解一元二次方程(培优篇100题)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(北师大版).pdf
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1、专 题 2.1 9解 一 元 二 次 方 程(培 优 篇 100题)(专 项 练 习)1.解 方 程:(2x+l)2=2X+1.2.解 方 程:(1)x2-2x(3)(x 2)-=3x(x2)(2)2a2-6a+l=0(4)(y+l)(y+2)=63.解 方 程:(l-2x)2=X2-6 X+94.选 择 适 当 的 方 法 解 下 列 方 程:(1)3x2-7x=0(2)X2-12X-4=05.解 方 程:(1)(3x+2)(x+3)=x+14 炉-2 x-l=06.阅 读 材 料 并 解 决 下 列 问 题:因 为 X?+5无+6=;?+(2+3)x+2x3,所 以 x2+5x+6=(x+
2、2)(x+3),所 以 方 程 d+5 x+6=O 用 因 式 分 解 法 解 得:石=-2,=一 3.又 如 f-5X+6=(X-2)(X 3),所 以 方 程/_ 5x+6=0 用 因 式 分 解 法 解 得 再=2,%=3.一 般 地,因 为*+(a+/?)x+=(x+a)(x+/?),所 以 f+(a+/?)x+a/?=0,即(x+a)(x+)=0 的 解 为 X|=-a,x2=b.请 依 照 上 述 方 法,用 因 式 分 解 法 解 下 列 方 程:(1)W+8x+7=0(2)X2-1 U+28=07.不 解 方 程,写 出 方 程 的 两 根 之 和 与 两 根 之 积:(1)3
3、x2+2x-3=0(2)x2+x=6x+7.8.解 方 程:(x+l)(x-3)=-1.9.用 适 当 的 方 法 解 方 程(1)(%-l)2=36(2)Y+8x+7=0 X2+5=25X(4)(X 4)2=(5 10.解 方 程(1)X2+4 JV-1=0(2)2(x+3=x(x+3)(3)3x(x-1)=2 2.x(4)2X2-4 X-1=011.解 方 程:(x-1)2=4 解 方 程:x2+2x-3=0.12.解 方 程:6x435x3+62x235x+6=0.13.解 方 程:(x-2 013)(x-2 014)=2 015x2 016.14.设 方 程 4x27x3=0 的 两
4、根 为 xi,X 2,不 解 方 程 求 下 列 各 式 的 值.(l)(xi3)(x23);(2)上+.x+1 x2+1(3)X1-X2.15.选 用 合 适 的 方 法 解 方 程:(1)N BPF(2)(2X-3)2-X2=016.(1)计 算:6交 一 5加-6+3 6.(2)计 算:8(&+2)-4b(3)解 方 程:/+4 x 2=0.17.已 知:x2+4x+y26y+13=0,x-2y 2 2x+y求 的 值.18.如 果 X?4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z 的 值.1 9.用 适 当 的 方 法 解 下 列 一 元 二 次 方 程:(1)2x2+4 x-l
5、=0;(2)(y+2)2(3y1)2=0.20.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 x-3-5=0,试 写 出 满 足 要 求 的 所 有 小 b 的 值.21.试 比 较 下 列 两 个 方 程 的 异 同,x2+2x-3=0,x1+2x+3=0.22.解 方 程:(x-l)2-2(x2-l)=0.(因 式 分 解 法)23.解 方 程(1)x2-3x+2=0(2)(x+3)(x-6)=-8(3)(2x+l)2=3(2x+l)(4)2x2-x-15=0.24.解 下 列 方 程:(1)x2-3x=l.(2);(y+2)2-6=0.25.解 方 程:(3x+l)2=9X+3.2
6、6.解 方 程:(x+l)(x-l)=2 V 2 x.27.解 方 程:2%2_4%-3=0;2(X-3)=3X(X-3).28.用 适 当 的 方 法 解 下 列 方 程 x2+10 x+16=();3x(x-l)=2(x-l)29.解 方 程(1)x2+4x-5=0(2)(x-3)(x+3)=2x+6.30.已 知 最 简 二 次 根 式 与 J 4 a-6 是 同 类 二 次 根 式,求 关 于 x 的 方 程(a-2)x?+2x-3=0的 解.31.解 方 程:(l)x(x+8)=16;(2)(2xl)2=x(3x+2)7.32.解 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程:5x(x-3
7、)=(x+l)(x-3).33.解 方 程:(1)x2-2x=4-(2)(x-3)2+2x(x-3)=0.34.解 下 列 方 程:(1)x2-4x+l=0(2)4(x-l)-=x(x-l)35.利 用 换 元 法 解 下 列 方 程:(1)(x+2)2+6(x+2)-91=0;(2)x2-(1+273)x-3+73=0.36.设 m 是 不 小 于-1的 实 数,关 于 x 的 方 程 x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 XI、X2,(1)若 X/+X22=6,求 m 值;mx,mx,(2)令 T=;求 T 的 取 值 范 围.1-X l-x237
8、.选 取 二 次 三 项 式 初 2+法+4。0)中 的 两 项,配 成 完 全 平 方 式 的 过 程 叫 做 配 方.例 如 选 取 二 次 项 和 一 次 项 配 方:X2-4x+2=(x-2)2-2;选 取 二 次 项 和 常 数 项 配 方:x2-4x+2=(x-y/2)2+2 2-4,或 f 4x+2=(x+0 产 一(4+2近)尤;选 取 一 次 项 和 常 数 项 配 方:X2-4 X+2=(五)2-x2.根 据 上 述 材 料,解 决 下 面 问 题:(1)写 出 f 8x+4 的 两 种 不 同 形 式 的 配 方;(2)若 f+J+D 3y+3=0,求 盯 的 值;若 关
9、 于 x 的 代 数 式 一(租+6卜+加 一 2是 完 全 平 方 式,求 z的 值;(4)用 配 方 法 证 明:无 论 x 取 什 么 实 数 时,总 有 V+4 X+5 N 1 恒 成 立.38.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 f 一 2x+m+2=0有 两 个 不 等 的 实 数 根 不 和 x2(1)求 2的 取 值 范 围 并 证 明%=加+2;(2)若 小 一 引=2,求 加 的 值.39.解 方 程 岳 2+4瓜=2 时,有 一 位 同 学 解 答 如 下:这 里 a=5/2,b=4+,c=2/2,/./2-4c=(4V3)2-4x72x272=32.b 士
10、4护 4ac-4-B yJy2.77,o2a 2V2%i=/6+2,%2=-/6 一 2.请 你 分 析 以 上 解 答 有 无 错 误,如 有 错 误,指 出 错 误 的 地 方,并 写 出 正 确 的 结 果.40.已 知 关 于 的 方 程-3(3 L 1)X+18=O有 两 个 正 整 数 根(加 是 正 整 数).AABC 的 三 边。、b,满 足 C=2 6,nr+a2m-8a=0 nr+b2m-Sb=0-求:(1)加 的 值;(2”A B C 的 面 积.41.4 知 最 简 二 次 根 式 Ja2_”与 2/6。-12是 同 类 二 次 根 式,求 关 于 的 一 元 二 次
11、方 程 9、13 5a-|x?+二 x-:=0 的 解.I 2;4 442.已 知 b,且 满 足(a+l)2=3 3(a+l),3+1)2=3 33+1),求 的 值.43.设 p,q 是 整 数,方 程/一 元+4=0 有 一 个 根 为 君-2,求 p-q 的 值.44.解 下 列 关 于 x或 y 的 方 程。a2y+y=1(2)b(x+3)=4(3)(ax)2+4x2=1(4)by2+1=2(b 丰 0)45.用 适 当 的 方 法 解 方 程(2f+3)2=3(2r+3).46.用 因 式 分 解 法 解 下 列 方 程:(DX2-12X+35=0;(2)3(2x-3)2-2(2x
12、-3)=0;(3)9(x+2)2=16(2x-5/;(4)(X+3)2-5(X+3)+6=0.47.解 方 程(1)36x216=0(2)8(1)3=1(3)25-9(x-2=0(4)/2=-248.(换 元 思 想)阅 读 材 料:,b材 料 1 若 一 元 二 次 方 程 0-+法+,=0 9 工 0)的 两 根 为 再、X,则+工 2=-一,acXxX2=.-an tr i材 料 2 已 知 实 数 加、满 足 加 一 加 一 1=0,A?”i=o,且 加 彳“,求 一+一 的 值.m n解:由 题 知?、是 方 程 2一%一 1=。的 两 个 不 相 等 的 实 数 根,根 据 材 料
13、 1,得 加+=1,m n=l.n m m2+n2(m+n)2-2mn 1+2 i=-=-=-=-3.m n mn mn-1根 据 上 述 材 料 解 决 下 面 的 问 题:(1)一 元 二 次 方 程 f 一 4%一 3=0 的 两 根 为 芭,/,则 X+Z=4,玉*2=;(2)已 知 实 数 满 足 2m2一 2 m 1=(),2/-2 1=(),且 m H,求 m2+加 2的 值;(3)已 知 实 数,4满 足/=3 p+2,2/=3q+l,且 工 2力 求 p?+4q2的 值.49.我 们 知 道,解 一 元 二 次 方 程,可 以 把 它 转 化 为 两 个 一 元 一 次 方
14、程 来 解,其 实 用“转 化”的 数 学 思 想 我 们 还 可 以 解 一 些 新 的 方 程 例 如 一 元 三 次 方 程 x3+x2-2x=0,可 以 通 过 因 式 分 解 把 它 转 化 为 x(x2+x-2)=0,通 过 解 方 程 x=0 和 x2+x-2=0,可 得 方 程 x3+x2-2x=0的 解.(1)方 程 x3+x2-2x=0 的 解 是 X1=O,X2=,X3=(2)用“转 化”的 思 想 求 方 程 后 m=X 的 解.x2 4y2=0(3)试 直 接 写 出 的 解 _.x+y=50.阅 读 理 解:解 方 程:x3 x=0 解:方 程 左 边 分 解 因
15、式,得 X(X+1)(X-1)=O,解 得 再=0,W=1,*3=-1 问 题 解 决:(1)解 方 程:4X3-12X2-X=0.(2)解 方 程:(x2-x)2-3(x2-x)=0.(3)方 程(2x2x+1)2(2x x)5=0 的 解 为 51.解 方 程:(x2+x)2+(x2+x)=6.52.已 知 关 于%的 方 程 2一 3%+2=1.(1)当 团 0时,解 这 个 方 程;(2)当 机 0时,解 这 个 方 程.53.已 知:关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 f+(?+l)x+2=0.4(1)若 此 方 程 有 两 个 实 数 根,求 加 的 最 小 整 数 值;(2)
16、若 此 方 程 的 两 个 实 数 根 为 西,且 满 足 X;+XM2=18;一 君,求 加 的 值.54.已 知 X H,2-%=2,y J y=2,求 炉 V 一/寸 的 值 55.(1)解 方 程 组:%2+/-11=0缶-4y+10=0(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)d)(y+3)=(x+2)(y+1 2)56.阅 读 小 明 用 下 面 的 方 法 求 出 方 程 2q-3x=0的解 法 1:令 或=t,则 X=t2原 方 程 化 为 2t-3t2=0,r,2解 方 程 2t-3t=0,得 ti=0,t2=一;3l 2所 以 6=0 或,将 方 程=0 或 两 边 平
17、方,4得 X=0 或 g,4经 检 验,x=0 或 六 都 是 原 方 程 的 解.94所 以,原 方 程 的 解 是 x=0 或 解 法 2:移 项,得 2 6=3;方 程 两 边 同 时 平 方,得 4x=解 方 程 4x=9x2,得 x=0 或 4经 检 验,x=0 或 一 都 是 原 39所 以,原 方 程 的 解 是 x=0 亘 请 仿 照 他 的 某 一 种 方 法,求 出 方 法 x-后 工?=-1 的 解.57.Jx+8+5/2 x-4=058.尸 户 二 V X V2X-1 259.阅 读 材 料:已 知 实 数 m、n 满 足(2m2+n2+l)(2m2+n2-l)=35,
18、求 2 m?+r 的 值.解:设 2 m 2+矛=t,则 原 方 程 可 化 为(t+l)(t-l)=35,整 理 得 t2-l=35,t2=36,t=6,2m2+n2 0 2m*+n2=6.上 面 这 种 解 题 方 法 为“换 元 法”,在 结 构 较 复 杂 的 数 和 式 的 运 算 中,若 把 其 中 某 些 部 分 看 成 一 个 整 体,则 能 使 复 杂 的 问 题 简 单 化,根 据“换 元 法 解 决 下 列 问 题:(1)己 知 实 数 x、y 满 足(2x2+2y2+3)(2x2+2y23)=7 2,求 x?+y2 的 值;(2)若 四 个 连 续 正 整 数 的 积
19、为 360,求 这 四 个 连 续 的 正 整 数.60.按 要 求 解 方 程:(1)直 接 开 平 方 法:4(t-3)2=9(2t-3)2(2)配 方 法:2X2-7XW=0(3)公 式 法:3x2+5(2x+l)=0(4)因 式 分 解 法:3(x-5)2=2(5-x)(5)abx2-(a2+b2)x+ab=0(ab/O)(6)用 配 方 法 求 最 值:6x2-x-1261.解 下 列 关 于 x 的 方 程:(1)ax+x=2(x-2)(awl)(2)bx2=x2+l(bl)62.解 方 程:1 一 2尤+36x+18X2-2+1=063.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方
20、 程“+1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根.(1)求 实 数 的 取 值 范 围;(2)若 原 方 程 的 两 个 实 数 根 分 别 为 玉,x2,且 满 足+同=2 中 2-1 5,求 机 的 值.64.解 方 程:(x+l)2-2(x+1)=365.阅 读 下 面 的 解 题 过 程,求 丁-10y+30的 最 小 值.解:y2-10y+30=y2-10y+25+5=(y2-i(),+25)+5=(y-5+5,W(y-5)2 0,即(y-5)2最 小 值 是 0;/.I-10+30的 最 小 值 是 5依 照 上 面 解 答 过 程,(1)求 病+2,“+2020的 最 小
21、值;(2)求 4 r+2x的 最 大 值.66.阅 读 下 面 材 料:材 料 一:分 解 因 式 是 将 一 个 多 项 式 化 为 若 干 个 整 式 积 的 形 式 的 变 形,“十 字 相 乘 法”可 把 某 些 二 次 三 项 式 分 解 为 两 个 一 次 式 的 乘 积,具 体 做 法 如 下:对 关 于,)的 二 次 三 项 式 ax2+bxy+cy2,如 图 1,将/项 系 数 a=4 外,作 为 第 一 列,项 系 数 c=q-c?,作 为 第 二 列,若。心+小。恰 好 等 于 孙 项 的 系 数 人,那 么 依 2+g+C:/可 直 接 分 解 因 式 为:ax2+bx
22、y+cy2=(a1x+cl)(tz2x+c2y)示 例 1:分 解 因 式:x2+5xy+6y2解:如 图 2,其 中 1=1x1,6=2x3,而 5=lx3+lx2;x1+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);示 例 2:分 解 因 式:x2-4xy-12y2.解:如 图 3,其 中 1=1x1,-12=6x2 而-4=1 x 2+1 x(-6);X2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y);材 料 二:关 于 X,的 二 次 多 项 式 依 2+g+4+公+a+/也 可 以 用,十 字 相 乘 法,分 解 为 两 个 一 次 式 的 乘 积.如 图 4,将。=4 4 作 为 一 列
23、,c=C G 作 为 第 二 列,/=/力 作 为 第 三 列,若 g+a2ci=b,aj2+a2f=d,cj2+c2fx=e,即 第 列 2 列,第 1、3 列 和 第 2、3列 都 满 足 十 字 相 乘 规 则,则 原 式 分 解 因 式 的 结 果 为:ax2+bxy+cy+dx+ey+f=(qx+qy+工 X&x+jy+力);示 例 3:分 解 因 式:x2-4xy+3y2-2x+8y-3.解:如 图 5,其 中 1=1x1,3=(1)x(3),-3=(-3)x1;满 足-4=lx(-3)+lx(1),-2=1x(-3)+1 x 1,8=(-3)x(-3)+(-l)xl;_ 4-xy
24、+3y 2x+8y _ 3(%y _ 3)(x _ 3y+1)请 根 据 上 述 材 料,完 成 下 列 问 题:(1)分 解 因 式:%2+3x+2-;x2-+6y2+x+2y-20=;(2)若 x,机 均 为 整 数,且 关 于 x,的 二 次 多 项 式 f+孙 一 6y2-2彳+叼-120可 用 十 字 相 乘 法”分 解 为 两 个 一 次 式 的 乘 积,求 出”的 值,并 求 出 关 于 8,丁 的 方 程 丁+孙 一 6/一 2%+根,-120=-1的 整 数 解.67.设 机 是 不 小 于-1的 实 数,使 得 关 于 的 方 程 f+2(加 一 2)%+加 2-3加+3=
25、0有 两 个 实 数 根 Xi,w.(1)若 工,+尤 22=2,求?的 值;(2)代 数 式-+:一 一 有 无 最 大 值?若 有,请 求 出 最 大 值:若 没 有,请 说 明 理 由.一 X1 1-J C268.已 知 关 于 x 的 二 次 方 程+4=0.(1)。为 何 值 时,方 程 有 两 个 不 同 的 正 根;(2)。为 何 值 时,方 程 只 有 一 个 正 根;69.已 知 方 程(a-x)2=a(x?+x+a)-8a+16是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程.(1)求。的 取 值 范 围;(2)若 该 方 程 的 一 次 项 系 数 为 0,求 此 方 程 的
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- 一元 二次方程 培优篇 100 专项 练习 2021 2022 学年 九年级 数学 上册 基础知识 北师大
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