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1、一、填空题(1)【答案】0.【解】lim jc Inz-*o+cos(1993年数学(二)真题解析In X Xlim-=lim-=lim(g)=0.r-*+_ 工-。+_ _ z-*()+z x22 I 2xi x 2十y丿十e y(2)【答案】o o/2 i 2、2xy 2j/cos(h+jy)【解】sin(jr 2+3/2)+eJ xy 2=0两边对x求导得 cos(j:2+/)(2无+2y 譽)dyd72xy字=0,解得ax2jc cos(j:2+3/2)+eJ y 2一 2j/cos(j:2+J/)(3)【答案】【解】令FQ)=2 Jz=0得工当0 时,FQ)0;当工+时,FQ)0,故
2、FQ)的单调减区间为(02(4)【答案】+Cv cos X【解】tan xdrV cos xI cos 2 x d(cos j?)=.+C.J ycos x(5)【答案】y(l+2)Eln(l+2)-1.【解】由题意得字=zlnd+X),积分得 djrx ln(1+j?2)dj7=ln(1+1 Cr3 1 xx2 ln(+g$)-djc=JC 2 ln(+z)jc-r2 J 1+工2 2 1+XAx?ln(l+2)-x2 ln(1+工$)+C 9因为曲线经过点(o,夕),所以 C=-,故,=*(工+l)Eln(l+jc2)1二、选择题(1)【答案】(D).【解】取工”=t lim 4sin=l
3、im(2n7r)2 sin 2兀兀=0,2/7 7T”f8 工”x”f8取夕”=-9 lim-y sin=lim2“+今一y”(2“+守sin I 2n7r+T)=+3/1丄74y=X2)d(j?2)则当一。时,变量宁n|无界但不是无穷大,应选(D).1 22(2)【答案】(A)._ 工?x1 2 11 I T=j:tan x2|o解 lim/(J:)=lim-=2,lim/(j;)=lim-=2,Ll_ Ll-Z _ 1 一+L1+工 _ 1因为/(I 0)工/(1+0),所以/Q)在工=1处不连续,应选(A).(3)【答案】(D).【解】当 0 1 时,F(_r)=t2 At=工3-;J1
4、 3 3当 1 WhW2 时,F(z)=J ldz=jc 1I x3-,0 z V 1,则 FQ)=3 3 应选(D).J7 1,1 W 工 W 2.(4)【答案】(B).【解】由厂(工)=-=0得工=e,x efJ)=-,因为/(e)=-09T e因为lim/(j:)=lim/(jt)=所以函数fU 在(0,+)只有两个零点,应选(E).o+(5)【答案】(C).【解】因为/(工)为奇函数,所以十(工)为偶函数,厂(工)为奇函数,故/(x)在(-oo,0)内有 厂(工)0,厂(工)dxA2 v-2=2cos/(x 2)/(j;2)4x2 sin/(j:2)/2(x2)+4x2cosE/(x
5、2)/,(x2).(2)lim x(Jx2 100+z)=lim100zZz 2+100 3C(3)fjc,Ct jc-dr=-;1 十 cos 2x J o 2cos x1 fT tan x dr2 J oT+Tln cosx|o7T8*Jo(1+h)3 Jo(1+h)3 Jo(z+1)2 Jo(r+l)3=_ 厂+1厂=丄X+1 Io 2(z+1)2|。2-(5)(j;2 1)d+(2xy cos jc)djr=0 化为2工dr x2 dy 一 cos x dx dy=0,艮卩 d(j;2 y sin jc 一 y)=0,解得原方程的通解为jc2y sm x y=C,由(0)=1得C=1,
6、故特解为y=-2-23 四、【解】显然入1=2,入2=l,a=3,0=2,y r+2y=ye x 的特解为 y 0 Cx)=xe,代入得 y=1,则微分方程为y r,3“+2y=于,该方程的通解为J;=Cie2j+C2eJ+ex(C1,C2为任意常数).五、【解】取_jc jjc+djr CZ 0,1,dV=2兀(2 x)(j/2 j/)dr=2 k(2 工)(J 2 工无?工)cLr,所求的体积为V=2tt I(2 j:)(J2 工工 2=2tt I(2 x)J2 工 芒 dx-兀J o Jo 3=27:1-(工-)J(工 一 I)d(H-1)-7To=2tto-4(1 X)v 1 X Ax
7、-7T-1 3X ri-42k(1+0 a/1 Z2 At-7TJo 3sin u=2托2(1+sin zz)(1 sin 2 w)du o4TK=2tcy 2 3 4(1+sin u sin 2 u sin 3 u)du-兀o 37T2T2 一亍.六、【解】设圆锥底面圆的半径为R,如右图所示.SC=h,OC=OD=r BC=R.闵-=-9 故-=-9SC SD h 丿-rh从而R=于是圆锥的体积为Jh1 2/ir2 h 2V(/i)=-R2h=-(2r V h V+).3 3 n 一 Lr2 i 2 _ a i令 vf(h)=畔-7=0,得 b 4r,h=0(舍去).3(/i-2r)2由于圆锥的最小体积一定存在,且力=4r是V(A)在(2r,+*)内的唯一驻点,所以当人=时,V取最小值,最小值为VS=”;4几=87 七、【证明】(a+工)“0.令 f(工)=(a+z)lna aln(a+z),且/(0)=0,因为厂(乂)=In a 0(x 0),所以f()在(0,+oo)内单调递增,a 十无从而当H 0时(工)f(0)=0,即(a+x)a aa+x 八、【证明】由拉格朗日中值定理得f(.x)=f(.T)/(0)=厂($)09 其中 OVWVz,则|J f(工)dz|wj|/(x)|dx=|/*()xdxWM j=嗒J o 224
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