第9讲:变倍问题高等教育理学_高等教育-理学.pdf
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1、精心整理 第 8讲 变倍问题 专题简介 1、所谓“变倍问题”,是指两个数量之间的倍数关系,随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律:甲数是乙数的 n 倍,如果乙数增加或者减少,那么甲数就要增加或者减少 mn,才能使甲数仍是乙数的 n 倍。2、变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想,变倍问题中的不变量,一般有三类,如下:“甲是乙的 2 倍,甲是丙的 3 倍”不变量是甲 “甲是乙的 3 倍,甲给乙 2,甲变成乙的 2 倍”不变量是甲、乙之和(给来给去和不变)“甲是乙的 3 倍,甲、乙都减少 2,甲变成乙的 4 倍”不变量是甲、乙之差(同增同减差不
2、变)3、解题方法:图像法、假设法 例题精讲 一、图像法 例 1、有甲、乙二人,今年甲的年龄是乙的 5 倍。22年后,甲的年龄比乙的年龄的 2 倍少 16岁。今年甲、乙二人各多少岁?分析:根据题意画出如右的线段图:如果乙今年的年龄是一倍量,那么乙在 22 年后的年龄就是一倍量多 22 岁,甲 22 年后的年龄就是 5 倍量多 22 岁。甲的年龄比乙的年龄的 2 倍少 16 岁,我们画出乙的 2 倍:同样,再去掉两个人的相同部分:这时,甲剩下 3 倍量,乙剩下 6 岁,由此可得,一倍量为 63=2 岁。所以,乙今年的年龄为 2 岁,甲今年的年龄就是 25=10 岁。【练习一】1、7 年前 张老师的
3、年龄是王英的 21倍,11年后张老师的年龄是王英的 3倍,问今年张老师和王英各多少岁?分析:用画线段的方法来解答比较直观。先画出 7 年前的情况:7 年前到 11 年后,一共经过了 71118(年),这 18 年中王英增长了 18 岁,张老师的年龄也增长了 18 岁。在上图的基础上添加画出 11 年后的情况:11 年后张老师的年龄是王英的 3 倍,即王英的 3 倍长应该和张老师的一样长。因此,我们将代表王英年龄的线段再画出 2 个一样的,并使得它和代表张老师年龄的线段对齐。然后将两人相同部分同时去掉,这时我们可以看到,王英还剩下 2 个 18 岁长的线段,张老师还剩下 213=18 倍线段。他
4、们两个的剩下部分相等,说明 18 倍量就等于 2 个 18 岁,即 36 岁。所以,一倍量为 18 2 182(岁)。那么,2 2142(岁),279(岁),42749(岁)。2、已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的 3 倍。小白兔吃了 13个胡萝卜,小黑兔吃了 3 个胡萝卜后,小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个?分析:用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。从图上可以看出,小白兔吃了 13 胡萝卜,小黑兔吃了 3 个胡萝卜后,小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多,也就是说原来小白兔比小黑兔多 13-3=10(个)胡萝卜,正好是小黑兔储藏胡萝卜的
5、(3-1)倍,把 10 个胡萝卜平均分成 2 份,每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数,然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。解:(13-3)(3-1)+3=8(个)?小黑兔,8 3=24(个)?小白兔 精心整理 二、假设法 例 2、师生二人,今年老师的年龄是学生的 4 倍。5 年后,老师的年龄是学生的 3倍。今年师生二人各多少岁?分析一:今年老师的年龄是学生的 4 倍。5 年后,学生的年龄增加 5 岁,这时如果老师的年龄增加 54 岁,那么老师的年龄仍将是学生的 4 倍。而实际上,老师的年龄只增加 5 岁,比假设少增加(54-5)岁,也就少了学生 5 年后年龄的(4-3)倍。因此学生 5 年后的年龄
6、是(54-5)(4-3)=15(岁),那么学生今年是 15-5=10(岁),老师今年是 104=40(岁)。注:上面的解题是依照题目中条件出现的先后顺序按照由前向后发展的思路展开的,我们称之为“正顺序顺向思维”。若用“反顺序逆向思维”(按照由后向前还原的思路展开)解答变倍问题则会显得更简便。分析二:5 年后,老师的年龄是学生的 3 倍。在此基础上,如果学生再减去 5 岁,老师再减去 53 岁,那么学生的年龄等于原来年龄,老师的年龄比原来减少(53-5)岁,此时老师的年龄仍是学生的 3 倍。而实际上,老师的年龄是学生的 4 倍。故知:(53-5)岁是学生今年年龄的(4-3)倍。因此学生今年是(5
7、3-5)(4-3)=10(岁),那么老师今年是 104=40(岁)。此题还可以用“抓不变量”的方法来解。分析三:因为今年与 5 年后,师生二人的年龄差不变,所以可以把这个年龄差转化为“标准量”。而今年学生的年龄是这个年龄差的 1/(4-1),5 年后学生的年龄是这个年龄差的 1/(3-1)。故知:5 岁是这个年龄差的(1/(3-1)-1/(4-1)。因此这个年龄差是 51/(3-1)-1/(4-1)=30(岁)。那么学生今年是 301/(4-1)=10(岁),而老师今年是 104=40(岁)。【练习 1】1、苹果的个数是梨子的 3 倍,如果苹果加上 6 个,梨子也加上 6 个,此时苹果个数是梨
8、子的 2 倍,问:原来苹果、梨子各多少个??2、在植树劳动中,光明中学植树的棵数是光明小学的 3 倍,如果中学增加 450棵,小学增加 400棵,则中学是小学的 2 倍。求中、小学原来各植树多少棵?例 3.某工厂,甲车间人数是乙车间人数的 3 倍。根据工作需要,现在从乙车间调出 8 人到甲车间去,此时甲车间人数是乙车间人数的 5 倍。两个车间原来各有多少人?“正顺序顺向思维”解一:甲车间人数是乙车间人数的 3 倍。从乙车间调出 8 人,此时如果从甲车间调出 83 人,那么甲车间人数仍将是乙车间人数的 3 倍。而事实上,甲车间不但没有调出 83 人,反而调入了 8 人,比假设多(83+8)人,也
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