吗?(2)想一想,什么时候 EHFG 会成为菱形?证明:(1)ABCD 中,AB、CD平行且相等 E、F分别是 AB、CD的中点 AE、CF平行且相等 AECF是平行四
9、边形 AFCE 同理,BEDF是平行四边形 DE BF 四边形 EHFG 是平行四边形(2)如图,当ABCD 是矩形时,可知四边形 AEFD 是矩形 GE=GF 此时,EHFG 会成为菱形 说明:要说明一个平行四边形是菱形,最简单的方法是说明它有一组邻边相等。例 7:菱形的两邻角之比为 1:2,边长为 2,则菱形的面积为_ 思路分析 本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用:解法一:如图 4-27,B:A=1:2,四边形 ABCD 是菱形,AD BC,A+B=180,B=60,A=120,过 A作 AE BC于 E,BAE=30,1AB21BE,(直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半)
10、312BEABAE2222,(勾股定理)32AEBCSABCD菱形(平行四边形的面积计算方法是:底乘以高)解法二:如图 4-28,ABCDEFGHABCDEFGH的主动探究习惯和初步的审美意识进一步了解和体会说理的基本方法了直并且每一条对角线平分一对角菱形是轴对称图形菱形的面积底高对角四边形的一切性质除具有平行四边形的一切性质外菱形还具有以下性质优秀学习资料 欢迎下载 BA=12,四边形 ABCD 是菱形,AD BC,A+B=180,B=60,A=120,连结 AC、BD交于点 O,30B21ABD,ACBD(菱形的性质:对角线平分一组对角,对角线互相垂直)在 RtABO中,1AB21AO,3
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