三角函数与解三角形-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破限时集训(新高考专用).pdf
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1、专题01 三角函数与解三角形叠题型简介三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题,主要考查三角函数的图象及其性质,解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等,主要题型:1 :角函数图像及性质问题,2 结构不良试题3 三角形面积周长问题4 三角形三线问题5 三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化,更容易将实际问题转化为解三角形的问题,体现数学与实际问题的结合.学典例在线题型一:三角函数的图象及其性质1.“X)=cos爸 s in p +看卜;,已知点A,8 是 函 数 的 图 像 与 直 线 y=的最小值为兀.求函数f(x)的单调递增区间;若对于Txe 都有
2、/(x)2 加-T,求山的取值范围.【答案】k n-g k 7 i+大仅 e Z)1,2 x)=1 0)x(.C O X 7T C D X .乃、=cos sin cos+cos sin 4 2(2 6 2 6J45/3.C D X (DX 1 C 5 1 后.1=sin cos +c o s-=s in s+-G 2 5 2 c o s-12 2 2 2 2 4 4424 4 2(2 2)2 T=|A卸=肛69=|=2 J(x)=;sin(2x+?T2当2版后42犬+3 2&万+雪 2)时单调递增,即x e kn-%,k兀*三 (k e Z)时单调递增;71 7T(2)当xw 时,汽,万,5
3、42x+0)的单调区间时,要视“u i x+g”为一个整体,通过解不等式求解.但如果3 0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数,防止把单调性弄错.(2)函数图象的平移变换解题策略:对函数丁=5 抽%,y =4$吊(的+0)或 =A c o s(w x+0)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移I w l 个单位,都是相应的解析式中的X 变为x|0|,而不是3 X 变为0 r|&.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.1 已知函数/(x)=2 s i n%c o s(x-;)-书,xeR .求 x)的最小正周期;(2)求 小)在 区 间 会
4、兀 上的最大值和最小值;(3)若/(%+哈 =一乎,xn e J,,,求c o s 2 x()的值.【答案】叫2)最大值为 正,最小值为-1.2 5【详解】(1)/(x)=2 s i nx(c o s x c o s +s i nx s i n y)-石.G ./T.2 G=2 s i a r(c o s x +s i nx)一 一 =s i nr c o s x +v 3 s i n x-,1 ._ /r 1 -c o s 2 x G 1 .日 6 c -zO n=-s i n2 x +V3 x-=s i n 2 x-c o s 2 x =s m(2 x -).2 2 2 2 2 32 兀T
5、=n,/(x)的最小正周期为兀.2(2)因为x e 限 ,所以2 x-枭 苧 争令2x-p片,等,得x e 岩,神,令2 x-g e 弯百,得x吗,膏 ,所以/(X)在弓,与 上单调递减,在 詈,汨上单调递增.且/尸 亭,/(l y)=-l,/(兀)二一 等,所以,/的 最大值为 乎,最小值为-1.(3)因为,f(xi)+)=,所以,sin(2x0-)=-+c,由正弦定理,可得2sin AcosB=sin8+sinC=sinB+sin(A+8)=2sin4cosB=sin B+sin Acos B+cos Asin B=sin/1 cos B -cos Asinfi=sinB=sin(/l-B
6、)GIA,8 e(0,乃),(-乃,乃),回 8+(A-B)=7 或 8=A-8=(舍)或 2 B=A,即 2B=A若选:8 S B=2+C 2 J+庆+C2 一 吸 出lac lac 2a所以为cos5=Z?+c,由正弦定理,可得2sin Acos B=sinB+sinC=sin 8+sin(A+3)=2sin Acos B=sin sin A cos B+cos Asin Bn sin A cosB-cos AsinB=sin 8=sin(A-3)0 A,B,A5E(一 4,乃),团 5+(A J?)=乃或 8=A 8国 A=(舍)或 2 8=A,即 28=4若选:Vl-cos A+2co
7、s-2 s 呜+V2cos-V2 sin y =72 sin f B+22n 0 sin4 4-/2cos-/2sin =V2cosB,团 Aw(0,7r),0efo,|sin 02 2 2 v 7 2 V 2;2所以上式化为 J5 sin 4 +0 c o s -V2sin=/2cosB=cos =cosB2 2 2 2吟4 呜)3w(),0 y =B,即 28=A.(2)如图,作出ZVIBC示意图如下:3回2 u=3 b,由正弦定理2sin A=3sin8=2sin2B=2x2sin8cos8,可得cos5=一,4过。向AB作垂线,垂足为“,0 cos B=-=BH=3.4 BD因为8D=
8、A,所以是A 8中点,A B=c=6.因为3=A O,所以国3=团 84),因为团8AC=2团 8=团 员 4。+团C A O,所以团8AD=13CAD,A 是 团 BAC的角平分线,=4 =2=上 24即有 8。CD 4 a-4 3b,解得6=丁.T-4 51.己知函数/(%)=6X sin xcos21 2 COS2 22x2求函数f(x)的单调递增区间;(2)在.ABC中,分别是角A,B,C的对边,/(A)=0,a=g,若。为8 c 上一点,且满足求.ABC的面积S.请 从 Gsin8=co sC;AO为 ABC的中线,ELAD=I A为 S 3 C 的角平分线,且4=2 包.23这三个
9、条件中任意选一个补充到横线处并作答,(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)【答案】-?+2就 弓+2女 4,丘 Z(2)答案见解析【详解】(1)/(x)=V s in x-;(l+cosx)=/s in 卜一高一;,7 T T T 7 T 7 T 2 7 7 由-F2左 4 工 x-F2k兀,得-F“x W-F2k兀,k e Z,2 6 2 3 3团函数/(X)的单调递增区间为 弋+2而 彳+2以,Z e Z:(2)由/(4)=sin(A _ 1)_:=0,得sin(A-j =:,2 V 07 4 I 07 2 _ _ 7T .7 1 5乃 ,冗又 14BC中0 4 左,-A-0,
10、则 cos C=sin A=,2T T T T又 小5 C 中0 C csin/1=x 2 x -=:2 2 2 2在 _ ACD 中,cos/ADC=-,2ADCD乂 cos ZADB+cos ZADC=-cos ZADC+cos ZADC=0,则 A2+B)2 -。2 AD2+CD1-h1 24加+才-/若选:为 ABC的角平分线,且4=竽.由题意知,S4ABD+SACD=S nn1 1 25/3 1 1 25/3.1 3.击 什 工 用 夕 曰 八 3 人l|J x x-c 4-x x-b=-x be 整理得 Z?+c=1 c223 223 2 2 2又 在.ABC中,A。=百,贝!J有
11、+(?一 匕。=3,故从+c2-be=(/?+c)-3bc=/?2c2-3bc=3解之得,bc=2,15=besin A=.2 2题型三:三角形面积,周长问题71 ABC 中,48=4,cos A=,AC8(1)若 A 8BC=12,求 BC;(2)若cos(B-C)=1,求;.4?C 的面积.【答案】(1)BC=2后(2)52【详解】(1)AB BC=A B(A C-A B)=AB AC-ABf=UB|-UC|-COSA-42=4xA C x-16=-A C-1 6,由ZAC-16=1 2,得AC=8.I l l I 8 2 2BC2=AB2+AC2-2AB ACCOSA=2 4,回 BC=
12、2#.j jr jr 2 冗(2)法 r 0cos(-C)=-,0-1 B-C -,0 y 2(B-C)TI,7 7 兀X cos2(B-C)=2cos2(B-C)-l=-一,又 cosA=,0 4 =1,0 sin ZABD=yj I-cos2 ZAB D=,又 sin A=Jl-cos?A=匹,04 4 4 8cos Z.ADB=cos 兀 -(ZA+ZABD)=-cos(NA+ZABD)=sin A sin/ABD-cos A cos Z.ABDy5/15 7 1 1 /人 八 o/4=-x-x =.cos/4力 片=cos/A BD8 4 8 4 4 ZADB=Z A B D,巨7A
13、D A B 4.y.B D2=AB2+AD2-2A B A D cosA =l6+1 6-2 x 4 x 4 x-=4,8团 8/)=2,0 DC=BD=2 AC=AD+DC=60SAAfiC=-AB-AC-sinA=-x 4 x 6 x =.2 2 8 21.在 锐 角 三 角 形 中,角 4,B,C 的对边分别为小b,c,CO为C 4在CB方向上的投影向量,且满足 2csin8=/叫求cosC的值;(2)若 人=百,tz=3 cco sB,求 J1BC的周长.【答案】g(2)&+2 G(1)由CD为CA在CB方向上的投影向量,则|c 4 =b c o s C,即2csin B=D c o
14、s C ,根据正弦定理,2sinCsinB=VsinBcosC,在锐角 _ABC中,BE。,),则s in 8 0,即 2sinC=K cosC ,由 C e(0,1|,则 cos2c+sin2 c =1,整理可得 cos2C+?cos2 c =1,解得 cosC=|.(2)由a=3 c c o s8,根据正弦定理,可得sinA=3sinCcos5,在.ABC 中,A+8+C=4,则 sin(3+C)=3 sin Ccos 5,sin Bcos C+cos 8 sin C=3 sin Ccos 3,sin Bcos C=2sin Ceos B,由(1)可知 cos C=1-,sin C=71-
15、cos2 C=,则 sin 8=后 cos B,由 sin?B+cos?3=1,则5cos 5+co s3=1,解得cosB=,sin B=-,6 6根据正弦定理,可 得 工=j,则c=b=0,a=S=6sin B sin C sin B 2故的周长C MC=a+匕+c=2 6+夜.题型四:三角形三线问题1.已 知 ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,石力sinC=sinB(4 a sin C-b c).求A;(2)若。是.ABC的内心,a=2,且户+c?4,求 O3C面积的最大值.【答案M呜 或 与 半【详解】(1)因为b bsinC=sinZ?(4asinC-V 5c),所以6
16、 6 由。+百。皿 3=4 由 3由。,由正弦定理得 6(sin Bsin C+sin Csin B)=4sin Asin Bsin C,所 以 由 sin 3sinC=2sin Asin BsinC,因为sinB sinC w O,所以 sin A=走,2因为4 0 ,所以A 4或 A号方 2 I(.2 i/l .2 一 4(2)因为a=2,且不+c 2 4,所以由余弦定理得cosA=-把 土=巴士 _ 0)所以A 为锐角,由2bc 2bc(1)知因为。是-A 8C的内心,所以 N8OC=7 t-g(NABC+NACB)=7r-g(7t-A)=笄,在 O8C 中,由余弦定理得 B C2=O
17、B2+O C2-2OB O C cos N B O C,所以 4=O82+OC2-2O8OCCOSN =O82+OC2+OBOC 2 O B O C+O B-0 C =3OB-0C,当且仅当3OB=OC=3 亘 时等号成立,所以OB OCwg.3 3所以SAO0c=Lo8 OCsinN8OC4,xasin =巫,所以OBC面积的最大值为立.OBC 2 2 3 3 3 31 己知,h,c 分 别 为 A5C三个内角A,B,C 的对边,且acosC+GczsinC=b+c.求 A;(2)已知一4B C 的面积为主叵,设 M为 B C 的中点,且 A M =6,N3AC 的平分线交B C 于 N,求
18、线段A N4的长度.【答案】(1)A =(2)4 N =(1)由题意知一 A B C 中,a c o s C 4-f3a s i n C =/?4-c 由正弦定理边角关系得:贝 i J s i n A c o s C+G s i n A s i n C=s i n B+s i n C=s i n(A 4-C)+s i n C=s i n A c o s C+c o s A s i n C+s i n C T0 V 3 s i n A s i n C=c o s A s i n C+s i n C,0 CG(O,7 1),团 s i n C 工0,团 G s i n A-c o s A =1,团
19、 2 s i n(A 7)=1,0 s i n A ,又A e(O,7 t),4-畀 1 一,到,ov ooy所以即A =t6 6 3(2)如下图所示,在q A B C 中,AM为中线,团 2 A M =A 8 +AC,团 4bM=(A 8 +A C =|A 8 +2 A 8.4 C+kc =c2+b2+bc,团 力 2 +c2+be=12.SSC=,LbcsinA=bc=,be=3,曲 4 2 4 4b+c=J/72+2hc+c2=V 1 5 团 S&ABC S&ABN +S AC N 3G 1 x XI 兀乐 八2 AM 3 石团-=(人 +c)A N s i n =-A N ,回 A N
20、 =-.4 2V 7 6 4 5题型五 三角函数实际应用问题1 如图,在 _ A B C中,c o s 2 B+3 c o s(A +C)+2 =0,(C A C B-H-(IE C B)(CA-CB)=0 ,0为二AB C外一点,D A =2,D C =.求角B的大小,并 判 断 的 形 状;(2)求四边形4 BCZ)的面积的最大值.【答案】(1)8 =,等边三角形(2)2 +整3 4【详解】(1)由题知2 8 s 2 B-l-3 c o s B+2 =0,即2 c o s 2 B 3 8 S B +1 =0解得c o s 3 =g或c o s B=l(舍),所以8 =9C A、雨+图.)西
21、+盟CA CBC A=|C/1|-|C B|+|C|COSC-|C B|COSC=(|C A|-|C B|)(14-COSC)=0因为1 +COSC 0,所以|C4|=|C3|所以&43C的形状为等边三角形(2)设ND=氏在AA CD中由余弦定理得A C2=5-4 c o s夕A B C 的面积 S .=x A C2 x s i n =(5-4 c o s 夕)=-V 3 c o s 0A 3。2 3 4 4,AC D 的面积 S AC D=-1 x 2 x l x s i n =s i n 0S =S ABC+S AC D=s i n-G c o s 8 +J=2 s i n(一工+名 2
22、+四边形A B C。的面积 4 I 3;4 4当e=,等号成立所以四边形ABCD的面积的最大值为2+亚641.如图,某公园拟划出形如平行四边形ABCO的区域进行绿化,在此绿化区域中,分别以NOC8和为圆心角的两个扇形区域种植花卉,且这两个扇形的圆弧均与BD相切.(1)若4。=4a,A B =3后,BD=31(长度单位:米),求种植花卉区域的面积;若扇形的半径为10米,圆心角为13 5。,则NBD4多大时,平行四边形绿地A8 CO占地面积最小?【答案】72万2 2.5。【分析】(1)根据余弦定理可得NA的大小,再根据正弦定理可得s i n N A B D,进而求得扇形的半径,从而得到种植花卉区域
23、的面积(2)设/的=夕,根 据 宜 角 三 角 形 中 的 关 系 可 得 关 于。的表达式,从而得到平行四边形的面积表_ _ _ _ _ _ _ _ 2 0 0式/s i n(2 6+45)-l,从而根据三角函数的最值求解即可【详解】(1)由余弦定理,A Q2+4B 2-8)2 4 3 7 +3 3 7-3 72 16+9-3 72ADAB-2 x4 屈 x3 炳-2 42故 A =12 0 ,乂由正弦定理有BDs i n 12 0ADs i n ZABD故s i n N A B O =丝s i n l 2 0 =笆,所以扇形的半径BD V 3 7r=AB-stnZABD=3屈.咨=6日历故
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