张量的概念.pdf
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1、第一章张量的概念 1.1 弓 I言什么是张量?这是读者在开始学习本课程时会提出的问题,现从读者已有的力学知识出发,举例对这个问题作一些初步的阐述,使读者对张量这个新的概念,有个初步的理解。有三维空间,一个 矢 量(例如力矢量、速度矢量等)在某些参考坐标系中,有三个分量,这三个分量的集合,规定了这个矢量。当坐标变化换时,这些分量按一定的变换法则变换。在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内点的应力状态,有9个应力分量,如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有ob(5b这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时.,应力张量的分量按一定的变换法则变换,再如,一点的应力状态,具
2、有和应力张量相似的性质,称为应变张量。把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化,撇开它们所表示的量的物理性质,抽出其数学上的共性,便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时一,这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶.等高阶张量。可以看出,张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义,将 在 1.8中讨论。由张量的特性可以看出,它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法
3、表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其它坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律,因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此,张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外,张量记法简洁,是一种非常精炼的数学语言。张量这个名词是沃伊特(Voigt)首先提出的,用来表示晶体的应力(张力)状态,可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用,是力学工作者的重要数学工具。1.2 符号与求和约定在 张 量 分 析 中 广 泛 运 用 指 标。几 个 变 量 的 集 合x,x2,.,x 可表示为x;,i =1,2,3,.,n。几个变量的
4、集合 y ,y y .,y 可表示为 y,,j =l,2,3,.,n。必须指出,y ,y.,y 是 n个独立变量,而不是变量y的 1 到 n次幕。写在字符右下角的指标,例 如 x,中 的 i 称为下标。写在字符右上角的指标,例 如 歹中的j称为上标。在以后的讨论中将说明使用上标或下标的涵义是不同的。用作上标和下标的拉丁字母或希腊字母,除非作特别的说明,一 般 取 从 1到 n的所有整数,其 中 n称为指标的范围。本书采用下述关于范围的规定来表明三维空间和二维空间的量的区别:所有拉丁字母指标i、j、k、1、m、的范围是 1、2、3;所有希腊字母指标a、0、丫、3 的范围是1、2。例 如 坐 标
5、指标 i =1,2,3 的三维空间的坐标,坐 标 X”是 a =1,2 的二维空间的坐标。为了区别上标与系数乘基,如(x)表示X,的二次方。二、求和约定若在一项中,同一指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其 范 围 1,2,3,.,n 求和。这是一约定,称为求和约定。例如三维空间的平面方程为a,z +a,z2+a,z=p (1.2-1)式中a,p 是常数。这方程可写成a,z =p (1.2-2)i=l应用求和约定,则这个方程可写成如下形式a.z =p (1.2-3)遍历指标范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。由于哑指标只是表示求和,因此无论用哪个字母作哑指标都是一样的。例如a
6、/可以写成a/等。相对于哑指标(求 和 指 标)而 言,不求和的指标称自由指标。为了避免混淆,在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。例如不能写成a,x a,x ,而应写成0 1:%*京。三、克罗 内 克(K ro n e c ke r)符号3:克罗内克符号3:的定义是(1.2-4)(1.2-5)kJ j =k1-(0 k这样3:=星=3;=15;=8:=3;=3;=0克罗内克符号也可写成3或9 0下面举例说明克罗内克符号的应用。例如空间直角坐标系中,分量为d z ,d z d z 的线元长度的平方为d s2=(d z )2+(d z2)2+(d z )2(1.2-6)应用克罗内克符号,上
7、式可写成d s?=3,j d z d z (1.2-7)应当注意,上式中有二重求和,一个是遍历指标i的范围,另一个是遍历指标j的范围。克罗内克符号有一些明显的性质,如A,=3:等。d x1四、置换符号置换符号e,9定义为 1 当仃*是1,2,3的偶置 1 2 3,2 3 1,3 1 2)e,j k=e 1,k=-1 当打上是1,2,3的奇置 2 1 3,1 3 2,3 2 1)(1.2-8)0 当ij,k的的任意二个指i,j,k的这些排列分别叫做循环排、逆循环排列和非循环排列。置换符号也称为里奇(R ic c i)符号,它只是一个指标符号,可用来展开三阶行列式。令a =a;a:a;%a;a;a
8、:a;a;+a:a;a;+a;a;a;-a:a;a;-a:a;a;-a:a;a;若以a;表示行列式中的普遍项,以|a;|表示行列式,则上述行列式可写成a =|a:|=eMa;a;(1.2-9a)若将上式中各项的下标作一置换,例如置 换 为,这 就 相 当 于 把 行 列 式 的 两列互相交换,因而行列式改变符号,等于-a,再置换一次,又改变一次符号,回到+a。这种性质可表示成如下的形式:a e,=e a a*a (1.2-9 b)Imn rM I m n /将(1.2-9 a)与(1.2-9)式结合,则l a .I e.=e a;a,a (1.2-9 c)j I Imn rst I ni n、
9、同理可以得到=e a:a:a:(1.2-9 d)五、克罗内克符号与置换符号的关系克罗内克符号与置换符号之间存在一定的关系。今讨论如下:9个量3;作为单位矩阵的元素,它们的行列式等于1。若用更普遍的形式表示上面的行列式,则仃rmsmtm888可可-A3nln88上式中若r,s,t=l,m,n =l,2,3,A =1。由于这些排列中的任一置换都改变行列式的符号,所以行列式A 为A-5r8nrer s ts-cn85 n材展开上述行列式,得en,e,=8,5s S -5;5 5 +8r8;8 -S S S:+5r8 5;(1.2-1 0)lain I m m I n m n 1 m n m I m
10、n I m I n使上式中的一下标和一个上标相等,并利用关系式5=3:,可从上式导出下面的关系式,称为e-3 等,e”e =3 3 3 3 巧)+&(&-5s5 )+5 (5 5 -5 5 )rmn r m n n m z n x r m m r z m nr r n z(1.2-1 1)=8S5 -8S5 in n n meMe =3 5 _ 8s 8 =2 5 (1.2-1 2)rsn n n s n x z=2 5:=6 (1.2-1 3)利用这些结果,可以将行列式的展开公式(1.2-9 b)化成另一个很有用的形式。以e ”乘(1.2-9 b)式两边,得a e,e n=6 a =a;a
11、a e e (1.2-1 4)linn I m n rst、/六、求和约定可以推广到微分公式设 f(x ,x ,X)为 n个独立 变 量 x ,x 2,.,x 的函数,则它的微分可写成d f =-d x (1.2-1 5)在偏微商更中,i 被认为是下标。改 1.3 曲线坐标设/&=1,2,3)是点伙2)的直角坐标。若三个函数=x l z,z 2,z)(k=l,2,3)(1.3-1)在区域R 中有唯一的逆函数zk=zk(x,x2,x5)(k=l,2,3)(1.3-2)则 点 p有曲线坐标父一般来说,从几何关系能写出(1.3-2)式。若/单值、连续,有连续的一阶偏导数。且 雅 可 比(j a c
12、o b i)行列式j=告在区域R 内不等于0,即az1o 1az1a x K 2j =6 z2dz23 x,a x1-2S x 3*a x G -a x H 0 (在区域 R)(1.3-3 )则(1.3-2)式 有 惟 一 的 逆 函 数(1.3-1 )式。对 应 于 x(z z 2,z)=常 数;x 2(z;z 2,z?=常 数;x,(z,z z)=常 数,方 程 式(1.3-1)分别给出三个曲面,它们相交于P点。这三个曲面称为坐标曲面。任意两个坐标曲面的交线定义一坐标曲线。通 过P点 有3条不重合的坐标曲线。它 们 给 出 了 点P的曲线坐标(x,x x,),如图 1-1 所示图1-1在曲
13、线坐标系中,P点的位置矢量r是曲线坐标(x,x?,x,)的函数。因为由图1-1及(1.3-2)式可知r(z,z2,z3)=rz(x,x2,x3),z2(xl,x2,x3),z3(x,x2,x3)=r(x,x2,x5)(1.3-4)处理弹性力学问题时,由于物体的几何形状,对有些问题采用直角坐标系并不适合,而必须采用曲线坐标系。最常用的曲线坐标系是正交曲线坐标系,如圆柱坐标系、球坐标系、平面极坐标系等。例 一 圆 柱 坐 标 系(图1-2)图1-2圆柱坐标/由它们同直角坐标7的关系来定义。从几何关系可以写出Z1=X1 COSX3z2=x sin x2(1.3-5)z5=x雅可比行列式cosx:-x
14、1 sinx2 0j=sinx2 x1 cosx;0=x0 0 1除在z,轴上3 =O)def有j=0外,(1.3-5)式在各处都有惟一的逆变换x1=7(z)2+(z2)27x2=arctan (1.3-6)z,x=z对于圆柱坐标系,通常采用下面的坐标符号,x=r x2=0 x=z(1.3-7)这样,圆柱坐标系的坐标面是1-=常 数的圆柱面族,0=常数的半平面族,和 z=常 数 的 平 面 族(图 1-2)。张量分析的中心问题是研究坐标变换时张量分量的变换法则。因此张量分析必然涉及坐标变换,尤其是在讨论普遍张量时一,必然涉及曲线坐标系之间的变换。独立变量x,x2,x,的集合可以看作是在某坐标系
15、中规定一点P 的坐标。将x,x x、通过以下的方程变换成一个新变量x,x:x 的集合。x=x(x,x:,x)(k=l,2,3)(1.3-8)则上式规定了一个坐变换。逆变换x*=x lx,x:x)(k=l,2,3)(1.3-9)按相反的方向进行。为了保证这样一个变换是可逆的,并且在变量(x,x x)的某个区域R 内是一一对应的,亦即在区域R 中的每个有序数集(x1,xx,)定义一 个 惟 一 的 有 序 数 集(x,x:x),并 且 反 其 亦 然,其 充 分 条 件 是:函数x(x,x x)在 区 域 R 中是单值、连续,有连续的一阶偏导数,雅可比行列式_ kj=号a x 在 区 域 R 内的
16、任意点均不等于0.具有上述性质的坐标变换称为容许变换。本书以后论及的坐标变换都是容许变换。若雅可比行列式j=|鬻 处 处 为 正,则一个右手坐标系变换为另一个右手坐标系。1.4基矢量在曲线坐标系中,空间一点P的位置矢量r 是曲线坐标父的函数(1.3-4)式。若曲线坐标/有微小增量d x 1 则位置矢量r 有增量d r。由(1.3-4)式,位置矢量 r 的微分dr为Qvdr=dxk(1.4-1)改空间一点P 的位置矢量可用直角坐标表示为r=z1(1.4-2)式中L为沿坐标轴z,方向的单位矢量(图1-1),也称为直角坐标系的基矢量。应用(1.3-2)式 及(1.4-2)式,可得dr dr 5 zj
17、 di._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I3 x dz 5 xk 5 xk j(k=1,2,3)(1.4-3)上式表明,是 单 位 矢 量i,的线性组合,因 此 之 也 是 矢 量,由(1.4-1)式可3 xk 5 xk知 表 征 当x-变化时位置矢量r的变化,因此0r的方向是沿坐标曲线x 的切*3xk线方向。矢 量?A可r 以_取 作 曲 线 坐 标 系 的 矢 量,以g,表 示(图1-1).这样,基*矢量g*的定义是Ar 分 7 j色=丝(k=l,2,3)由(1.4-1)式可得位置矢量的微分d r为d r =gkd xk(1.4-4)(1.4-5)(1.4-6)必须
18、注意:在曲线坐标系中,对于空间的每一点,都有三个基矢量g-基矢量g,一般不是单位矢量,彼此也不正交;基矢量可以有量纲,但一点的三个基矢量的量纲可以不同;基矢量不是常矢量,它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。基 矢 量&线 性 无 关,它们不共面,三个基矢量反构成了一个局部的参照标架(局部的斜角直线坐标)。作用在一点的任意矢量,可以沿氏的方向按平行四边形法则分解:v =u若坐标系x,变换成另一新坐标系x xk=xk(x,x2,xJ)(k=l,2,3)其逆变换为xk=xk(x ,x ,x )(k=1,2,3)则在新坐标系(中,基矢量反为-dr dr 3x dx.1g k =二=a j c-k
19、=gjyS x S x d x 3x(1.4-7)(1.4-8)由此可知,若坐标系由x 变化为(1.4-7)式 ,则 基 矢 量 及按变换法则(1.4-8)式变换。基矢量反也称为协变基矢量,这一点将在1.6中说明。1.5基本量度张量对于任何坐标系,必须首先在该坐标中如何度量长度。设在曲线坐标系中有线元d r,由(1.4-5)式,d r与其自身的点积就是线元长度的平方。即d s2=d r -d r =gf cd xk-gmd xm=gk-gmd xkd xm今定义g”“=g g,I)贝|J d s2=gk id xld xm(1.5-2)函数仅“(1.5-1)称为坐标系H的基本度量张度。由此式可
20、知,在三维空间,基本度量张度及“有9个分量。将(1.4 4)式代入(1.5-1)式,可得根据基本度量张度的定义(L 5-1)式,由标积的可交换性可知g m=g.*(L 54)即基本量度张量g m的指标k各m可以交换。在 1.4中已指出,在曲线坐标系中,基矢量区不是单位矢量。由(1.5-1)可知,基矢量的大小可由基本度量张量表示为|g=(gg j%=底 (L 5-5)上式中,K K表示对k不求和。书中以后出现这种符号,均与此同。若坐标系X 变换为另一个新坐标系f,变换方程为xk=xk(x,x2,x3)(k=l,2,3)(1.5-6)其逆变换为xk=xk(x,x,x )(k=l,2,3)则Ax k
21、 idxk=dx(1.5-7)Sx由(1.5-2)式,得ds-gtro dx dx(1-5-8)dx dx若定义则(1.5-8)式可写成ds2=glndxdx(1.5-10)因(1.5-10)式 与(1.5-2)式取同样形式,称为坐标系M的度量张量。二次微分形式(L5-2)式 和(1.5-10)式极为重要,它定义了在一般曲线坐标系中线元长度的平方。坐标变换时.,一个量的分量的变换法则是该量的重要性质。由(1.5-9)式可知,若曲线坐标系父变换为另一个曲线坐标系M (1.5-6)式,则度量张量gM(x、)按(1.5-9)式所表示的特定的变换法则变换。g.”之所以称为度量张量,一方面是因为它度量空
22、间线元长度的平方(所以称 为“度量”);另一方面是因为当坐标变换时,它 按 照(1.5-9)式这一特定的变换法则变换,这是张量的基本特性(所以它是张量),因此以“称为度量张量。这是一个非常重要的基本张量,所以又称为基本度量张量。关于张量的基本特性,将在 1.8讨论。由(1.5-1)式可以看出,在直角坐标系中屏.=、,即在直角坐标系中,基本度量张量是常数。基本度量张量描述空间的性质。如果有可能通过坐标变换引入一个坐标系,使得在该坐标系中g”等于常数果不可能引入这样的坐标系,!这个问题。1.6一、对偶基矢量,则这个空间是“欧 几 里 得(Euclid)空间”。如则 是“非欧几里得空间”。在3.8中
23、将进一步讨论对偶基矢量、相伴度量张量对偶基矢量3 由下面的方程式定义gr-gs=8:(1.6-1)由以上定义可以看出:在一般曲线坐标系中,对偶基矢量g的方向与rw s的诸基矢量或垂直;在三维空间中,g,g g 分别垂直于&、g,g,g,及g rg?所在的平面。g,的大小满足g;g,=l(r=s)。对偶基矢量g 作为一个矢量,可以沿基矢量g、的方向分解为g=g”g,(1.6-2)式中g”是对偶基矢量在g,方向的分量,共有9个。为求g“,将(1.6-2)式两边点乘g,得g J g g Y jg g B n g 即g=g g (1.6-3)上式可作为g”的定义。该式与(L 5-1)式对应,因此,g”
24、称为相伴度量张量。由于矢量的点积适合交换律,由(1.6-3)式可知,g”的指标r,s可以交换,即g=g”(l-6-3a)与基矢量8,一样,对偶基矢量3一般不是单位矢量,它的大小由下式计算:|g|=(g:g+=V F (r 不求和)(1.6-4)一点的三个对偶基矢量g构成一个局部的参照标架,作用在该点的任何矢量可以沿g的方向分解。对偶基矢量3也称为逆变基矢量。二、相伴度量张量在讨论对偶基矢量过程中,引进了相伴度量张量g”(L6-3)式,它也称为共辗度张量。卜面先讨论相伴度量张量与基本度量张量的关系。将(1.6-2)式代入(1.6-1)式,则g g jg,=。即g,mgm s=8:d-6-5)利用
25、上式,可推导出计算g”的公式,对于一个固定的r值和s=1,2,3,上式给出以下三个分量方程:ggr+g,:gr:+gi,g=3:g +gg+g*、g=3;gg+gg=+g*g、=3;若g1 1 1 s已知,则对于r=1,2,3,可以从上面方程解出g”1根据克拉默(Cramer)法则,可推导出计算g”的公式如下(更换了指标),Dc s,gR=(1.6-6)g式中 1 1 S 1 2 1 3g=|gj=2 1 22 g1(L6-7)3 1 S.U 3 3D=|g j中元素g.的代数余子式在张量分析中,g 的重要性和g j一样。将(1.6-2)式左右两边均乘以吼,即g,g.=gmg.g,则gg,=3
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