随机过程考点总结1.pdf
《随机过程考点总结1.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《随机过程考点总结1.pdf(42页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、一.概率论部分(30%):1.随机事件和概率随机事件和样本空间的概念,随机事件的关系和运算(1)随机试验的定义:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果在试验前可以明确知道;(3)每次试验将要出现的结果是不确定的。满足上述特点的试验称为随机试验,简称随机试验为试验。用 E来表示。(2)样本空间的定义:随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验样本空间,记为。(3)随机事件的定义:样本空间的子集称为随机事件,简称事件。(4)随机事件的关系:事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等事件的包含与相等:若事件A发生必然导致事件8发生,则称事件A包含于事件8,记为 A
2、uB或者若AuB且 BuA,即A =B,则称事件4与事件8相等。若事件A 和B 不能同时发生,则称事件A与B 互不相容(或互斥)(5)事件运算事件的和:事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件5的和事件,记为4|jB,事 件 发 生 意 味 着:或事件A发生,或事件3发生,或事件A与事件5都发生。事件的和可以推广到多个事件的情景。设有个事件A”A 2,A ,定义它们的和事件为 4,4,A,中至少有一个发生,记为Jt=l事件的积:事件A与事件8都发生的事件称为事件A与事件6的积事件,记为A0|B,也简 记 为 事 件 4n 8 (或A3)发生意味着事件A发生且事件3也发生,即A与5都发
3、生。类似的,可以定义个事件4,4,4 的积事件仆 人=4,4,A,都发生。注:若事k=件A 和B 互不相容,则事件的差:事件A发生而事件3不发生的事件称为事件A与事件3的差事件,记为4-8。对立事件(或逆事件):若 A|J B =。,则称A,B 为对立事件,记做4 =豆,有=A方。事件的概率定义(包括古典型概率,几何型概率)及其计算频率的定义:设 E为任一随机试验,A 为其中任一事件,在相同条件下,把 E独立的重复做”次,表示事件A在这八次试验中出现的次数(称为频数)。比值(A)=%/称为事件A在这八次试验中出现的频率。概率的统计定义(古典型概率):设有随机试验E,若当试验的次数充分大时,事件
4、A的发生频率力(A)稳定在某数p附近摆动,则称数p为事件的概率,记为:尸(A)=p抽样问题:自N个元素中进行n次简单随机抽样抽样方式各种不同抽取方法总数还原有序N无序/+,1非还原有序玲无序分配问题:自n 个质点分配至 U N个盒子中分配方式各种不同抽取方法总数盒子能容纳任意多个质点可辨N质点不可辨盒子能容纳1 个质点可辨4质点不可辨5概率的公理化定义:事件域:设。是一样本空间,是。的某些子集组成的集类,如果它满足下列条件:n(1)Qed;(2)若 AeJ,贝|彳6士;(3)若 A”豆,“=1,2,.,贝 ij|j 4 e32 =1则称n 是Q上的一个事件域,3中的元素称为事件。定义:设。是一
5、样本空间,n 是。上的一个事件域,尸(。是定义在n 上取值为 o,i 上的实值函数,若P(。满足:(1)非负性:对于任一随机事件有P(A)2 0;(2)规范性:对于必然事件。,P(Q)=I;00、co(3)可列可加性:对于两两互不相容的事件4,4,4,,有 p UK =P(4)3=1 /i=l则称()为 3上的概率,而称(Q,3,P)为一个概率空间。几何型概率:(1)样本空间。是一个大小可以度量的几何区域(如线段、平面、立体)。Q(2)向区域内任意投一点,落在区域内任意点处都是“等 可 能 的 那 么,事件A的概率由下式计算:P(A)=44,这里L(A)表示A的度量.则称此试验为几何概型.L(
6、Q)概率的性质:(1)P()=0;(2)设n个事件4*2,A“两两互不相容,则有P(4 U&UA UA.)=P(4)i=(3)对于任一一个 事 件:P(A)=1-P(A)(4)若事件满足:AuB,则有P(6 A)=P(8)P(A),注:对任意两个事件力,B有 P(A-B)=P(A)-P(A B)(6)P(AUB)=P(B)+P(A)-P(AB)对于n个事件:PLM=:P(4)-E P(4 4)+E P(4 4 4)-+(-1广)(44)=1 J i=i jn l /;0)。向平面任意投一长为1 (l a)的针,试求针与一条平行线相交的概率。解:设 x是 针 的 中 点 M 到最近的平行线的距离
7、,夕是针与此平行线的交角,显然0 0 x于是投针的可能位置可以表示为。1 0?乃,0 x 投针问题就相当于向平面区域Q 内投点的几何概型,设 A表示“针与任一平行线相交”事件则Ax)I O 9 z r,0 x 于是 P(4)A的面积。的面积2/a 7_1 兀a2条件概率的定义,事件的独立性定义条件概率的定义:设 A,B是样本空间。中的两个事件,定义尸(A I B)尚)为“在B发生下A的条件概率”,简称条件概率。乘法公式:P(B)0 P(AB)=P(B)P(4IB)若 P(A4 Ai)0,则P(A4.4T)=P(4)P(&IAJP(4IA4).P(4IA 4.4T)(4-a O、P LIA3=i
8、 )+5/=1全概率公式:44 4 为样本空间。的一个事件组,满足:(1)4A2 A”互不相容,且 P(4)0(i=l,2,),(2)4 U A 2 L L.U A,=O,则对于。中的任意一个事件 B都 有:P(B)=P(A J P(B I4)+P(A2)P(8 I 4)+P(4,)P(5 I 4,J,由原因推知结果。贝叶斯公式:B 是样本空间。中一个事件44 4 为样本空间。的一个事件组,满足:(I)44 4 互不相容;且 P(4)o(i=i,2,)(2)A U A U.U A,P(A=名 竺 1=_尸(A*)P4)_k P(B)P(4)P(8 IA J+P(4)P(*4)+P(4,)P(6
9、I 4)贝叶斯公式也称为后验概率。由结果推知原因事件独立性的概念:对于事件A,B 有 P(A 8)=P(A)P(8),则称事件A,B 相互独立,简称A 与 B 独立。(互斥P(A 8)=0)注意:(1)必然事件和任意随机事件相互独立,不可能事件与任意随机事件相互独立。(2)互不相容时间爱你与相互独立不能同时成立。事件独立的充要条件是:P(A I6)=P(A)若四对事件A,B,“,B,A,8,X,跳中有一对是相互独立的,则另外三对也是独立的。多个事件的独立性:设有事件A,A,,对任意的,如果下式均成立:P(4 4)=P(4)P(4)尸(444)=p(4)p(A j)p(4)P(A A.A.)=P
10、(4)P(4)P(A.)则称n 个事件相互独立。例 子:尸(可=0.3,P(0)=0 4,P(。万)=0.5,求尸(B I4U 百解:P(A豆)=P(A(1 8)=P(4 AB)=P(A)P(A 8)=0.5于是 P(A 8)=0.2P(B IA U B)=尸(B(AU 吊)+P(AU 邛 P(A)+P(B)-P(AB)P()1尸(A)+P -尸(A可 42.一维随机变量及其分布(1)随机变量定义,分布函数定义及性质随机变量的定义:定 义1设随机试验的样本空间为。,称定义在样本空间。上的实值单值函数X=X(e)为随机变量.设X是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X为
11、一个离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X的可能取值为王,(其中任何两个都不同),X取各个值得概率分别为P,P2,记-(X=XJ =PK 优=1,2,)称p1t为离散型随机变量X的分布列,也称为概率分布(简称分布),显然分布列满足下列条件:/20(女=1,2广)且 =1。k=分布函数:设X为随机变量,x为任意实数,称/(x)=P(X 4x)为随机变量的分布函数,有如卜关系:P”当是离散性随机变量F(x)=P(X 4x)=2当是连续型性随机变量例子:现有7件产品,其中一等品4件,次等品3件,从中任取3件(不放回抽取),求(1)抽取3件产品中含有一等品件数X的分布列(2)X的分
12、布函数(3)抽取3件产品中含有一件一等品的概率解(1)X的可能取值为0,1,2,3分布函数的定义直接可得:p(x =0)=c c3c31J,p(x=l)=rlC2=3 5 )C:1 23 5 ,C2c l尸(X=2)=*=C71 83 5-0123 尸(X=3)=.C 洛4=,于是X的分布列为:3 51121 84,3 53 53 53 5.F(x)=0,x 0,0 x l3 5,l x 23 5,2 x 3(3)所求的概率表示为:X N 1 即尸 X N 1 =1 _ P X l =l _ P X=0 =3 4/3 5几种典型的离散型随机变量:两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布两点分布和
13、二项分布:若一个随机变量X 满足,且其分布为P(X=k)=C:p T,(左=0,1,2 一,)其 中(0p 0),则称则称X服从处参数为/I 的泊松分布记X F(2)几何分布:若一个随机变量X 满足,P(X =攵)=/1 住=1,2,),其 中(0 1),q =l ”,则称X服从处参数为p几何分布,记做X G(p)连续型随机变量:连续型随机变量的定义:如果存在一个非负可积函数“X),对于任意实数x,有 P(XKx)=1/RM”则称X是连续型随机变量,f(x)称为X的分布函数或密度函数。P(aWX 0,X G(-O O,+O O),;/(X世=1几种典型的连续型随机变量:均匀分布,指数分布,正态
14、分布均匀分布:若随机变量X的分布密度为:fx)=h-aaxb,0,其 他,则称X服从区间a,同 上的均匀分布。简记为X U a,b,其分布函数为F(x)=b-a1,ax 0是常数。其分布函数为正态分布:若随机变量X的分布密度为(7产f(x)=-o o%0,为常数,则称X服从参数为(,cr2)的正态分布。记做X N出吟,其分布函数为1L川I P X F(x)=1 e V27io-J-若X N(,4)那么y=士上N(0,l)J-P(o x W b)=P正态分布的性质:(l)分布函数/(x)关于轴冗=4对称,(2)正态分布有线性性即:X N R,。:),Y N.2,切若 X,Y 相互独立,那 么cX
15、 dY N 卜 4,+4匕;)3.二维随机变量及其分布二维随机变量的定义:定义:设 x,Y是应以在样本空间。上的两个随机变量,则(x,y)称为随机向量或随机变量。对于任意实数x,y 函数尸(x,y)=P X W y称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。若将二维随机变量(x,y)看成是平面上的随机点(x,y)的坐标,则分布函数E(x,y)就表示随机点(X,y)落在以点(x,y)为顶点的左下方的无限矩形区域内的概率。二维分布函数:设(X,y)是二维随机变量,对 于 任 意 实 数 二 元 函 数:R(x,y)=P(X Wx)n(y Wy”记为P(x Wy)
16、称为二维随机变量(X,y)的分布函数,或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。p x X x2,y,y y2=F(x2,y2)-F(x2,yl)+F(x1,y,)-F(x,y2)如果二维随机变量(x,y)全部可能取到的不同值是有限对或可列的无限多时,则称(x,丫)是离散型随机变量。设二维离散型随机变量(x,y)所有可能取值为(x,i,j=l,2,记 P(X=玉,丫=匕)=r,,_/=1,2 一,则由概率定义有:3。,丛=1/=!j=l称 P(X=玉,丫=匕)=r,/=1,2/一为二维离散型随机变量(*,丫)的分布律,或随机变量X 和 Y 的联合分布律。可以用表格来表示X 和 Y 的联合分布律
17、。例子:设随机变量X 在 1,2,3,4四个正数中等可能的取一个值,另一个随机变量Y 在1X中等可能的取一整数值,试求(x,y)的分布律。解:有乘法公式容易求的(x,y)的分布律,易知(x=i,y =/)取值情况是:t =i,2,3,4,,是不大于,的整数且:尸(x=力=P(y=/1x=i)尸(x=i)=;,i=1,2,3,4,J 0,y0,其他0(1)求分布函数/(x,y)(2)求概率pyx解 X,y)F(x,y)=J:fj(x,小),平2产。x0,),0&x,y)=!。-叫(1-八。,。0(2)将(x,y)看作是平面上的随机点坐标,即有yx=(x,y)GG,G是xoy平面上直线y=x及其下
18、方的部分,于是PyWX=P(X,y)eG=JJG x,y)dxd),=|2 e(2 x+)dxdy=边缘分布:二维随机变量(X,y)作为一个整体,具有分布函数/(x,y),而X,Y都是随机变量,各自也有分布函数,将它们记为Fx(x)和 耳(y),依次称为二维随机变量(X,y)关 于X和关于Y的边缘分布函数,可以由分布函数/(x,y)确定。Fx(x)=P X x -P X ,)()=1,2,)/=分别称p”(i =1,2,)和p.j (j =1,2,)为(X,y)随机变量的独立性关于X和Y的边缘分布 律(其中的记号p”中的“”表示P,.是由p,7关于j求和后得到的,同理记号p.j中的“表示p./
19、是由P,)关于i求和后得到的)对于连续型的随机变量(X,Y)设它的概率密度为“X,y)有fx(x)=J :/(x,y)d y同理4(y)=1/(x,沙x分 别 称(x)和 万(),)为(x,y)关于x和关于Y的边缘概率密度。例子:整数N等可能的在卜1 0十个值中去一个值,设O =O(N)是能整除N的正整数个数尸=1 F(N)是能整除N的素数的个数(1不是素数),试写出D和F的联合分布律,并求边缘分布。样本点12345678910D1223212434F0111121112D可能取值为1,2,3,4,F可能取值为0,1,2容易得到(。,尸)取(i,j)i =l,2,3,4,1 4i =0,l,2
20、 的概率。例如 P O =1,尸=0 =而,P D =2,F=1=可得D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:(),则称f、/%=r,y=y.p产 x =%.I y=匕 =一二 包=D,i =1,2,为在y=y,.条件下随机变量XI p y=yj P j J的条件分布律。同理对于固定的i,若尸 x=x 0,则称=y/X =七 =工 =1,2/一 为 在*=若 条 件 下 随 机 变 量YP X=X(.)P i.的条件分布律。例子:工厂中的-辆汽车的工序是有机器人完成的,包括紧固3只螺栓,和焊接2个焊点,x表示螺栓紧固不良的数目,Y表示焊点不良的数目,由累积资料显示(x,y)具有分布律:XY0
21、123叩=力00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0010.0010.020(1)求在X=1条件下,Y 的分布律,(2)求在Y=0条件下,X 的分布律解:在 X=1条件下,Y 的分布律:P(X=i)0.0910.0450.0320.0131.000P iX=1=X3,11P(X=1)0.04511 P”=l)0.045Px小Y=k012=8 X=16/92/91/9同理在Y=0条件下,X 的分布律例子:某人射击时集中目标的概率为P(O P 1),射击直至集中目标两次为止,设 X 表示首次击中目标时所进行
22、的射击次数,Y 表示总共进行的射击次数,求 X 的 Y 联合分布律及条件分布律。解:Y=n表示在第n 此射击是击中目标,且在前n-1此中有一次击中目标,已知各次射击是独立的,于是不管机(?0,则称/架?为 在 条 件Y=y下的x的条件概率人(y)密度记为:启y(xly)=;(;不,称 匚/xi y(xly M x-J:x,y)为在条件Y=y下的fy()?)X的条件分布函数,记为尸(X 4 xlY =y)或F xv(xly)即F xw(xly)=P(X W xlY =y)=于(%)1)-dx类似的,定 义 源3 x)=勺 斗 和 降X 3 X)=匚纬%Jx x7 JY例子:设G是平面上的有界区域
23、,其面积为A,若二维随机变量(X,y)具有概率密度“X,加 G0,其他则称(x,y)在G上服从均匀分布,线设二维随机变量(x,y)在圆域Y+/1上服从均匀分布,求条件概率F x1(xi y)解:由题意/(,),)=,x2+y2 1n ,且有边缘概率密度0洪 他4(加 /(%加=7171-y2,l y l于是当一 1 y 1时有:71&y(xi y)*田710,其他0,其他=-/1 ,,_ J -y2 w J _ y 2y2 2yliI _ y-例子:设数X在区间(0,1)上随机的取值,当观察到X=x (x w(0,l)时数Y在(x,l)上随机的取值,求Y的概率密度函数6(y)。解:按题意既有概
24、率密度力(%)=:0其他,对于任意给定的值x e(0,1),在X=x条件下,Y的条件概率密度为:1 ,、-,X V 1Ai x(y i x)=1 1o,其他于是X和Y的联合概率密度为:1./(内)=源3)7%(了)=(1一0,其他o,其他相互独立的随机变量:定义:设F(x,y)及F x(x),F y(y)分别是二维随机变量(X,y)的分布函数及边缘分布函数函数,若对于所有的x,y有:P x W x,y W y =P X x P yy 即尸(x,y)=G(x)耳(y)则称随机变量 X和Y相互独立。设(X,y)是连续型随机变量,/(x,y),fx(x),/y(y)分别是(X,y)的概率密度和边缘概
25、率密度,则X和Y相互独立的条件是/(%#=%(%)人()几乎处处成立(在平面上出去“面积”面积为0的点,处处成立)。(X,Y)是离散型随机变量,X和Y相互独立的条件是:对于(X,y)的所有可能的值(4力)有:P x=X j,y =,=尸 X =xip Y=yj随机变量函数的分布:一维随机变量函数的分布:例子:设随机变量X具有一下分布律,试求y =(x-i)2的分布律:X-1012pk0.2 0.3 0.1 0.4解:Y的所有可能取值为0,1,4p y =o =p (x-1)2 =o =p(x =1)=0.1Py=1=PX=0+PX=2=0.7Py=4 =PX=-1=0.2,所以Y的分布律为:Y
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 随机 过程 考点 总结
限制150内