全国重点大学自主招生试题.pdf
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1、一、选择题(本题共15分,每小题3 分.在每小题给出的4 个选项中,只有一项正确,把所选项的字母填在括号内)1.若今天是星期二,则 3 8 天之后是()A.星期四 B.星期三 C.星期二 D.星期一2.用 13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T 作拼字游戏,若字母的各种排列是随机的,恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()48 216 1728 8A.B.C.D.13!13!13!13!3.方程cosA-siRr+sinxum+l有实数解,则实数团的取值范围是()A.m-3 C.m-1 D.-3 m 0 hA.-2 B.2 C.-4 D.4、填 空 题(本题
2、共24分,每小题3 分)1.设Ax)的原函数是4+1,则 f f(2 x)d x=_.2.jr 1 1设 x e(0,),则函数(sin2 x+)(cos2 x+)的最小值是_.2sin-x cos-x3.方程3-16*+2 8F=5-36*的解x=_.4.向量1=7+2 在向量B=37+4 上的投影Q%=_.5.函数y=2x+3的单调增加区间是_.6.7.8.两个等差数列200,203,2 0 6,和 50,54,58都 有 100项,它们共同的项的个数是_.方程7 f-(k+13)x+&2J:-2=0 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是_.将 3 个相同的球放到4
3、个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是_.三、证明与计算(本 题 61分)1.(6 分)已知正数列。1,2,。,且对大于1 的 有+4 +。=!九,aa2 tan 试证:4,做,。“中至少有一个小于1.2.(10分)设 3 次多项式/)满 足:改+2)=*x),购=1,式3)=4,试求人x).y+2 +3.(8 分)求极限 l i m-(p0).“fo o 14.(1 0 分)设/(x)=r2+bx 4-(?X 0在 x=0 处可导,且原点到府)中直线的距离为一i,原点到段)中lx+m,x 0)5.(8 分)证明不
4、等式:1 4 V?7 +JC O S X4 2,,%0,-.26.(8 分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射,谁先2命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率.7.(1 1 分)如图所示,设曲线y =上 的 点 与 x 轴上的点顺次X构 成 等 腰 直 角 三 角 形 为 A,ZU归2%,直角顶点在曲线 =!上.试 求 4 的坐标表达式,并说明这些三角形X的面积之和是否存在.复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)一、填空题(每小题10分,共60分)1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,第 N组含“个数,即 1
5、;2,3;4,5,6;.令 斯为第组数之和,贝.c 2 2/兀、.2/兀、2.sina +sin-(a +)+sin(a )=.3.lim(H +2)logo(+2)2(+1)log2(/i+l)+/?log2 n=.4 .已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于6 0 度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成6 0 度角,则两对角面面积之比为.5 .正 实 数 满 足 关 系 式/_盯+4=0,又若烂1,则),的最小值为.6 .列火车长5 0 0 米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这
6、时正在离站台10 0 0 米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了 米.二、解答题(每小题15分,共90分)1.数列 斯 适合递推式斯+i=3%+4,又。|=1,求数列前项和S”.2 .求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明.3.正六棱锥的高等于心 相邻侧面的两面角等于2a rcsinL(3后-指),2求该棱锥的体积.(cos =-(V 2+V6)12 44 .设 Z|,Z 2,Z 3,Z 4 是复平面上单位圆上的四点,若 Z+Z 2+Z 3+Z 4=0.求证:这四个点组成一个矩形.5.设(1 +四)=%
7、+先 四,其中%,%为整数,求“T O O时,上.的极限.6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过1.问:半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点.请证明你的结论.2000年交大联读班试题1.直线y=a x+h关于y=-x的对称直线为2.2知 a,b,c 是 A8C 的 三 边,al,b0),点A坐标为(-;,()抛物线在P点的切线与),轴及直线PA夹角相等,求 点P的坐标。15.在%中,=4,a“=a,-+6,求证:旧一3|l o g2/的解集是 o3 .直线2 x 7 y +8 =O 与 2 x 7 y 6 =0间的距离是。4 .如果(3 +x)的展开式的系数和是(1 +),)的展开式
8、的系数和的5 1 2 倍,那么自然数与加的关系为 o5 .椭圆:一-一的焦距是 o4-2 c o s。6 .己知4 x-3 y-5 =0,那么(x 炉+(y-3 丫的最小值为。7 .与正实轴夹角为a r c s i n(s i n 3)的直线的斜率记为3则 a r c t a n 女=(结果用数值表示)8 .从个人中选出机名正式代表与若干名非正式代表,其中非正式代表至少1 名且名额不限,则共有 种选法(m/-(%)B./(x)=工2-5了 +2与=/+法+D.y =/(x +a +b)1 8.设有四个命题:两条直线无公共点,是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件;一条直线垂直于一个平面内无数
9、条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件;空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。是 平 面a外的两条直线,月 一 a/a,则a 匕是匕a的必要而不充分条件,其中真命题的个 数 是()A.3 B.2 C.1 D.01 9.集 合4 3各有四个元素,A CI 8有一个元素,C C I A U B,集合C含有三个元素,目其中至少有一个A的元素,符合上述条件的集合C的 个 数 是()A.55 B.52 C.3 4 D.3 52 0 .全面积为定值万/(其中。()的圆锥中,体积的最大值为()A.2万。3 B.立C.no D.赵-兀(3 1 2 6 62 1 .已知:si
10、 n a +si n 尸=a,cos a+cos J3=a+,求 si n(a +尸)及 cos(a +0)。2 2 .设复数q,马满足:同=|a +Z2 ,条2=。(1 +/),其中i是虚数单位,a是非零实数,求-z-2 o42 3 .已 知 椭 圆 当“+丁=1与 抛 物 线 丁=;%在第一象限内有两个公共点A8,线段A 8的中点M在抛物线上,求 八42 4.设数列出 满足仇=1,bn0,(=2,3/-)其前项乘积7;=(广4)”(=1,2-),证明 低 是等比数列。求 b,中所有不同两项的乘积之和。2 5.己知棱柱A百G的底面是等腰三角形,AB=A C,上底面的项点在下底面的射影 是A
11、8 C的外接圆圆心,设BC=a,Z A,AB=-,棱柱的侧面积为2 6 a?。3证明:侧面4 A B 片和&AC G 都是菱形,8/C G 是矩形。求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。求棱柱的体积。2 6.在直角坐标系中,。是原点,A,8 是第一象限内的点,并且A在直线y =(t a n 6)x 上(其中 夕/工 二 ),|。川=7二 一,8 是双曲线f y 2=上 使 0 A B 的面积最小的点,求:U 2)1 1 0 cos。当 夕 取 中 什 么 值 时,0 A 8 的面积最大,最大值是多少?2001年交大联读班数学试卷1.数N=T2x58的位数是-2.2g2 log3(log4 x)=
12、log3log4(log,y)=log4 log2(log3 z)=0求x+y+z-o3.p=log83,q=log35 则用 p,q表不lg5=。A c i n,2/0 ,n n i.COS 2 a4.2sma =sin +cos,sirr/?=sin6cos。,求-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。cos 2/75.x e 0,y,求/(x)=cosx+xsinx 的最小值为。6.有一盒大小相同的球,它们既可排成正方形,又可排成一个正三角形,且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球,球数为 01007.数列 1,3,2,中,all+2=an+1-a
13、n,求。i=i8.(l+2 x-/)4展开式中/系数为。9.一人排版,有三角形的一个角,大小为6 0 0,角的两边一边长X,一边长9C M,排版时把长X的那边错排成X+1长,但发现角和对边长度没变,则=。10.掷三粒骰子,三个朝上点恰成等差列(d=l)的概率为 o11.(a +l)(/?+l)=2,则 a rcta n a +a rcta n/=()12.A.-B.-C.-D.-2 3 4 613.某人向正东走xh”,再左转150朝新方向走了 3k m,结果离出发点百 加,则 犬=()A.6 B.26 C.3 D.不确定11 +2五1 +2正八 714.1+22=7)1 /1、T /|V1|A
14、.-1-232 B.1-232 C.1 232D-11一2我715.r0,S=(x,y)(x ff+J w/,贝|j()A.V n(0,0)史 S B.S 的面积 0,万)C.对V/25,第一象限 D.Vf,S的圆心在 =无上16.一个圆盘被2 条等间隔半径与一条割线所分割,则不交叠区域最多有()个A.2n+2 B.3-1 C.3n D.3 +14017.Zcos(45+9(R)=()k=0A.与 B.y-72 C.-=(21-20/)D.-(21+20z)18.对 定义 x*y=3-,则(*)满 足()x+yA.交换律 B.结合律 C.都不 D.都可19.60三90三 125(modN),贝
15、Ll81 三()(mod?7)A.3 B.4 C.5 D.620./(x)=x2+2x+2,在+上最小值为 g ),求g(f)。-(x6+X-6)-221.x eR+,求=-的最小值。22.工 卜)=,+G)=f /;(x)求上8 (%)23.2y=x2-6xcosz-9sin2 r+8sinr+9(z G R.t 为参数)求顶点轨迹,求在y=12上截得最大弦长的抛物线及其长。24.4为递增数列,=1,出=4,在y=4上对应为疯),以。匕,。匕+1与曲线 上出AE围成面积为S,,若6为4=的等比数列,求和!吧%。5f=l T 82001年上海交通大学联读班数学试题一、填 空 题(本题共40分,
16、每小题4 分)1 .数N=2 x 5 8的位数是2 .若 1 0 g 2 1 0 g 3(1 0 g 4 X)=1 0 g 3 1 0 g 4(1 0 g 2 y)=1 0 g 4 b g 2(1 0 g 3 Z)=0,则 X+),+Z=.3 .若 l o g 2 3=p,l o g 3 5=q,则用 p 和 q 表示 l o g i o 5 为.4 .设s i n a和s i n夕分别是s i n。与c o s加勺算术平均和几何平均,则cos20,b0,若(a+l)S+l)=2,贝II a rc ta na+a rc ta nb=()A.71B.JtTc.714D.7t61 2 .一个人向正
17、东方向走x公里,他向左转1 5 0。后朝新方向走了 3公里,结果他离出发点6公里,则x是()A.V 3 B,2 7 3 C.3_ _ i _ 2 _ _1 _1 11 3 .(1 +2-)(1 +2-而)(1 +2 )(1 +2v)(1 +2 力=D.不能确定()1 _2 _A.-(1-2 32y B.(1 一2 3 2尸 C.1-2 3 2 D.一(1 2 3 2)2 21 4 .设用表示金的最大整数,其中仑0且$=(不 丫)1(-7)2+丫2%7=1/,则()A.对于任何f,点(0,0)不属于S B.S的面积介于0 和万之间C.对于所有的仑5,S被包含在第一象限 D.对于任何f,S的圆心在
18、直线y=x 上1 5 .若一个圆盘被2”(0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔,则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是()A.2n+2 B.3/i-l C.3n D.3 1+11 6 .若 =-1,贝IJ 8$4 5。+沁0$1 3 5。+.+,%05(4 5+9 0)。+.+泮8$3 6 4 5。=()1A-7 22 1 V 2B.2D.(2 1 +2 0/)1 7 .若对于正实数x和y定义x*y=-x+yA.*”是可以交换的,但不可以结合 B.“*”是可以结合的,但不可以交换C.“*“既不可以交换,也不可以结合 D.是可以交换和结合的1 8 .两个或两个以上的整数除以N(N为整数,N
19、 1),若所得的余数相同且都是非负数,则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余.若6 9,9 0和1 2 5对于某个N是同余的,则对于同样的N,8 1同余于三、计 算 题(本题共7 8分)1 9 .(本 题1 0分)已知函数底)=f+2 x+2,的最小值是g(t).试写出g(f)的解析表达式.2 0.(本 题1 2分)设对于x 0,/(x)(x+_)6-,+)-2,求人外的最小值.(X +尸 +/X X2x-2 1 .(本 题1 6分)已知函数力(x)=对于=1,2,3,.定义加|(尤)=/皿(尤).若方5(x)f(x),则为8(x)的解析表达式是什么?2 2 .(本题2 0分)已知抛物线族2
20、 y=x 2-6x c o s/-9 s i n 2 r+8s i n f+9,其中参数f C R.(1)求抛物线顶点的轨迹方程;(2)求在直线y=1 2上截得最大弦长的抛物线及最大弦长.2 3 .(本题2 0分)设*,为递增数列,x i =l,冷=4,在曲线y =上与之对应的点列为尸1(1)岛(4,2),鸟(刍,嘉),,4,后),且以。为原 点,由。匕、。尸“+1与曲线尸 尸“+|所围成部4 9 -分的面积为S“,若 S“(dN)是公比为w 的等比数列,图形X X*P“+1P”的面积为 0,3 -时),试求 S 1+S 2+S+和 li m Xn 复旦大学2001年选拔生考试数学试题一、填空
21、(每小题5分,共45分)1.s i ar+s i n 5-0,贝 c o s e x s i n 2尸.2.平面即 必 成a的二面角,平面为中的椭圆在平面中的射影是圆,那么椭圆短轴与长轴之比为3.(x2+Z r+2)(/-2 y+2)=l,贝x+y=.4.电话号码0,1不能是首位,则本市电话号码从7位升到8位,使得电话号码资源增加5.2 002=83 73+826!2+8|+0-0%0,。1,。2刈3 s 7 正整数,则 ao=.6.的常数项为.7.li r a 服(Jr +1-品)=.”一 88.空间两平面a,夕,是否一定存在一个平面均与平面a,/?垂直?.9.在ZU8 C中,c o s(2
22、 4-C)=c o s(2 C-8),则此三角形的形状是.二、解答题(共87分)1.求解:c o s 3 x tan 5 x=s i n 7x.2 .数列3,3-lg 2,3-(-l)lg 2.问当为几时,前项的和最大?3 .求证:xR 时,1X-1I4|X3-1I.4 .a为何值时,方 程 史+-X)=lo g 2(军一 1)有解?只有一解?1g 2 1g 2 6 25 .一艘船向西以每小时10公里的速度航行,在它的西南方向有一台风中心正以每小时2 0公里速度向正北方向移动,船与台风中心距离3 00米,在台风中心周围100米处将受到影响,问此船航行受台风影响的时间段长度?6.v.1 41 一
23、2 y 3=1的所有整数解(x,y),试证明:I 2 3|-y y2002复旦基地班数学考题1.已知:sinx+siny=0贝Ucos2x-cos2 y=。2.x,y e R 9(X?+2x+2)(;/-2 y +2)=l,贝 ljx+y=。3.空间两平面/,%,%与,%均垂直?(请 填“存在”或“不存在”)4.从奇偶性看:函数y=ln(x+7 7石)是 05.平面外,八成a角,一椭圆EC外在 心内射影为一一个圆,求椭圆长轴与短轴之比_ 06.2002=873+8,2+841+&7,q eN),%=。7.ABC中,cos(2A-C)=co s(2 fi-C),贝IABC为。8.若0,1作为特殊
24、号码不能放在首位,则电话号码由7位升至8位后,理论上可以增加_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _电话资源。9.中不含x的项为 o10.解方程:cos 3x-ta n 5x=sin 7x11.一艘船以匕=106/?向西行驶,在西南方向300Am处有一台风中心,周围1 0 0为暴雨区,且以为=20而1/?向北移动,问该船遭遇暴雨的时间段长度。12.已知:0.3010 1g2 y=/+4 x +5分别有2,1,0 个交点,则(。/)=o3.若3=4=6,贝 i j L+_L_J.=。a 2b c4.若2-2一 =2,贝 Ij8=o7.正实数x,y,z满足f +y2+z 2=l,则!+与的最
25、小值是x y z8.一个圆内接四边形A BCD,已知AB=4,BC=8,CD=9,D A=7,贝 ijcos A=o9.实 数 满 足 aj l-J +仄/1_4=匕 贝汁+从=010.1 2+_自 的 展 开 式 中/的系数为 o11.方程力2一 了 2=g _ 凶,a ,则方程有 个实数解。12.ABC三边长a,A,c满 足 匕 4 c,b=n,(a,b,ceN*),则不同的三角形有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _个。13.掷 3 个骰子,场后点数之和为9 的倍数的概率为 014.若不等式04x?+a x+5 4 4 只有唯一实数解,则。=。15.有两个两位数,它们的差是5 6,
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