高考数学难点突破_难点.pdf
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1、难 点 11函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,般难度较大,考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力.难点磁场()设函数./(x)的定义域为R,对任意实数x、y 都有/(x+y)R(xH K y),当x0 时Ax)0 且犬3)=-4.(1)求证:V)为奇函数;(2)在 区 间 -9,9上,求x)的最值.案例探究 例 1 设7(x)是定义在R上的偶函数,其 图 象 关 于 直 线 对 称,对 任 意 修、处6 0 彳,都有加1+论月 3)式均),且/(1)=。0.(
2、1)求人)、人:);(2)证明道x)是周期函数;(3)记 a=j n+4),求 li m(I nan).2n M-O O命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件4 XI+X2)=/(X1)-7(X2)找到问题的突破口.错解分析:不会利用X1+X2)m 5)小:2)进行合理变形.技巧与方法:由於回)=/3)变形为/(X)=是解决问题的关键.(1)解:因为对x g W 0,g ,都有.危i+X2)5/M),/t e),所 以 以)=/(尹 学=/(方 0,xe 0,1 又因为 1)=
3、A;+;)=A;)./(;)=1 21 :1 1;/彳)=。2 :)=4 42 4(2)证明:依题意设yR(x)关于直线x=l对称,故./(x)m(l+1 x),即/(x)4(2 X)KR.又由_/(x)是偶函数知.八一x)=/(x)x G Rx)=/(2 -x)x G R.将上式中一X 以X 代换得_ A x)=/(x+2),这表明(x)是 R 上的周期函数,月 一 2是它的一个周期.解:由知危)2 0/G 0,1 人;);+:)4:)八;)=(9)22 4 4 4 4 4又 1)=0:足)W 1)7-)=A-T-),/(-1),)2 2n 2 2 2n 2n$心).火1=L/C ),1=2
4、2n 义;)=。2n.2n又;危)的一个周期是2i i /./(2 n+)刁(丁),因此 a=a 2n2n Inli m(ln rt)=li m(ln(7)=0.Moo w002 例2 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(k m/h)的平方成正比,比例系数为瓦固定部分为a 元.(1)把全程运输成本兴元)表示为(k m/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运
5、用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价.解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为*,全程运输成本为VS,2 S u.a、y-a,一+犷 一=5(+D V)v v v.所求函数及其定义域为尸S(+/M,v e(0,c .V(2)依题意知,S、a、6、v均为正数:.S(-+bv)2Syab 当且仅当g=加,即口 口 时,式中等号成立.若K w c则 当 口 时,有即i n;v V b V
6、b v b若 c,则当 v e(o,c 时,有 S(-+bv)S(-+bc)V b v c=S L()+(bv-bc)=(cv)(abcv)v cvcc-y 2 0,且 o b c2,/a b c v a b c20,S(g+6)S(g+b c),当且仅当V=C 时等号成立,也即当V=C 时,有W i n;V c综上可知,为使全程运输成本y最小,当 Wc时,行 驶 速 度 应 为 皿 场,当 场 cb b b时行驶速度应为v=c.解法二:(1)同解法一.(2);函数尸x+与/0)/6(0,+8),当 x 6(0,式)时,y单调减小,当 x G(,+8)时yXa单调增加,当x 二 k时 J 取得
7、最小值,而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v G (0,c .v则当则当v=c 时,y最小.结论同上.锦囊妙计在解决函数综合问题时.,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1.()函数尸T+“与产=l O g/的图象可能是()2.(*1*)定义在区间(-8,+8)的奇函数道)为增函数,偶函数8(丫)在区间 0,4-0 0)的图
8、象与 x)的图象重合,设 a Z O,给出下列不等式:J(b)X a)g(a)g(b)A。)一/(a)g(b)g(a)/(a)/(b)g(b)g(a)其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3.(*幻 若关于x的方程2 4 2%+。+1=0 有实根,则实数a的取值范围是.三、解答题4.()设 a 为实数,函数y(x)=x 2+l r a l+l x G R.(1)讨论儿丫)的奇偶性;(2)求/(x)的最小值.1 1 X5.(*)设/(工)=-+l g-.X+l 1+X(1)证明:7 U)在其定义域上的单调性;(2)证明:方程f x)=O有惟一解;(3)解不等式/x(x g)vg
9、.6.(十 )定 义 在(-1 ,1)上 的 函 数 7 U)满 足 对 任 意 X、y(一1,1),都有兀声 2 );当 x e(1,0)时,有 0.l +xy求证:/(9+/(3*+吗)7.(*)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为2 0 0 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 米,如果池外周壁建造单价为每米40 0 元,中间两条隔墙建造单价为每米2 48元,池底建造单价为每平方米80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价兴元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求
10、最低总造价.8.()已知函数/(x)在(一8,0)u(0,+8)上有定义,且在(0,+8)上是增函数,/(1)=0,又以 6()=sin2 0 w c o s 0 2m,0 G 0,g ,设 A/=/w l g(R ,N=?/g(,)0 时X x)V 0,.X|)y(X2)0.,/(x)在-9,9 上是减函数故兀r)的最大值为近-9),最小值为 1时和当0。1时.答案:C2.解析:用特值法,根据题意,可设y(x)=x,g(x)=lxl,又设 7=2力=1,则 J(a)=a (a)=a J)=/(2)-1)=2+1=3.g(b)-g(_)=g(1)g(-2)=1 2=l.*.y(a)X 6)g(
11、l)g(2)=1 2=1.又火 6)一/(一1)-/(-2)=1 +2=3.g(。)一g(6)=g(2)-g(l)=2 1=1,.*./)-j 1d)=g a)g(b).即与成立.答案:C二、3.解析:设2=/0,则原方程可变为入&+1=0A =a2-4(a +l)N0方程有两个正实根,贝i j 5+0,,2 =。+1 0解得:a G(1,2 2 V 2 .答案:(1,2 2 V 2 三、4.解:(1)当eOn寸,函数 一x)=(x)2+|-xl+l=/(x),此时兀0为偶函数;当。#0时,几)=/+1 a)=/+2 la l+lJ(-a)Wy(a)J(a)W-/(一于 贝I J函数.危)在
12、a,+8)上单调递增,从 而,函数加)在 a,+上的最小值为加)=/+l.综上,当金1 时,函数/U)的最小值是彳3 一a,当一 1 I时,函数./U)的最小值1 a是J+1;当 g:时,函数兀v)的最小值是+;.I -X5.(1)证明:山 得 外)的 定 义 域 为(一1,1),易判断外)在(一1,1)内是减函数.x+2工0(2)证明:7(0)=g,./T(g)=0,即4;是方程/T(x)=0的一个解.若方程r(x)=O还有另一个解x o#g测 厂 乜)=0,由反函数的定义知_ A O)=x0 W;,与已知矛盾,故 方 程 厂&)=0有惟一解.(3)解:f E x(x-1)g,即/x(xg)
13、0 x 0 x 21 +V 1 546.证明:对/)+/0)=八 +)中的羽乂令x=y=O,得*0)=0,再令 尸 一x,又得/)+/(一1+xyX)刁=0,即x)=-Xx),/W 在 x(1,1)上是奇函数.设一1 0.1 -xxx20,从而yu 1)/te)o,即/a 1 )2/(工 2),故於)在x (1Q)上是单调递减函数.根据奇1 -x1x2函数的图象关于原点对称,知段)在x (o,l)上仍是递减函数,且./U)vo.1 2+3 +J 5 +D 5+2)-/一 八;(勿 +1)(+2)1(+1)(+2)1 1_=”+2.)=1 1 1 +1 +21 n+2=;)-/(1)+/(/(:
14、)+扁)-/号),o !1 时,/(-)/&),故原结论成立.2 +2 27.解:因污水处理水池的长为x 米,则宽为 米,总造价尸400(2x+2X)+248 X X X X324X 2+80 X 200=800(x4-)+1600,由题设条件x0 x 16,200 解 得 12.5Wx(16,即函数定义域为12.5,1 6.0 16x324 先研究函数9(x)=800(x+)+16000在 12.5,16上的单调性,对于任意的x,x2X1 1 32412.5,16,不妨设修工 2厕 危 2)一 1)=800(工 2用)+324(-)=800(必一四)(1 一),x2 x xx2_ 324 3
15、24.T2.5X X216.,.0XIX2 1621,即 1-0,二兀一/1)XjX2 xx2V0,即人X 2)/3),故函数j=/(x)在 12.5,16 上是减函数.当4 1 6 时,y 取得最小值,此时,324 200 200Nmin=800(16+)+16000=45000(元),一=12.5(米)16 x 16综上,当污水处理池的长为16米,宽 为 12.5米时,总造价最低,最低为45000元.8.解::於)是奇函数,且在(0,+8)上是增函数,兀 丫)在(8,0)上 也是增函数.又 川)=0,A-1)=-70)=0,从而,当危)V0 时,有 xV 1 或 0 x l,则集合 N=M
16、 fg(夕)夕=的()m(cos 2)+2,0 e 0,厘,令 x=cos 式R 0,1 得:加(%2)+2rxe 0,1,令:y=x2,xE,0,1 及”=加(加2)+2,显然为抛物线一段,是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由x e 0,1 得齐少2.加 4一2 6,故 MCN=mm42 6 .难点1 2 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前“项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的,故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.难点磁场
17、()等差数列%的前项的和为3 0,前 2,”项的和为100,求它的前3机项的和为.案例探究 例 1 已知函数 x)=r=l=(x2).VX2-4 求 左)的反函数厂;(2)设。尸1,二一an+l=一尸(。”)(6 2),求 a;设 5”=4/+722+,+。2=5+15是否存在最小正整数”7,使得对任意“WN*,有 b 25成立?若存在,求出川的值;若不存在,说明理山.命题意图:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力,属级题目.知识依托:本题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题.错解分
18、析:本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,(2)问以数列 1 为桥梁求恁,不易突破.a”技巧与方法:(2)问由式子一=1 +4 得-一1=4,构造等差数列 g ,从而%+i V%J*an求得。“,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.解:(1)设,=,:x2,x=J 4T,4一4 V/是公差为4的等差数列,a,;。1=1,+4(-1 )=4w3,V 0,a-I 1 .an2 靖 j4-32 1(3)b=Sn+iS=an+l=-4w+l,由 bn25254+1设 g()=gW=在C N 上是减函数,4+1 4+1,8()的最大值是8(1)=5
19、,;.?5,存在最小正整数机=6,使对任意“GN*有6“会 成立.例2设等比数列%的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍,且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列 1g%的前多少项和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图:本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则,等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属级题目.知识依托:本题须利用等比数列通项公式、前项和公式合理转化条件,求出团;进而利用对数的运算性质明确数列 1g%为等差数列,分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析:题设条件中既有和的关系,又有项的关系,条件的正确转化是关键,计算易出
20、错;而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法:突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列,而等差数列中前项和有最大值,一定是该数列中前面是正数,后面是负数,当然各正数之和最大;另外,等差数列S“是的二次函数,也可由函数解析式求最值.解法一:设公比为名项数为2巴,”6 N*,依题意有可 (-1)_。闻(/一1)=3 ;q _ I q 1(o1)-(a13)=9(a1 72+a 3)血=1化 简 得4+1=9(1+0解得巧=108设数列 1g4前项和为S”,则S“=lgai+lga/+Mg。q T=gW.产+3)=7zlgQ+g(-1)Ig=w(21g2+lg3)-y n(n-1 )
21、lg3=(-)w2+(21g2+y lg3)n721g2+-lg 3可见,当=-时,S 最 大.lg3721g2+lg3 4x0 3+7x04而-Z =U=5,故 电斯 的前5 项和最大.lg3 2x0.4”08解法二:接前,于是 lg%=lg 1 0 8(-)=lgl08+(-l)lg-,q =-3 313二数列 lg“是以1g 108为首项,以1g;为公差的等差数列,令 lg%20,得 21g2(-4)电3,八.v 21g2+41g3 2x0.3+4 x 0 4 .W -=-=5.5.1g 3 0.4由于GN*,可见数列 1g%的前5 项和最大.锦 囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列
22、基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具,应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但 用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.歼灭难点训练一、选择题1.()等比数列 为 的 首 项 0=-1,前n项 和 为 y,若 蓼=普,则 1 加 5,等于5勺 32 n-()2 2A.-B.C.2 D.-23 3二、填空题2.()已知a,b,a+h成等差数列,a,h,a h成等比数列,
23、且 0log,“3b)0,S i3 0.(1)求公差4的取值范围;(2)指出,、S 2、S n 中明卜个值最大,并说明理由.6 .(*)已知数列%为等差数列,公差d W O,由 小 中的部分项组成的数列a 瓦,。与,。品,为等比数列,其中6 1=1 力 2=5,仇=1 7.(1)求数列 4,的通项公式;记 Tn=C+C:/+C:&+C:篇求 lim.2 8 4 +b7 .()设 为等差数列,也 为等比数列,卬=加=1,42+。4二济也万 4=。3,分别求出 仇 及 回 的前项和%及*0.8 .()四 为等差数列,公差 d#0M#0,(N),且 4d 2+2。1%+依+2=0(“)(1)求证:当
24、人取不同自然数时,此方程有公共根;若方程不同的根依次为乃J 2,E,求证:数列一 ,5X,+1 X2+11 为等差数列.X”+1参考答案难点磁场解法一:将 S,=3 O,S2,=1O O 代入 s“=m+四 二 D d,得:2呷+器心=3 0 8 -q 3答案:B二、2.解析:解出“b,解对数不等式即可.答案:(一8,8)3.解析:利用5 数他=上口得解.Y I答案:第 11项。“=294.解法一:赋值法.解法二:b=aq,c=aq%=(a+b)=;。(1 +q),y=;(6+c)=;aq(l+q),2(1+q)+-a2q2(+q)a c ay+ex 2 2I =-=-=2.x y xy 1
25、2 z i .2X-z-a q(+q)4答案:2%=%+2d=12,三、5.(1)解:依题意有:12x11 J 八Sl2=12%+-d 0$3=13q+|d 0解之得公差d 的取值范围为一2二4 d。2俏 因此,在Si,S?,Si2中S t为最大值的条件为:四2 0且四+10,即 0a3+(k-2)d 3d-12 12 一 12,ud 0,:.2-k 3 k d 2 d-2 d d24 7 I?*/-d -3,:.V4,得 5.5*7.7 2 d因为是正整数,所以修6,即在S,S2,&2中,S6最大.解法二:由 d 生 因此,若 在1 中有自然数左,使得呢20,且仅+i0,,4613 62。7
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