2023年初三数学相似三角形典型例题含超详细解析答案.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是:1.理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。2.会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。3.能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边
2、形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在 10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。(二)重要知识点介绍:1.比例线段的有关概念:在比例式:中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,abcdabcdadbcac()b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB分成两条线段 AC和 BC,使 AC2=AB BC,叫做把线段 AB黄金分割,C叫做线段 AB的黄金分割点。2.比例性质:基本性质:abcdadbc 合比性质:abcdabbcdd 等比性质:abcdmnbdnacmbd
3、nab ()0 学习必备 欢迎下载 3.平行线分线段成比例定理:定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1l2l3。则,ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。4.相似三角形的判定:两角对应相等,两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 三边对应成比例,两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似
4、平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5.相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 线分线段成比例定理进行有关的计算证明会分线段成已知比能熟练应用行线分线段成比例定理本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形或综合出现分值一般在左右有时也单独成题形成创新与索型试题有利于学习必备 欢迎下载 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 【典型例题】例 1.(1)在比例尺是 1:80
5、00000 的中国行政区地图上,量得 A、B 两城市的距离是 7.5 厘米,那么 A、B两城市的实际距离是_千米。(2)小芳的身高是 1.6m,在某一时刻,她的影子长 2m,此刻测得某建筑物的影长是18 米,则此建筑物的高是_米。解:这是两道与比例有关的题目,都比较简单。(1)应填 600 (2)应填 14.4。例 2.如图,已知 DE BC,EFAB,则下列比例式错误的是:_ AADABAEACBCECFEAFB.CDEBCADBDDEFABCFCB.分析:由,可知,、都正确。而不能得到,DEBCEFABABDDEBCADBD 故应选 C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时,一定要分清谁
6、是截线、谁是被截 线,中很显然是两平行线段的比,因此应是利用三角相似后对应边成比CDEBC 例这一性质来写结论,即DEBCADABAEAC 例 3.如图,在等边ABC中,P为 BC上一点,D为 AC上一点,且APD=60,线分线段成比例定理进行有关的计算证明会分线段成已知比能熟练应用行线分线段成比例定理本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形或综合出现分值一般在左右有时也单独成题形成创新与索型试题有利于学习必备 欢迎下载 BPCDABC123,求的边长 解:ABC是等边三角形 C=B=60 又PDC=1+APD=1+60 APB=1+C=1+60 PDC=APB PDC APB PCABCD
7、PB 设 PC=x,则 AB=BC=1+x ,xxx12312 AB=1+x=3。ABC的边长为 3。例 4.如图:四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形,(1)求证:AEF CEA (2)求证:AFB+ACB=45 分析:因为AEF、CEA有公共角AEF 线分线段成比例定理进行有关的计算证明会分线段成已知比能熟练应用行线分线段成比例定理本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形或综合出现分值一般在左右有时也单独成题形成创新与索型试题有利于学习必备 欢迎下载 故要证明AEF CEA 只需证明两个三角形中,夹AEF、CEA的两边对应成比例即可。证明:(1)四边形 ABEG
8、、GEFH、HFCD 是正方形 AB=BE=EF=FC=a,ABE=90 ,AEaECa22 ,AEEFaaECAEaa22222 AEEFECAE 又CEA=AEF CEA AEF (2)AEF CEA AFE=EAC 四边形 ABEG 是正方形 AD BC,AG=GE,AG GE ACB=CAD,EAG=45 AFB+ACB=EAC+CAD=EAG AFB+ACB=45 例 5.已知:如图,梯形 ABCD 中,AD BC,AC、BD交于点 O,EF经过点 O且和两底平行,交 AB于 E,交 CD于 F 求证:OE=OF 证明:AD EFBC 线分线段成比例定理进行有关的计算证明会分线段成已
9、知比能熟练应用行线分线段成比例定理本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形或综合出现分值一般在左右有时也单独成题形成创新与索型试题有利于学习必备 欢迎下载 ,OEBCAEABOEADEBAB OEBCOEADAEABEBABABAB 1 111BCADOE 同理:111BCADOF 11OEOF OE=OF 从本例的证明过程中,我们还可以得到以下重要的结论:ADEFBCADBCOE111 ADEFBCOEOFEF12 ADEFBCADBCOE111 1122EFOF即112ADBCEF 这是梯形中的一个性质,由此可知,在 AD、BC、EF中,已知任何两条线段的长度,都可以求出第三条线段的长度
10、。例 6.已知:如图,ABC中,AD BC于 D,DE AB于 E,DF AC于 F 求证:AEAFACAB 分析:观察 AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多,因而相似三角形多的特点,可设法寻求中间量进行代 线分线段成比例定理进行有关的计算证明会分线段成已知比能熟练应用行线分线段成比例定理本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形或综合出现分值一般在左右有时也单独成题形成创新与索型试题有利于学习必备 欢迎下载 换,通过,可得:,于是得到,同理ABDADEABADADAEADAEAB2 可得到,故可得:,即ADAFACAEABAFACA
11、EAFACAB2 证明:在ABD和ADE中,ADB=AED=90 BAD=DAE ABD ADE ABADADAE AD2=AE AB 同理:ACD ADF 可得:AD2=AF AC AE AB=AF AC AEAFACAB 例 7.如图,D为ABC中 BC边上的一点,CAD=B,若 AD=6,AB=8,BD=7,求 DC的长。分析:本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形,我们可以由基本图形中得到的相似三角形,从而得到对应边成比例,从而构造出关于所求线段的方程,使问题得以解决。解:在ADC和BAC中 CAD=B,C=C ADC BAC ADABDCACACBC 线分线段成比
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