2023年高中数学新课程知识点归纳总结.pdf
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1、高一数学必修 1 概念 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作。一般地,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集,记作ABBA 或,读作“A 包含于 B”,或“B 包含于 A”。如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作ABBA 或,读作“A 真包含于 B”,或“B 真包含 A”。一般地,如果集合 A 的每一个元素都是集合 B
2、 的元素,反过来,集合 B 的每一个元素也都是集合 A的元素,那么我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B。一般地,对于两个给定的集合 A,B,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合,叫做 A,B 的交集,记作BA,读作“A 交 B”。一般地,对于两个给定的集合 A,B,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作BA,读作“A 并 B”。如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合,叫做 A 在 U 中补集,记作CuA,读作“A 在 U 中的补集”。函数是一种关系,在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果给定了一个 x
3、 值,相应地就确定唯一的一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。定义 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对 A 中的任意一个元素x,在 B 中有且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射。这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作f(x)。于是 y=f(x),x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为:f:AB,xf(x),其中 A 叫做映射 f 的定义域(函数定义域的推广),由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常叫作f(A)。因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确
4、定一个函数就只需要两个要素:定义域和对应法则。函数的定义域和值域通常用区间表示,下面给出区间的概念:设Rba,且ba,满足bxa的全体实数 x 的集合,叫做闭区间,记作a,b 满足bxa的全体实数 x 的集合,叫做开区间,记作(a,b)满足bxa或bxa的全体实数 x 的集合,都叫做半开半闭区间,分别记作a,b)或(a,b 分别满足axaxaxax,的全体实数的集合分别记作 a,+),(a,+),(-,a,(-,a)a 与 b 叫做区间的端点,在数轴上表示区间时,属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心点表示。如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于
5、集合 B 中的任意一个元素,在集合 A 中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射。函数的表示方法:列表法、图象法、解析法(公式法)列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做 列表法。图象法:用“图形”表示函数的方法叫做图象法。解析法:如果在函数)(Axxfy中,)(xf是用代数式(解析式)来表示的,则这种表示函数的方法叫做解析法,(也称为公式法)在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫作分段函数。一般地,设函数)(xfy 的定义域为 A,区间 MA。
6、如果取区间 M 中的任意两个值21xx,改变量012xxx,则 当0)()(12xfxfy,就称函数)(xfy 在区间 M 上是增函数 当0)()(12xfxfy,就称函数)(xfy 在区间 M 上是减函数 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性。(区间 M 称为单调区间)设函数)(xfy 的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-xD,且 f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。设函数)(xfy 的定义域为 D,如果对 D 内的任意一个 x,都有-xD,且 g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数。函数)0(kbkxy叫做
7、一次函数,它的定义域为R,值域为R。一次函数)0(kbkxy的图象是直线,以后简写为直线bkxy,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距。一次函数又叫做线性函数。函数)0(2acbxaxy叫做二次函数,它的定义域是R。一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。一般地,如果函数)(xfy 在实数处的值等于零,即0)(f 则叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与 x 轴的公共点是(,0)点。如果函数图像通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零
8、点为变号零点。对于在区间a,b上连续不断,且满足)(af)(bf0的函数)(xfy,通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度,用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下:1确定区间a,b,验证)(af)(bf0,给定精度;2求区间a(,)b的中点1x;3计算)(1xf:若=,则 就是函数的零点;若)(af)(1xf0,则令b=1x(此时零点),(10 xax);若)(1xf)(bf0,且 a1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。一般的,对于指数式Nab,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”
9、记作10logaaNba且,其中,数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”。以 10 为底的对数叫做常用对数。以 e 为底的对数叫做自然对数。函数 y=logax(a0,且 a1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是(0,+)。当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。一般地,形如)(Rxy的函数称为幂函数,其中为常数。高一数学必修 2 概念 长方体由六个矩形(包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形,叫做长方体的面;相邻两个面的公共边,叫做长方体
10、的棱;棱与棱的公共点,叫做长方体的顶点。多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在不同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的截面。棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高。侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱。侧棱与底面垂直
11、的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体。棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形。棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;棱锥中的多边形叫做棱锥的底面;顶点到底面的距离,叫做棱锥的高。如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥。正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高。棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做
12、棱台(truncated pyramid)。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;原棱锥的侧面被平面截去后剩余的平面叫做棱台的侧面;原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱;棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高。旋转轴叫做围成的几何体的轴;在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线。球面可以看做一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形
13、成的曲面,球面围成的几何体,叫做球。形成求的半圆的圆心叫球心;连接球面上的一点与球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径。球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合。球面被经过球心的平面截得的圆叫做求的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫做求的小圆。圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的轴。已知图形 F,直线 l 与平面相交,过 F 上任意一点M作直线MM平行于 l,交平面于点M,则点M 叫做点M在平面内关于直线 l 的平行投影(或象)。如果图形 F 上的所有点在平面内
14、关于直线 l 的平行投影构成图形F,则F叫做图形 F 在内关于直线 l 的平行投影。平面叫做投射面,l叫做投射线。用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图。在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影。选取三个两两互相垂直的平面作为投射面。一个投射面水平放置,叫做水平投射面,投射到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫做主视图。和直立、水平两个投影面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投射面的右面,投射到这个平面内的图形叫做左视图。将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按
15、一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图。把既不相交又不平行的直线叫做异面直线。顺次连接不共面的四点 A,B,C,D 所构成的图形,叫做空间四边形。这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。直线 a 与平面只有一个公共点 A,叫做直线与平面相交,这个公共点 A 叫做直线与平面的交点,并记作a=A。直线 a 与平面没有公共点,叫做直线与平面平行,并记作a。如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行。如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这 两条直线互相垂直。
16、如果一条直线(AB)和一个平面()相交于点 O,并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足。垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到这个点到平面的距离。一条给出了原点。度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了直线坐标系。如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B,则说点在轴上作了一次位移,点不动则说点作了零位移。位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称向量。数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。如果以一个
17、方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上的点的坐标都是这个方程地解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。把直线)0(kbkxy中的系数k叫做这条直线的斜率。00()yyk xx称为直线的点斜式方程,简称点斜式。方程ykxb称为直线的斜截式方程,简称斜截式。其中k为斜率,b叫做直线bkxy在y轴上的截距,简称为直线的截距。112121yyxxyyxx为直线的两点式方程,简称两点式。0AxByC(,A B不全为 0)叫直线的一般式方程,简称一般式。方程222)()(rbyax就是圆心为 C(a,b),半径为 r 的圆
18、的方程。把它叫做圆的标准方程。当FED4220 时,二元二次方程022FEyDxyx才表示一个圆,这时这个方程叫做圆的一般方程。过定点 O,作三条互相垂直的数轴,它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴);统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上,而 z 轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住 z 轴,当右手的四指从正向 x 轴以/2 角度转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点 O 叫做坐标原点。(如下图所示)三条坐标轴中的任意两条可以确定一个
19、平面,这样定出的三个平面统称坐标面。高一数学必修 3 概念 算法(Algorithm)是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说,能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷,或不适合于某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。程序框图:又称流程图,是一种用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行
20、的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。条件结构:是指在算法中通过对条件的判断,根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构。在表述一个算法时,经常要引入变量,并赋给该变量一个值。用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句叫做赋值语句。在算法语句中,赋值语句是最基本的语句。赋值语句中的“=”,称做赋值号。输入语句(input statement):Read a,b 表示输入的数一次送给 a,b
21、输出语句(out statement):Print x,y 表示一次输出运算结果 x,y 设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本。利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法 要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预
22、先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。由于抽样的间隔相等,因此系统抽样也被称作等距抽样。在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。频率分布:是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。总体密度曲线:在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各
23、个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。茎叶图是用来表示样本数据分布的一种方法,茎叶图中数据的茎和叶的划分,可根据数据的特点灵活地决定。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示。一组数据中,出现次数最多的数据叫做该组数据的众数;将一组数据从小到大依次排列,把最中间的数据(或中间两数据的平均数)叫做这组数据的中位数;)()()(BPAPBAP将一组数据求和,再用数据个数去除这个和,所得的商叫做这组数据的平均数。把两个变量作为横、纵坐标,在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点,这样的图形叫做散点图。散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围,我们就可以得出结论,这
24、两个变量具有相关关系;如果变量的对应点分布没有规律,我们就可以得出结论,这两个变量不具有相关关系。相关关系 是一种非确定性的,它包括两种情形:(1)两个变量,一个变量是可控制变量,另一个变量是随机变量。(2)两个变量均为随机变量。例如当研究一个学生的数学成绩和物理成绩的关系时,这两个变量都是不可控制的随机变量。对于线性相关的两个变量 x,Y,通过观察发现 x,Y 的所有数据点都分布在一条直线附近。我们知道,这样的直线有很多条,而只有一条“最贴近”已知数据点,记此直线方程为bxay,叫做 Y 对 x 的回归直线方程,b叫做回归系数。必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的
25、必然事件;不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件;确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件;随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件;把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验。在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=nnA为事件 A 出现的频率;对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(
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