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1、跨阶同构【方 法 点 拨】1.指对形式同时出现,可能需要利用指对同构来解决问题2.跨阶同构的几个关键环节:(1)指对各一边,参数是关键,凑形是难点.(2)凑形的常用方法:为了实现不等式两边“结构”相同的目的,需时时对指对式进行“改头换面“,常用的方法有:x=eln xe=*、xV =、=e-z、Inx+Inv=In取、Xlnx-l=l n-,有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式:(1)x In x 与 xex 型:x In x=In xenx,xex=elnxex;(2)x+lnx 与 x+,型:x+lnx=lnx+elnv,x+e*=*+/.【典 型 题 示 例】例1 (2 0
2、2 2 江苏天一中学期末 1 6)已知函数/(x)=ae nx (a w O),若对于任意x G(0,1),/(x)x 2+x l na恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】A【解析】/,(x)x?+x l na,即 ae*I nx x?+x l naapx In x两边同时除以x得-x+l nxH L I 人 /I nx x +l na niI Inx x +l na I n ex+I n a nae两边同时除以。得-,即-=-:=-x aex x aex aex aex2设函数g(x)=,易得g(M在(0,1)单增X1 ex所以x 0 ,故一al n(x+l)+(a+2)x 对 x G(0
3、,+8)恒成立,其中e 为自然对数的底数,则实数的取值范围为A.(co,2)B.(co,2 C.(2 +al n(x+l)+(a+2)x 变形得:2 d ax 2 (x+1)al n(x+1)一方面,2 一 =2 d 一a I n e所以问题转化为2 廿一。1 1 1 d 2 (x+1)-al n(x+1)对 x G(0,+a)恒成立又因为e x+l,设a x,则J(x)在(0,+s)为增函数故了()=2 恒成立,故 aW 2.例 3 已知函数/(x)=ae*T-I nx+l na,若/(x)2 1,则 a 的取值范围是.【答案】1【解析】由/(x)=ae*T-l nx +I na 2 1 移
4、项得:aex +I n a I n x +1(说明:将变量移至一边的原则进行变形)即*1+1 1 1 4*1 1 1 +1,两边同时加(x-1)W e a+I-1+x +l na-l l nx +x(说明:系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形)即 e,a+x-+(x +I n a-1)2 I n x +*、设g(x)=x +e*,则g(x)=l +e*0,所以g(x)单增所以 I na+x-l Nl nx,B Px-l nx +l na-l 0设/i(x)=x-l nx +l na-l ,贝=所以/i(x)在(0,1)单减,在(l,+oo)单增,X所以人(x)mm=饵 1)=I na-l
5、W O,所以a*l.点评:3对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数、系数升指数等,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根 据“相同结构”构造辅助函数.例4 设a,6都是正数,若aea+1 +be;B.bea+;C.abe;D.bea+i.【答案】B【解析】由已知aea+i +bV bl nb移项整理得aea+i bl ng,为了实现“一边一个变量”,两边同时除以e得aeav na为了实现“两边结构相同”,对 左 边“降阶”得ae。=ea方ne。故e。l nea 0,:.ealV b(l nfe-l)0,b0,:Anbl,故be,-1e当%1 时,f(x)=1 +l nx 0,/(x
6、)单增:.ea 即 ef+l 0),若/(x)0恒成立,则实数a的取值x +2范围是.【答案】(e,+8)【解析】V /(x)=ae+l n-一2 0 x+2./+I na l n(x +2)+2两边加上x得ev+,nfl+(x+l na)l n(x +2)+(x +2)=l n(x +2)+el n(x+2)设g(x)=x +e,则其单增/.x +I n l n(x +2),即 I n a l n(x +2)-x1 x +1令 k(x)=l n(x +2)-x,贝ij kf(x)=-1 =-x+2 x+2/(x)的定义域是(2,+8).,.当 x 时,k(x)0,左(x)单增;当x e(-l
7、,+8)时,k(x)e 即为所求.例6 设实数;I 0,若对任意的x e (0,+c o),不等式e&-学20恒成立,则4的取值范围是,【答案】E,+8)【解析】由e&等2 0得e x 2等,即A x e 2 X ,e nx对任意的x e (0,+8)恒成立.设/(t)=t ef,则/(&)/()乃 对任意的x G (0,+8)恒成立,又r(t)=tet+=(t +l)e,当t v-l时,r(t)l时,f(t)单调递增.画出图4象为*-i _2-1-11当久兄时,ti=Ax 0/t2=Inx -1,此时函数f(t)单调递增,Q/i)/(切,HP/(Ax)/(仇),所以尢r Znx对任意的%(0
8、,+8)恒成立,.A 等对任意的 G(0,+8)恒成立.设 g(x)=等,x 0,则g(x)=、,则当0%0,g(x)单调递 增;当x e 时,g(x)V 0,g(x)单调递减,g(x)niax=g(e)=5 ;1之 十.当0%0,t2=Inx 0 /(切,BP/(2x)/(/nx)对任意的久G(0/+8)恒成立.综上可得a z%实数a的取值范围是 卜+00).【解析二】由竽 N 0得等,即Axe*Inx,e,n”对任意的 6(0,+8)恒成立.当 E(0,1 时,总有A%0,xlnx 1的情形,亦即Axe*Inx-eln x.设/)=tef(t 0),则(t)=tet+=(t+l)e,0,/
9、()在t e(0,+8)上为增函数.由/(Ax)N/Qnx)得,Ax I n x,即;l 之处,故;I N (处)、门,、Inx,、1 Inx&g(x)=,x 0,则g,(x)=记一,9)max=9(。)=f-【解析三】由 ”等 2 0得 等,入*I n x,即(Ax)eAx 对任意的 G(0,+8)恒成立.5当 E(0,1 时,总有A x e”0,xlnx 1的情形,亦即 xlnx.设f (t)=tlnt(tl),则(t)=1 4-Int 0,/(t)在t (L+8)上为增函数.由f (x)2 /(x)得,eA x x,即;I 2 小,故;1 2 (史)x max、r 、I n x r,1
10、I n x设 g(x)=,x o,则g (x)=9一,1 1g Mm a x=5(e)=A A -.【解析四】由e&铮 N 0得 ”竽,入e Inx,即(A x)eXx 二对任意的 6 (0,+8)恒成立.当x (0,1 时,总有A x e&0,xlnx 1 的情形,得(A x)+I n (A x)I n%+I n (Zn x).设/(t)=t +lnt(t),则/(t)=1 +1 0,f(t)在t e(l,+8)上为增函数.由/(&)2 f (2 n x)得,Ax Inx,即4 2 处,故4 2 (处)x、4 max,、I n x i、1 I n x设 g(x)=,x 0,则g (x)=,9
11、 )max=9(。)=f,入7例7 对于任意实数x0,不等式Zo/x-i n x +l n a N O恒成立,则Q的 取 值 范 围 是.【答案】a 2e【解析一】将2 a e 2*-l n x +l n a Z0变形为2 a e 2、2 1 n,2e2x -n-(说明:将参数移至一a a a边)两边同时乘x得(说明:目的是凑右边的结构)a a即2 x e 2,2 3n=e%l n (说明:目的是凑左右两边的结构相同)(#)a a a设g(x)=xe则 g(x)=(l +x)e*0,g(x)单增故 由(#)W 2 x I n ,I n a I n x -2 xa再令(x)=l n x-2 x
12、,则l(x)=-2,易知当心 濡=力(3 =-卜2-1x2所以后2此2 1,即.6 自 军析二将 2ae2 x-nx+na0 变形为 e,n 2 a+2 x-l n x +I n t?0,即 e,n 2 a+2 x+l n 2 a I n 2xein2a+2x+2 x +I n 2。之 2 x +I n 2x=e,n 2 v+I n 2x设g(x)=ex+x f易知g(x)单增故2 x +如2 a N如2 x (以下同解法 一,从 略).点评:(1)为了实现不等式两边“结构”相同的目的,需时时对指对式进行“改头换面”,常用的恒等变形的方法有:%=elnx(x 0),%=lnex(x 6 7?)
13、.1.xex=ex+Z n x;x+Inx=lnxex.2.=elnxx;x Inx=In-.ex x3.x2ex=ex+2 l n x;x+2lnx=lnx2ex.4.=ex-2lnx.x 2lnx=有 也需要对两边同时加、乘某式等.(2)x l n x与 x e”为常见同构式:x I n x =I nxelnx,xex=elnxex;x +l n x 与 x +e 为常见同构式:x +l n x =l n x +e,n x +=e,n x+ex.【巩 固 训 练】71.设实数加0,若对任意的x e(0,+8),不等式e”x-0成立,则实数机的取值范m围 是()r,F1 、1 A.1,+o
14、o)B.,4-o o I C.e,+8)D.,+o o Im2 .设实数相0,若对任意的xNc,不等式flnx-m恒成立,则用的最大值是().1eA.-B.C.e D.2ee33 .若T l n x +a对一切正实数x恒成立,则实数a的取值范围是4(7 B.(-0,l C.(-o o,2 D.(-0,e e4.已知函数f(x)=e -o l n x,(其中a为参数),若对任意x(0,+o o),不等式/(x)l n a成立,则正实数a的取值范围是.5 对于任意实数x0,不等式U-4 1nxN0恒成立,则4的 最 大 值 是.6 .关于x的 不 等 式N A I r i x +%(x +l)对任
15、意x0(其中攵0)恒成立,则点的取值范围是.7 .关于x的不等式J?*N(%+3)x +2 1 n x +l对任意x 0恒成立,则 上 的 取 值 范 围 是.8.已知函数/(%)=(%+)lnx9 g(%)=血?吟+7 n若对任意的第 (0,+8),不等式2/(%)-g M 0时,/(x)|,则。的取值范围是.1 0 .(2 0 2 2 江苏天一中学)已知关于X的不等式在(0,+。)上恒成立,X+1则实数4的取值范围为.【答案与提示】1.【答案】DIn x【分析】把不等式e x 20成立,转化为加住对N x l n x =*.l n x恒成立,设函数mg(x)=x e进而转化为g(加x)N
16、g(lnx)恒成立,得出加x N l n x恒成立,构造函数8A(x)=,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.XI n x I n x【解析】因为帆 0,不等式e”x-2 0成立,即e X N 成立,即加 皿之山,m m进而转化为mxe x I n x=elnx-I n x恒成立,构造函数g(x)=xe,可得g (x)=e*+xe,=(x+l)e 2,当x0,g (x)0,g(x)单调递增,I n x则不等式*-0恒成立等价于g(mx)g(lnX)恒成立,即mxnx恒成立,mI n x进而转化为加2 恒成立,x设(x)=F,可得/(x)=L管,当0 x 0),等价转化为I nxN ,即
17、zW xlnx,只需加W(xlnx).=e,答案为C.X ,m i n3.【答案】B【解析】(利用同构)由。一 N lnx+a得,一 一。2 I nx,两边同时加一+%一。2 lnx+x即,一0+(%。)之。4+mx设/(x)=+x,则/(工)=产+1 0 ,/(x)=e +x 单增exa+(x-a)e,nx+I nx,B P f x-a)f(I n x),故 x-a N i n x 恒成立a 4 x-I n x恒成立设g(M =xTnx,易得g(%)1 1 1 ax=g 6 =l,所以a V l.94.【答案】(、)【解析】构建同构式处理不等式由/(x)a lna 得-l n a l n x
18、.即 e-I na I nx,a两边同时加 X 得 ex-a+x-n a elnx+nx令 g。)=e +/,则g(x-lna)g(lnx),:g。)为 单 调 增 函 数 x-I n a I n x,即 lna x-lnx,x 令 h(x)=x-1 n x,贝 ij/(x)=-x在(0,1)上单调递减,在(l,+8)上单调递增,.(x)mi n=%=0,A l n a l,解得0 a e.5 .【答案】e【提示】变形为土I zxlnx.A6 .【答案】(0,e【提示】变形为e M E+-M l n x +x+l)-7 .【答案】(-oo,0【提示】变形为e 2b lz*-(3 x+2 1 n
19、x)2 丘+1,利用e*2 x+l.8 .【答案】:,+8)【解 析】2/(%)g(%)工 0 转 化 为(x2+1)Inx2 mxem x+m x ,B P x2lnx2+Inx2 mxem x+m x,设/(t)=+t,则/(仇/)0,f()单调递增所 以)/Wm x,m N劲竺,易求得?n N白x e实数m 的取值范围是g,+8).9.【答案】(0小卜 强用1 0 .【答案】(,+8)e【分 析】由 题 可 得(e +l)2 x(x+l)lnx=(e,nv+l)lnx,可 构 造 函 数/(X)=+l)x,x 0则 人 胆,再求函数g(x)=的最大值即可.XX10【解 析】关 于X的 不 等 式(+l)2xn x在(0,+8)上 恒 成 立,则X +1eZA 4-1 j (x+1)In x=(elnx 4-l)lnx,设/(x)=(e+l)x,x 0,:.f(Inx)./x)=eA(x+l)+l 0,/(X)在(0,+8)上单调递增,In x/.Ax Inx 即 2 -,X、n/、Inx 八设g(x)=,x 0,x.g(x)=t4,令g(x)=o,得=e,X当0 cx 0函数g(x)单调递增,当x e时,g(x)vo函数g(x)单调递减,*e gGOmax=g(e)=一,e;,e故答案为:(一,+8 ).e11
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