导数及其应用(解析版).pdf
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1、专题1 6导数及其应用【2 014年高考真题】1.【2 014高考安徽卷文第15题】若直线/与曲线C满足下列两个条件:(i)直线/在点P(Xo,打)处与曲线。相切;(而)曲线。在p附近位于直线/的两侧,则称直线/在点尸处“切过”曲线C.下 列 命 题 正 确 的 是(写出所有正确命题的编号)直线/:夕=0在点尸(0,0)处 物 过”曲线C:y=x3直线/:x =1在点产(1,0)处“切过”曲线C :y=(x +直线/:夕=x在点尸(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx直线/:夕=x在点尸(0,0)处“切过”曲线C :y=tanx直线/:夕=x 1在点尸(1,0)处“切过”曲线C:y=I nx
2、【答案】【解析】由题意,了=/上在Fu,O i处的切线方程为x =0,曲线C在尸附近位于切线的两侧,满足条件;y=(x+l)2上 在R L O i妇的切线方程为x =0,曲线C在尸附近位于切线的同侧,不满足条件;y=si nx上在P Q O i处的切纥方程为了:,定线C在尸附近位于切线的两侧,满足条件;=1跄工上在户0,01处的切线方程为了=%,曲线C在尸附近位于切线的两侧,满足条件;丁=l nx上在R LO i处的切线方程为了=工-1,曲线C在尸附近位于切线的同侧,不满足条件.故选.如下图:【考点定位】函数的切线方程2.12 014 高考广东卷文第11题】1 1.曲线夕=-5/+3在点(0,
3、-2)处的切线方程为【答案】1y=-5工-2或5工+*-0.【解析】.y=-5e+3,-故所二、的切线的字.弓代=一为=一5,故所求的切线的方程为y-i-2i=-5 x山丁=-5工-2 N 5x+y+2=0.【考点定位】导数的应用3.12 014 高考湖南卷文第9 题】若0 玉/I n x2-I n/B,e*-ex xtet2D.x2eXl xteX2t答案】c【解析】设函数y g =J-l n x 且 二水函数寸寻可得X1|T T -1|j p=/-上,g i x i =一5,因为xee l i,所 尸 符 号不确定且g x i 0,所以函数X XXI 单调性不确定,函数g i XI 在 电
4、 l i 上 白 生 疯 贝 I j g i j q x2ex 0,则。的取值范围是()(2,+8)(B)(l,+o o)(C)(-8,-2)(D)(-c o,-1)【答案】C【解析】根据题中函数特征,当a =0广.函 数.彳.;)=-3,.1显然有两个零点且一正一负;当白0时,求导可得:/(X)=玄-6 x=3 x(a x-二),利用耳颔:的正U与函数单调性的关系可得:xe (-8,0)和x e(2,帝)时函数单调递增,xe (0,2)时巴故单调=诚,显,厅在负零点;当a 0时,求导可得:a ao/*(x)=3 a x2-6x =3x(a x-2)利用导致印正负与函数占.匕的关系可得:x e
5、(-o o,)ft x e (0,-K)S ta函 数 单 调 述 减xe (2,0)时函数单调展噌,Z要使得函散有唯一的零点且为正,则满足:,即。7(0)0得:(/3-3(1小0,可解得:/4,则a 2(舍 若),a l,所以0 工 1,故X X X左的取值范围是 1,+0 0).【考点】导数的应用-x +a,x 0,.X围是.【答案】(-0。,2【解析】山题意,当x 0时,/(x)的极小值为/(I)=2,当x 0时,/(x)极小值为/(0)=a ,/(0)是/(x)的最小值,则a42.【考点】函数的最值问题11.12014高考安徽卷文第20题】设函数/(x)=l +(l +a)x Y d,
6、其中a0(1)讨论/(x)在其定义域上的单调性;(2)当xe 0,l 时,求/(x)取得最大值和最小值时的x的值.【答案】(1)/)在(-0 0,土)和(9,+8)内单调递减,在(0毛)内单调递增;(2)所以当0。1时,f(x)在x=l处取得最小值;当a=l时,f(x)在x=O和x=l处同时取得最小只;当la4时,f(x)在x=0处取得最小值.【解析】(1)对原函数进行求导,/(x)=l +a-2x-3x2,令f(x)=O,解得xx=9 3 a,马=+:+.知 当工%或毛时/(x)O.ifef(x)在(8,毛)邙 2,+内单调递减,在(外,毛)内单调递增.(2)依据 第(1)题,对a进行讨论,
7、当a之 j,“由(1,知,f(x)在 0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最.眉.当0-,/4时,/1由(1)知,f(x)在 0,马 上单调速噌,在 三 上单调递减,因此f (%)7tx=电=-1 +9*”处取得最大值.又f(0)=l、/Q)=a,所以当0al时,f(x)在、,=1处取俱最小值;当a=l时,f(x)在x=0和x=l处同时取得最小只;当la4时,f(x)在x=0处取得最小值.(1)f(x)的定义域为正,r(x)=l+a 2%一3一.令/,(x)=O,得-1 4+3a 1 +J4+3a .,、/./=-,毛=-,毛 x2,所 以/(X)=-3(x-毛)(
8、工一毛).当x 毛时当天 工 0.故/(X)在(-叫 毛)和(马叶0 0)内单调递减,在(W,毛)内单调递增.因为a 0,所以王 0当a 2 4时,x2 1,由(1)知,f(x)在 0,1上年周递噌,所以f(x)在x=0和x=l处分别取得最小值和最大值.当0 a 4时,马 1山(1)知,f(x)在 。,马 上单调通噌,在 马 上单调递减,因 此/(X)在x=/=_1+二+5 处取得最大俨7/(0)=l,/U)=a,所以当0 a 1时,/(X)在x=l处取得最小值;当a=l时,=0和v-1处同时取得最小只;当l a 4时,f(x)在x=0处取得最小值.【考点定位】导致的应用12.12014高考北
9、京卷文第20题】已知函数/(x)=2x3-3x.(1)求/(x)在 区 间 上 的 最 大 值;(2)若过点P(l,/)存在3条直线与曲线y=/(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点/(一1,2),8(2,10),。(0,2)分别存在几条直线与曲线 =/(x)相切?(只需写出结论)【答案】0;(-3,-1);详见解析.【解析】(1)由/(x)=2/-3 x得/。)=6/一3,令 二 )=0,得 工=一 手 或 工=学,因为/(-2)=-10,/(-)=V2,_ 而),因此一 比=(6勺2-笏(1 一 通),整 理 律4勺3-,/+?U,设g(x)=4 6X2+3,则“过点产(匕)存 在3条直
10、线与曲线y=/(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”,g(x)=12x2-12x=12x(x-l).g(x)与g(x)的情况如下:X(-8,0)0(0,1)1(1,+0)g(x)+00+g(x)/t+3/+1/所以,g(0)=Z +3 是 g(x)的极大值,g =+1 是 g(x)的极小值,当 g(0)=2+3W0,即工-3 时,此时g(x)在区间(-8,1 和(l,4 o o)上分别至多有1 个零点,所以g(x)至多有2 个零点,当 g(l)=+1 2 0,时,此时g(x)在区间(-8,0)和 0.2)上分别至多有1 个零点,所以g(x)至多有2 个零点.当 g(0)0 且 g(l)0
11、,即一3 -1 时,因为70,所以g(x)分别为区间-1,0),0,1)和 1,2)卜,:零点,中于g(x)在区间(-8,0)和(1,施上单调,所以g(X)分别在区间(-8,0)和口,+8、二恰有1 个零点.综上可知,当过点尸(1/)存 在 3 条直线m注线相切k,t的取值范围是(-3,-1).(3)过 点 A(-1,2)存 在 3 条直线与曲线y =/(x)相切;过 点 B(2,1 0)存 在 2 条直线与曲线y=/(x)相切;过 点 C(0,2)存 在 1 条直线与曲线y=/(x)相切.1 3.2 0 1 4 高考大纲卷文第2 1 题】函数f(x)=a x3+3 x2+3 x(a/0).(
12、1)讨论函数R x)的单调性;(2)若函数f(x)在 区 间(1,2)是增函数,求 a的取值范围.【答案】(1)a2l时,在(-c o ,+o o )是增函数;0 a l 时,f(x)在(一 o o,X2),(xi,+0 0 )匕 是增函数:f(x)在(X/X,)上是减函数:(2),0)U(0,+8)4【解析】(1)首先求出函数的导数,然后求出 是/(x)0 或/(x)0成立的条件,并求出参数a的取值范围即可(1)=3ax2+6 x+3,/(x)=3 a x?+6 x+3=0的判别式a=3 6 (1-a).(i)若6 1,贝之0,且丁(必0当且俨当a=L k 1,故此时f(x)在R上是噌函数.
13、(i i)由于 a W O,故当息 0 故 f(x)在(-8,x:)(x:+8)上是噌函数,当xG (x;x:)时,/(x)0,x0时,f(x)0,所以当a 0时,f(x)在 区 间(1,2)是噌函数.若小。时,f(x)在 区 间(1,2)是噌函数当且仅当/(I)之。且/(2)2 0,解得2M a 0 时,x2 ex(3)证明:对任意给定的正数e,总存在%,使得当xe(Xo,+8)时,恒 有xc e*【答案】当x=l n 2时,/有极小值/(I n 2)=2-I n 4,/(x)无极大值.(2)见解析.(3)见解析.【解析】(1)由/(0)=1-。=-1,得a=2.从而 f (x)=ex-2.
14、令/(x)=0 ,得驻点x=I n 2 .讨论可知:当xl n 2时,/(x)l n 2时,/(X)0,/(x)单调递噌.当x=l n 2时,/(x)有极小值/Q n 2、=2-l n d,/(x)于:极大值.(2)令g(x)=e*-/,则 g(x)=-2 x.根据8 0)=/。)2 _/(1 1 1 2)=2-1 1 1,0,如占(x)在 Q 上单调递噌,又g(0)=l 0,当 x 0时,由 g(x)g(0)0,即空.(3)思 路 对 任 意 给 定 的 正 数c,?.C根据/得到当时,C思路二:令上=1(左0),转化得工;只需x、立.c分0 9应用导致研究/(x)=x-l n x-l n上
15、的单调性.思路三:就匕之1,0 匕1,加以讨论.解法口(1)由/(x)=/a x,得/(工)=/一4.又/(0)=1 a =1,得a =2.所以/(x)=e*-2 x/(x)-e?-2.令/(x)=0,得x=;n 2.当xl n 2时,/(x)l n 2时,f X x j 0,_/(元;“弓递增.所以当x=I n 2时,了。汴 极小值,且极小值为/Q n 2)=产 一 2 1 n 2 =2 -I n 4,/(x)无极大值.(2)令g(x)=e*-/,则 g(x)=e*-2 x.由(1)得,g(x)=/(x)/(I n 2)=2 -I n 4 0,即 g(x)0.所以g(x)在R上单调递噌,又g
16、(0)=l 0,所以当 x0 时,g(x)g(0)0,即/0时,x2 v/.所以当了 与时,x2 x,即八c因此,对任意给定的正数c,总存在画,当xe (而,4 0 0)时,恒有x v c/.解法二:(1)同解法(2)同解法丁.(3)令上=(上 0),要 使 不 等x 成立,匚要产 去成立.c而要使e*Ax成立,则只需人即x l r .十I n k成立.若0 Lx之I n 矛+l n后成立.即对任意c e L+o o),取 而=0,当xe (而,+0 0)时,恒有x v c e.1 若上 1,令人(x)=x-l n x-l n h 则4(x)=l-=-,x x所以当五 1时,h(x)0 ,%0
17、)在(1,4 0 0)内单调邀曾.取=4上,6 a o)=4左 一 l n(4 A)-I n A=2(k-I n A:)+2(k-I n 2)易知人 I n左,k n 2 ,所以力(%)()._4,一因此对任意C (0,1),取与=,当工(%,+8)时,恒有xc e C综上,对任意给定的正数C,总存在,当X(Xo,+8)时,恒有x 2 x,所以当 xe (而,+0 0)时,有c o”之/2 x x,即xc c e”.若0 c l n时,A(x)0 ,%(工)单调递窄.c2取 飞=2 1 n ,c,、过 0 1 2 2 2力(而)=ce c-2 1 n =2(-I n -),c c c2 2 易
18、知一-出一 0,又及(x)在(而,+双而)0,即综上,对任意给定的正数c,总存在演,当xe (飞,+0 0)时,恒有x【考点定位】导致的计算及导致的应用,全称量词与存在量词,转化与化归思想,分类讨论思想.1 5.【201 4高考广东卷文第21题】已知函数+Q X+1 (Q 尺)(1)求函数/(X)的单调区间;(2)当 0进行分类讨论,根据导数的M负求出函数/(x)的单调区间;(2)由作差法/(%)/0将等式进行因式分解,得到/(x。)-)(4 x;+1 4 x 0+7 +1 2。),于是将问题转化为方程 4 x;+1 4 x 0+7 +1 2。=0 在(0,卯(g,l)上有解,并求出该方程的两
19、根,并判定其中根演尸耳=-7+一48a在区间(。,加朋上,并由0 f 1以 及+4:-4弘=|确定满足条件/,/时”的取值范围,然后取相应的补集作为满足条 件/1帚=_/(?)时a的取值范围.(1)/ix i=/+2五 +,方程 X,+2x+=。的判别式jA=4-4,当口之1时,A 0,贝I J/E N 0,叱时力r在K)之碧函数;当 0 9解得x Ji a,解彳、等式x+2x+以 0 9 解得:-J l-a-1 (2,此时,函数力凶 的单调递噌区间声ooi-3二7 i和 1+而7 z 0 1,单调递减区间为I 1-Jl a,1 +J l-a I ;综上所述,当时,函 数 的 单 调 递 噌
20、区 间 为lYO,48i,当a 1时,函 数/1 xi的单调递噌区间为I -o0,-1一 J l-a I和 -1 +J1-a,+oo,单调递减区间为I -1-Jl-a,-1 +J l-a I ;g)=$;+x;+/+1 _;.(3)+(g)+a,g+l3_*(I +x;-0 +h。-1=4卜。一 心+与+|+卜。.小。+扑心)若存在使得/)=/(:/1/I X必须4k+14而+7+12以=0在o,_ U-,1上有解,I 2J 12 J*:a 0,LM而t 7 4-2 J21-482 7 J21-48a万程的两根为x=-1-=-1-,-14+2121 4 4 7+421 48a:-=-,8 4c
21、t-7+J21-Sda而 0,%=勺=-,依题意,0 一,十 皿1一4。以 ,即 彳J21-48 T,425 749 21 48 121,艮 口 以 0,即0 x e时,函 敢j(x)单泻递增;当了(工)e时,函数了(“单调漫式;故函数,(x)的单调噌区间为(0,e),5调减区f l j为(e 3 Q).(2)因为 e 3 ”,所以 e l n 3 r,7 r M-.i n 3 .即 l n 3 l n k,I n e1 ,于是根据函数y =l n x、y=e,y =兀 主 定义域上单调递噌,所以3 7 f(苏,e3 e”3,,故 这6个数的最大数在 炉 与3,之中,最小数在3 与之中,由e
22、3 4及(1)的结论得/(3)/(e),即叱V吧包,7T 3 e由 史 也得1n工 ,7T 3由 也也得 1n 3 I n/,所以3,0).(1)求/(x)的单调区间;1 I 1 7(2)记王为/(x)的从小到大的第,(i e N*)个零点,证明:对一切 w N*,有-5r+0 L求x,大 于0和小于0的解集得到单调减区间和单调噌区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域I 0,-KO.利用问的结果可知函数 力x在区间(0,m上是单调递减的,即 力x,在区间10,m上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得/(2)=0=g,再根据/.X.在区间上 wr,5 +h不 单调性和函数/XI在区间I
23、皿I%+117n端点处函数g聂号可得函数了|XI在区间(见3 +1 I7H上有且只有一个零点,即n?r xK+1 i+l izr=-),一 Oi,令/“xi=0可得x=k7Vk 27*i,当 x e 2k?r,2上 +1 M ke 曾*i时,sinx 0.此时b/(xi 0,故函数小x 的单调递减区间为 2k7T,y2k+nyk&N*,单调递噌区间为“2k+11兀 2片+2 ITTII上c W*i.由可知函数dx i在区间(0,m上单调递减,又(?)=0,所以再=?当万 6 曾*时,因 为 力 阀不(%+1|箱=-1 1*7T+1J-1 I*11 +11 7T+1 0,且函数 17 t XI
24、的图像是连续不断的,所以/|XI在区间I切,5+11杆I内至少存在一个零点,又_/I X I在区间i7T,i +1 IFI是单调的,故 市 4+1 IM+1S,因此,=13 时,r1 =4-7 3时,14+1 +1中+1 1 1 1 1 r 1 1=F +f l-71-17 -r 5 d-1-F-%x;x;x;乃1x2(/7-2)(/?-1)综上所述,对 切 的 wN*,2 .31 1 1 +再 W X,【考点定位】导数及其应用1 8.12014高考江苏第19题】已知函数/(x)=e*+e 7,其中e是自然对数的底数.(1)证明:/(x)是/?上的偶函数;(2)若关于x的不等式切XxlW eT
25、+m-1在(0,+8)上恒成立,求实数加的取值范围;(3)已知正数。满足:存在xe(l,+8),使得/(x0)/+3%)成立,试 比 较 与/t的大小,并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析;(2)活工-工(3)当L(e+3 ae时,e N a f 当a=e时,e =c f-3 2 e当时,产1成【解析】(1)证明:函数了)定义域为五,/(x)=e f+/=0时,然 1,因此/(x)=+g 2,即/(x)1 1 0,所/(x)-1 ex+ex-1 e+l-el-e*1 H-z?+t 1 11y=设=1一炭,则20,-=J=+-1,-0,.-.t+-2 (Z =-1 3 e2 x+l-ex、t
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- 导数 及其 应用 解析
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