2002数学一解析.pdf
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1、2002年数学(一)真题解析、填空题(1)【答案】1.r+djr 厂d(ln x)1Je X In 2 JCe In 2 J?In x2=(a+4)(a 2)2=0,得2=4 或a=2.(2)【答案】一2.【解】当工=0时,y=0.e v+x 2=0 两边对 z 求导,得 e 3+6y+6工学十 2工=0,则“(0)=0.dr djrey+6y+6_z+2h=0 两边对工 求导,djr dz得 e(H7)2+兰 j+12+6x|+2=0,于是(0)=2.(3)【答案】$=行工+1.【解】方法一 令:/=p,则=/字,方程_yj/+y,2=0化为yp r+p 7=.o-y ay因为p H 0,所
2、以学+丄/=0,解得p=Ce y=.ay y yi i i i r由夕(0)=l,j/(0)=g,得Cl=,于是yy f=,解得+C.由 y(0)=l,得0=*,故;y=丿工+1.方法二 由 yy+=0,得()=0,解得 yy f=CX.由 y(0)=l,j/(0)=,得 Ci=*,艮卩阳=+或(j/)=l,解得 y 2=x+C2.由(o)=1,得c 2=i,故满足初始条件的特解为夕=ym.方法点评:本题考查可降阶的微分方程的求解.特定类型微分方程的求解可以用相应类型微分方程的解法求解,注意运用灵活简洁的方法,往往可使解题简单且正确率高.(4)【答案】2.【解】方法一2 2a 2,因为二次型经
3、过正交变换得标准形为f=6yl,2 a所以矩阵A的特征值为入1=6,入2=入3=0,由tr A=A,+A 2+A 3得a=2.方法二 因为二次型f经过正交变换化为f=63/,所以入1=6,入2=入3=0,于是|A|=0.a 2由 I A I=2 a2 2 a2/-422 当a=4时,A十-42-22 J入+4 2-2由丨花-A|=-2 入+4-2=A(A+6屮=。9得入=0,入 2 A 3=一6,矛盾,-2-2 入+4故=*.当厶=16 4X4时,方程3+4,+X=0无实根.由方程3+4,+X=0无实根的概率为+,得P X 4=*,于是=4.方法点评:若XNO,/),常用知识点有:(1)PX
4、W=PX=*;X fJL(2)-氏N(O,1);o(3)Pa Xb(牛旳(分勺;(4)(a)=1(a).二、选择题(6)【答案】(A).【解】若fCx,y)两个偏导数连续,则 2,y)一定可微,反之不对;若可微,则/(工,夕)连续且可偏导,反之不对,应选(A).方法点评:二元函数/(jt,y)在一点处的连续性、可偏导性、可微性、一阶连续可偏导性之 间的关系图如下:一阶连续可偏导(7)【答案】(C).【解】由lim=1,得lira 丄=0,w-*U n-*U n丄+况1丄+(1)宀U 1 Un+1因为 limS=f 8 It 收敛,(A),(D)不对;丄+丄U n U 卄 1S”由 lim 1
5、177+18 h 8 发散,所以工一与丫-都发散,”=1 Un n=l”+1因为工右与乞丄n=H n=l ri 丄条件收敛,应选(C).U(8)【答案】(B).【解】若lim)工0,不妨设lim ff(x)=A 0.J-4-00 工一*+A A A取=y 0,则存在X 0,当工 X时,|广(乂)一 A I V,于是/&)y.当 a X 时,/()-/(X)=y(W)Q X),其中 g G(X,H),A 则于(工)f(X)+-Cx X),因为limA于(X)+Cz X)=+,所以lim f(x)=+,与/(j?)有界矛盾,应选(E).(9)【答案】(B).【解】/a 11因为A=如131a 12
6、 Q 13 Q 22 Q 23Q 32 a 33因为r(A)=r(A)=2 0,因为*-|-oo/i(jr)/2(力=-|-ooe _2j dxo=*H1,所以/i Cx)f2)不是某个随机变量的密度函数,(E)不对;因为F(+8)+尸2(+*)=2工1,所以F|Q)+F2(h)不是某个随机变量的分布函数,(C)不对,应选(D).方法二 因为F(_z),F2(h)为两个随机变量的分布函数,所以0 W FQ)冬1,0F2()1,Fi(_z),F2(h)单调不减,从(工),尸2(工)右连续且F1(00)=F?()=0,F(+)F+)=1,于是 F(工)尸2(工)满足:0 F1Q)F2(工)1,Fi
7、(_z)F2(h)单调不减,F1(JT)F2(JC)右连续且 F1(-)F2(-oo)=0,F1(+*)F2(+*)=1,故 Fi(h)F2(h)为某个随机变 量的分布函数,应选(D).三、解答题(11)解】将力=0 代入 afh)+”(2/i)f(0)=o(/z)中,得(a+b l)f(0)=0.由/(0)工0,得 a+b=l;由(A)+6/(2A)-f(0)=o(h),得+bf2h)_f=恤=a-*o h A-0 ha/(A)+6/C2A)-/(0)a/(A)+6/(2A)-(a+6)/(0)nJ lim-:-=lim-h-o h ao h=alim Z2)+2Mim/0 h 2h=(a+
8、26)/70),所以(a+2厂厂(0)=0,由厂(0)H 0得a 十2b=0,于是f 十一.a+2b=0.1 1=1 HO得方程组 由1 2a+6=1,有唯一解,故存在唯一一组a=2,6=1,使得a+2b=0(12)解】*djraf(A)+bf(2h)一/(0)=o(A).arC,anJ:-/亠-aretan 2.1e d=e d7arctan x 9e _z dt0=1,x=00因为曲线y=/(-r)与夕=arctan x2曲在(0,0)处切线相同,所以y(o)=1且/(o)=o.所以切线方程为y=工02ffnMlimn/()=72/21im-=21im8 Z f 8(I)-Z(o)-=2/
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