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1、2023 年全国统一高考数学试卷文科课标一、选择题共 12 小题.1集合 Ax|x|3,xZ,Bx|x|1,xZ,则 ABA 21i4B3,2,2,3 C2,0,2D2,21212A4B4C4iD4i 3如图,将钢琴上的 12 个键依次记为 a ,a ,a设 1ijk12假设 kj3 且ji4,则 a ,a ,a 为原位大三和弦;假设 kj4 且 ji3,则称 a ,a ,a为原位小ijkijk三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A5B8C10D15 4在冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200 份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订
2、单积压为解决困难,很多志愿者踊跃报名参与配货工作该超市某日积压500 份订单未配货,估量其次天的订单超过1600 份的概率为 0.05志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货,为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95,则至少需要志愿者 AB2+C 2D25单位向量 , 的夹角为 60,则在以下向量中,与 垂直的是A10 名B18 名C24 名D32 名6记 S 为等比数列a 的前 n 项和假设 a a 12,a a 24,则nn5364A2n1B221nC22n1D21n17. 执行如图的程序框图,假设输入的 k0,a0,则输出的 k 为ABCDA2B3C4D5 8假设过点
3、2,1的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2xy30 的距离为9设 O 为坐标原点,直线 xa 与双曲线 C:1a0,b0的两条渐近线分别交于 D,E 两点假设ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为10设函数 fxx3,则 fxA4B8C16D3211ABC 是面积为的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上假设球 O 的外表A是奇函数,且在0,+单调递增B是奇函数,且在0,+单调递减C是偶函数,且在0,+单调递增D是偶函数,且在0,+单调递减ABC1D积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为12假设 2x2y3x3y,则Alnyx+10Blnyx+10Cln|xy|0Dln|xy|
4、013假设sinx ,则 cos2x二、填空题:此题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。15假设 x,y 满足约束条件则 zx+2y 的最大值是nn1261014记 S 为等差数列a 的前 n 项和假设 a 2,a +a 2,则 S16设有以下四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面p3:假设空间两条直线不相交,则这两条直线平行p4:假设直线 l平面,直线 m平面,则 ml 则下述命题中全部真命题的序号是14p p12p p23p p34p p17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos2+A+cosA 三
5、、解答题:共 70 分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必需作答。第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答。一必考题:共60 分。2假设 bca,证明:ABC 是直角三角形1求 A;18某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据xi,yii1,2,20,其中 xi算得x 60,iy 1200,ix 280,iy 29000,ix i和 yi 分别表示第 i 个样区的植物掩盖面积单位:
6、公顷和这种野生动物的数量,并计 800yi1求该地区这种野生动物数量的估量值这种野生动物数量的估量值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数;2求样本x ,y i1,2,20的相关系数准确到 0.01;ii附:相关系数 r,1.4143依据现有统计资料,各地块间植物掩盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估量,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明 理由19椭圆 C1:+1ab0的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心且|CD| |AB|与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,(1
7、) 求 C1 的离心率;(2) 假设 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12,求 C1 与 C2 的标准方程20. 如图,三棱柱ABCA1B1C1 的底面是正三角形,侧面BB1C1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B1C1 的中点,P 为 AM 上一点过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E,交 AC 于 F2设 O 为A1B1C1 的中心假设 AOAB6,AO平面 EB1C1F,且MPN,求1证明:AA1MN,且平面 A1AMN平面 EB1C1F;四棱锥 BEB1C1F 的体积21. 函数 fx2lnx+11假设 fx2x+c,求 c 的取值范围;2设 a0,争论函数 gx的单
8、调性22曲线 C1,C 的参数方程分别为 C :21为参数,C :2二选考题:共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。假设多做,则按所做第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程t 为参数12(1) 将 C ,C 的参数方程化为一般方程;12(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设C ,C 的交点为 P,求圆心在极轴上,且经过极点和 P 的圆的极坐标方程选修 4-5:不等式选讲23函数 fx|xa2|+|x2a+1|(1) 当 a2 时,求不等式 fx4 的解集;(2) 假设 fx4,求 a 的取值范围参考答案一、选择题:此题共12 小题,每题5 分,共60 分。
9、在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。1集合 Ax|x|3,xZ,Bx|x|1,xZ,则 ABAB3,2,2,3 C2,0,2D2,2【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB解:集合 Ax|x|3,xZx|3x3,xZ2,1,1,2,Bx|x|1,xZx|x1 或 x1,xZ,AB2,2 应选:D21i4A4B4C4iD4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:1i41i222i24应选:A12123. 如图,将钢琴上的 12 个键依次记为 a ,a ,a设 1ijk12假设 kj3 且ji4,则 a ,a ,a 为原位大三和弦;假设 kj4 且 ji3,则
10、称 a ,a ,a为原位小ijkijk三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A5B8C10D15【分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义,运用列举法,即可得到所求和解:假设 kj3 且 ji4,则 a ,a ,a 为原位大三和弦,ijk即有 i1,j5,k8;i2,j6,k9;i3,j7,k10;i4,j8,k11;i对于 B,2+2+2 +12,所以2+与 不垂直;5,j9,k12,共 5 个;ijk假设 kj4 且 ji3,则称 a ,a ,a 为原位小三和弦,可得 i1,j4,k8;i2,j5,k9;i3,j6,k10;i4,j7,k11;i5,j8,k
11、12,共 5 个, 总计 10 个应选:C4. 在冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200 份订单的配货, 由于订单量大幅增加,导致订单积压为解决困难,很多志愿者踊跃报名参与配货工作已 知该超市某日积压500 份订单未配货,估量其次天的订单超过1600 份的概率为 0.05志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货,为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95,则至少需要志愿者【分析】由题意可得至少需要志愿者为18 名A10 名B18 名C24 名D32 名解:其次天的订单超过 1600 份的概率为 0.05,就按 1600 份计算,由于公司可以完成配货 1
12、200 份订单,则至少需要志愿者为18 名,其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95 就按 1200 份计算,5单位向量 , 的夹角为 60,则在以下向量中,与 垂直的是应选:BAB2+C 2D2解:单位向量|1, 11cos60 ,对于 A, +2 +2 +2 ,所以 +2与 不垂直;【分析】利用平面对量的数量积为 0,即可推断两向量是否垂直对于 C, 2 2 2 ,所以 2与 不垂直;对于 D,2 22 10,所以2 与 垂直应选:D6记 S 为等比数列a 的前 n 项和假设 a a 12,a a 24,则nn5364A2n1B221nC22n1D21n1【分析】依据等比数列
13、的通项公式求出首项和公比,再依据求和公式即可求出 解:设等比数列的公比为 q,53a a 12,6453a a qa a ,q2,a1q4a1q212,112a 12,Sn2n1,a 2n1,n1a 1,221n,应选:B7. 执行如图的程序框图,假设输入的 k0,a0,则输出的 k 为A2B3C4D5【分析】由中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环构造计算 a 的值并输出相应变量 k 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化状况,可得答案 解:模拟程序的运行,可得k0,a0执行循环体,a1,k1 执行循环体,a3,k2 执行循环体,a7,k3 执行循环体,a15,k4此时,满足推
14、断框内的条件 a10,退出循环,输出 k 的值为 4 应选:CABCD8. 假设过点2,1的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2xy30 的距离为 【分析】由设圆方程为xa2+ya2a2,2,1代入,能求出圆的方程, 再代入点到直线的距离公式即可解:由题意可得所求的圆在第一象限,设圆心为a,a,则半径为 a,a0 故圆的方程为xa2+ya2a2,再把点2,1代入,求得 a5 或 1, 故要求的圆的方程为x52+y5225 或x12+y121故圆心到直线2xy30 的距离d或d;故所求圆的圆心为5,5或1,1;9设 O 为坐标原点,直线 xa 与双曲线 C:1a0,b0的两条渐近线分应选:B别交于
15、 D,E 两点假设ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为A4B8C16D32解:由题意可得双曲线的渐近线方程为 y x,【分析】依据双曲线的渐近线方程求出点D,E 的坐标,依据面积求出ab8,再依据根本不等式即可求出分别将 xa,代入可得 yb, 即 Da,b,Ea,b,则 SODE a2bab8,c2a2+b22ab16,当且仅当 ab2时取等号,10设函数 fxx3,则 fxC 的焦距的最小值为 248, 应选:BA是奇函数,且在0,+单调递增B是奇函数,且在0,+单调递减C是偶函数,且在0,+单调递增D是偶函数,且在0,+单调递减解:由于 fxx3,则 fxx3+fx,即 fx为
16、奇函数,依据幂函数的性质可知,yx3 在0,+为增函数,故 y1在0,+为减函数,y2在0,+为增函数,所以当 x0 时,fxx3单调递增,【分析】先检验 fx与 fx的关系即可推断奇偶性,然后结合幂函数的性质可推断单调性11ABC 是面积为的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上假设球 O 的外表应选:AABC1D积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为解:由题意可知图形如图:ABC 是面积为的等边三角形,可得,【分析】画出图形,利用条件求三角形ABC 的外接圆的半径,然后求解 OO1 即可可得:AO1,ABBCAC3,球 O 的外表积为 16,外接球的半径为:4R216,解得 R2,
17、所以 O 到平面 ABC 的距离为:1应选:C12假设 2x2y3x3y,则Alnyx+10 Cln|xy|0Blnyx+10 Dln|xy|0【分析】由 2x2y3x3y,可得 2x3x2y3y,令 fx2x3x,则 fx在R 上单调递增,且 fxfy,结合函数的单调性可得 x,y 的大小关系,结合选项即可推断解:由 2x2y3x3y,可得 2x3x2y3y,令 fx2x3x,则 fx在R 上单调递增,且 fxfy, 所以 xy,即 yx0,由于 yx+11,故 lnyx+1ln10, 应选:A13假设sinx ,则 cos2x二、填空题:此题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分。解:s
18、inx ,cos2x12sin2x12 2 【分析】由利用二倍角公式化简所求即可计算得解故答案为: 14记 Sn 为等差数列an的前 n 项和假设 a12,a2+a62,则 S10 25【分析】由结合等差数的性质及求和公式即可直接求解 解:由于等差数列an中,a12,a2+a62a42,所以 a41,则 S1010a1102+451253da4a13,即 d115假设 x,y 满足约束条件则 zx+2y 的最大值是 8故答案为:25由 zx+2y 得 y x+z,【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z 的几何意义,即可得到结论 解:作出不等式组对应的平面区域如图:平移直线 y x+z 由图
19、象可知当直线 y x+z 经过点 A 时,直线 y x+z由,解得 A2,3,的截距最大, 此时 z 最大,此时 z2+238, 故答案为:816设有以下四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面 p3:假设空间两条直线不相交,则这两条直线平行 p4:假设直线 l平面,直线 m平面,则 ml则下述命题中全部真命题的序号是 p1p4p1p2p2p3p3p4【分析】依据空间中直线与直线,直线与平面的位置关系对四个命题分别推断真假即可得到答案解:设有以下四个命题: p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内依据平面确实定定理可得此命
20、题为真命题,p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面假设三点在一条直线上则有很多平面,此命题为假命题,p3:假设空间两条直线不相交,则这两条直线平行,也有可能异面的状况,此命题为假命题,p4:假设直线 l平面 ,直线 m平面 ,则 ml由线面垂直的定义可知,此命题为真命题;由复合命题的真假可推断p1p4 为真命题,p1p2 为假命题,p2p3 为真命题,p3p4 为真命题,故真命题的序号是:, 故答案为:,17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos2+A+cosA 三、解答题:共 70 分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必
21、需作答。第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答。一必考题:共60 分。2假设 bca,证明:ABC 是直角三角形1求 A;cosA+0,解方程得cosA ,结合范围 A0,可求 A 的值;【分析】1由利用诱导公式,同角三角函数根本关系式化简等式可得 sin2A2由利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求 sinB ,结合范围 B,可求 B,即可得证,解:1cos2+A+cosAsin2A+cosA1cos2A+cosA ,cos2AcosA+0,解得cosA ,A;2证明:bca,A,由正弦定理可得sinBsinCsinA ,sinBsinBsinBcosB sinB sinBcosBs
22、inBA0,B,B,B,可得 B,可得ABC 是直角三角形,得证算得x 60,iy 1200,ix 280,iy 29000,ix iiii18某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的 200 个地块,从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据x ,y i1,2,20,其中 x 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物掩盖面积单位:公顷和这种野生动物的数量,并计 800yi1求该地区这种野生动物数量的估量值这种野生动物数量的估量值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数;2求样本x ,y i1
23、,2,20的相关系数准确到 0.01;ii3依据现有统计资料,各地块间植物掩盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估量,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明 理由附:相关系数 r,1.414【分析】1由数据求得 20 个样区野生动物数量的平均数,乘以200 得答案;(2) 由直接利用相关系数公式求解;解:1由,(3) 由各地块间植物掩盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样20 个样区野生动物数量的平均数为60,2,该地区这种野生动物数量的估量值为6020012023;r;3更合理的抽样方法是分层抽样19椭圆 C1:+ 的右焦点 与抛物线的焦点重合, 的中
24、心1ab0FC2C1缘由是各地块间植物掩盖面积差异很大,为提高样本的代表性,应从植物掩盖面积不同的各地块间进展抽取且|CD| |AB|2与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C 于 C,D 两点,1(1) 求 C 的离心率;1212(2) 假设 C 的四个顶点到 C 的准线距离之和为 12,求 C 与 C 的标准方程值,再由|CD| |AB|,可得 a,b,c 的关系,由椭圆中,a,b,c 之间的关系求出椭圆【分析】1由题意设抛物线的方程,求出焦点坐标,再由题意切线弦长|CD|,|AB|的的离心率;2由椭圆的方程可得4 个顶点的坐标,及抛物线的准线方
25、程,进而求出4 个顶点到准线的距离,再由1的结论求出a,c 的值,又由椭圆中a,b,c 之间的关系求出 a,b, c 的值,进而求出椭圆及抛物线的方程解:1由题意设抛物线 C2 的方程为:y24cx,焦点坐标 F 为c,0,由于 ABx将 xc 代入椭圆 C1 的方程可得 y2b21,所以|y|,所以弦长|AB|,轴,将 xc 代入抛物线的方程可得 y24c2,所以|y|2c, 所以弦长|CD|4c,再由|CD| |AB|,可得 4c,即 3ac2b22a2c2,整理可得 2c2+3ac2a20,即 2e2+3e20,e0,1,所以解得 e ,所以 C1 的离心率为 ;所以由题意可得 2c+a
26、+c+ac12,即a+c6,而由1可得 ,所以解得:a4,2由椭圆的方程可得 4 个顶点的坐标分别为:a,0,0,b, 而抛物线的准线方程为:xc,所以 C1 的标准方程为:+1,C2 的标准方程为:y28xc2,所以 b2a2c216412,20. 如图,三棱柱ABCA1B1C1 的底面是正三角形,侧面BB1C1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B1C1 的中点,P 为 AM 上一点过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E,交 AC 于 F2设 O 为A1B1C1 的中心假设 AOAB6,AO平面 EB1C1F,且MPN,求1证明:AA1MN,且平面 A1AMN平面 EB1C1F;四棱锥
27、 BEB1C1F 的体积2利用体积转化法,可得MN,再分别求【分析】1先求出线线平行,可得线线垂直,即可求线面垂直,最终可得面面垂直;MN,即可求结论11【解答】证明:1由题意知 AA1BB CC ,1 11 1又侧面 BB C C 是矩形且 M,N 分别为 BC,B C 的中点,11MNBB ,BB BC,11 1MNAA ,MNB C , 又底面是正三角形,1 11 1AMBC,A N B C , 又MNAMM,1 11B C 平面 A AMN,1 11 1B C 平面 EB C F,11 1平面 A AMN平面 EB C F;1 1111 1解:2AO平面 EB C F,AO平面 A A
28、MN, 平面 A AMN平面 EB C FNP,AONP,AONP6,ONAP,NOAP,过 M 做 MHNP,垂足为 H,平面 A1AMN平面 EB1C1F,平面 A1AMN平面 EB1C1FNP,MH平面 A1AMN,MPN,MH平面 EB1C1F,MHMPsin3, B1C1+EF NP 6+2624, MN2421. 函数 fx2lnx+12设 a0,争论函数 gx的单调性1假设 fx2x+c,求 c 的取值范围;2gxx0,xa,a0,可得 gx令 wx+2lna+2x0,利用导数求得 wx【分析】1fx2x+c 等价于 2lnx2xc1设 hx2lnx2x,利用导数求其最大值,再由
29、 c1 大于等于 hx的最大值,即可求得 c 的取值范围;设 hx2lnx2x,hxx0wa0,即 gx0,可得 gx在0,a和a,+上单调递减 解:1fx2x+c 等价于 2lnx2xc1当 x0,1时,hx0,hx单调递增, 当 x1,+时,hx0,hx单调递减,hx在 x1 时取得极大值也就是最大值为 h12,c12,即 c12gxx0,xa,a0则 c 的取值范围为1,+;所以22 整理得直角坐标方程为gx令 wx+2lna+2x0,则 wx,令 wx0,解得 0xa,令 wx0,解得 xa,wx在0,a上单调递增,在a,+上单调递减wxwa0,即 gx0,gx在0,a和a,+上单调递
30、减,无增区间22曲线 C1,C 的参数方程分别为 C :21 为参数,C :2二选考题:共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。假设多做,则按所做第一题计分。选修 4-4:坐标系与参数方程t 为参数12(1) 将 C ,C 的参数方程化为一般方程;12(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系设C ,C 的交点为 P,求圆心在极轴上,且经过极点和 P 的圆的极坐标方程【分析】1直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进展转换解:1曲线 C1,参数方程为: 为参数,转换为直角坐标方程2利用极径的应用和圆的方程的应用求出结果曲线 C2 的参数方程:t
31、 为参数为:x+y402由,整理得,解得:,即 P所以,解得,设圆的方程xa2+y2r2, 由于圆经过点 P 和原点,故圆的方程为:,即 x2+y2 x 0 ,转换为极坐标方程为选修 4-5:不等式选讲23函数 fx|xa2|+|x2a+1|(1) 当 a2 时,求不等式 fx4 的解集;(2) 假设 fx4,求 a 的取值范围【分析】1把 a2 代入函数解析式,写出分段函数,然后对 x 分类求解不等式,取并集得答案;2利用确定值不等式的性质可得 fx|xa2|+|x2a+1|xa2x2a+1|解:1当 a2 时,fx|x4|+|x3|,a12|a12由 fx4,得a124,求解二次不等式得答案当 x3 时,不等式 fx4 化为2x+74,即 x ,x;当 x4 时,不等式 fx4 化为 2x74,即 x,x当 3x4 时,不等式 fx4 化为 14,此时 x ;综上,当 a2 时,求不等式 fx4 的解集为, ,+;2fx|xa2|+|x2a+1|xa2x2a+1|a12|a12 又 fx4,a124,得 a12 或 a12, 解得:a1 或 a3综上,假设 fx4,则 a 的取值范围是,13,+
限制150内