2023年第七章线性变换习题超详细解析超详细解析答案.pdf
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1、-1-第七章 线性变换 3在 P x中,()()f xfx,()()f xxf x,证明:解题提示直接根据变换的定义验证即可 证明 任取()f xP x,则有()()()()()()f xf xf xxf xfx()()()()xf xxfxf xf x,于是 4设,是线性变换,如果,证明:1,1kkkkk 解题提示利用数学归纳法进行证明 证明 当2k 时,由于,可得 22()()2,因此结论成立 假设当ks时结论成立,即1ssss那么,当1ks 时,有 11()()(1)ssssssssss,即对1ks 结论也成立从而,根据数学归纳法原理,对一切1k结论都成立 特别提醒由0可知,结论对1k
2、也成立 5证明:可逆映射是双射 解题提示只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可 证明 设是线性空间V上的一个可逆变换 对于任意的,V,如果,那么,用1作用左右两边,得到11()(),因此是单射;另外,对于任意的V,存在1V,使得1(),即是满射于是是双射 -2-特别提醒由此结论可知线性空间V上的可逆映射是V到自身的同构 6设12,n是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明可逆当且仅当12,n线性无关 证法 1 假设是可逆的线性变换,设1122nnkkk 0,即 1 122()nnkkk 0 而根据上一题结论可知是单射,故必有1 122nnkkk 0,又由于12,n是线性无关的,因此120n
3、kkk从而12,n线性无关 反之,假设12,n是线性无关的,那么12,n也是V的一组基于是,根据教材中的定理 1,存在唯一的线性变换,使得()ii,1,2,in显然()ii,()ii,1,2,in 再根据教材中的定理 1 知,所以是可逆的 证法 2 设在基12,n下的矩阵为A,即 121212(,)(,)(,)nnnA 由教材中的定理 2 可知,可逆的充要条件是矩阵A可逆 因此,如果是可逆的,那么矩阵A可逆,从而12,n也是V的一组基,即是线性无关的反之,如果12,n是线性无关,从而是V的一组基,且A是从基12,n到12,n的过渡矩阵,因此A是可逆的所以是可逆的线性变换 方法技巧方法 1 利用
4、了上一题的结论及教材中的定理 1 构造的逆变换;方法 2 借助教材中的定理 2,将线性变换可逆转化成了矩阵A可逆 9设三维线性空间V上的线性变换在基123,下的矩阵为 111213212223313233aaaaaaaaaA 1求在基321,下的矩阵;-3-2求在基123,k 下的矩阵,其中kP且0k;3求在基1223,下的矩阵 解题提示可以利用定义直接写出线性变换的矩阵,也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解 解 1由于 3131232333333232131aaaaaa,2121222323323222121aaaaaa,111 121231331321211 1aa
5、aaaa 故在基321,下的矩阵为 3332311232221131211aaaaaaaaaB 2由于 111 121231311 12123131aaaaa kak,2121222323121222323kkakakakaa kka,31312323331312323331aaaaa kak 故在基123,k 下的矩阵为 111213221222331323311akaaaaakkakaaB 3由于从123,到1223,的过渡矩阵为 100110001X,故在基1223,下的矩阵为 -4-1111213111212133212223211122122212231331323331323233
6、100100110110001001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa B 方法技巧根据线性变换的矩阵的定义,直接给出了 1和 2所求的矩阵;3借助了过渡矩阵,利用相似矩阵得到了所求矩阵事实上,这三个题目都可以分别用两种方法求解 10设是线性空间V上的线性变换,如果1k 0,但k 0,求证:1,k0k 线性无关 证明 由于k 0,故对于任意的非负整数i,都有()k iik 0当0k 时,设 112knxxx 0,用1k作用于上式,得 11kx 0,但1k 0,因此10 x 于是 12knxx 0,再用2k作用上式,同样得到20 x 依此下去,可得120kxxx从而1,k线性无关
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- 2023 第七 线性变换 习题 详细 解析 答案
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