2021版高考数学一轮复习 第八章数列.pdf
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1、8.5.3数列(shCdi。)建模问题核心(hdxin)考点精准(jing zhtin)研析 基础考点考点(姆0 di m n)一等差、等比数列简单的实际(s hL j )应 用 自主练透题组练透)1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2 个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要()A.6 秒钟 B.7 秒钟C.8 秒钟 D.9 秒钟2.我国古代数学著作?九章算术?中有如下问题:“今有金筵,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:现有一根5 尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4
2、斤;在细的一端截下1尺,重 2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的条件,假设金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3 尺的重量为()A.6 斤 B.9 斤 C.9.5 斤 D.12 斤271 7T3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为3,公差为36,那么这个多边形的边数为.4.为了观看2 02 2 年的冬奥会,小明打算从2 02 1年起,每年的1月 1 日到银行存入a 元的一年期定期储蓄,假设年利率为P,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2 02 1年 1 月 1 日小明去银行继续存款a 元后,他的账户中一共有 元;到2 02 2 年的 1月 1 日不再存钱而
3、是将所有的存款和利息全部取出,那么可取回_ _ _ _ _ _ _ 元.1.2n【解析】1.选B.设需要n 秒钟,那么1+2+2 4+2 ,100,所以1-2 2 100,所以n 2 7.2.选 B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为 aj ,那么a尸 4,aW,由等差数列的性质得a2+a)=al+a5=2 a3=6,所以a3=3,所以中间3 尺的重量为a#a3+ai=3a3=9(斤).3.由于凸n 边形的内角和为(n-2)7L2 7r n(n-1)TT故 3 n+2 x 36=(n-2)TL化简得n2-2 5n+144=0.解得n=9 或 n=16(舍去).答案(依an):
4、94.依题意,2 02 1年 1月 1 日存款a 元后,账户(z hj n g hC i)中一共有a(l+p)+a=(ap+2 a)(元).2 02 2 年 1月 1 日可取出钱(chU q 诒n)的总数为a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)(1+叩-(1+p),=a-1-(1+P)aa=P (i+p)5-(i+p)(i+p)5-i-p.a答案(d台 台 n):(ap+2 a)P(l+p)T-p、规律方法i1.解答(j i 台)数列应用题的步骤审题仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模将条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.(3)
5、求解求出该问题的数学解.(4)复原将所求结果复原到原实际问题中.2 .具体解题步骤用框图表示如下重 点 考 点考点二 数列的实际应用 师 生 共 研【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研说明,该商店在经 1,17120,元,21 n 60销这一产品期间第n天的利润a.=,(单位:万元,n N*).为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率第几天的利润-3b产这几天的投入资金总和.例如,片81+%+.求 的 值.求 第n天的利润率b0.【解题(j诧 5导思】序号题目拆解 a产l,l n 2 0,九 21 n 60a 以分段函数给出,
6、注意变量范围b,尸第九天的利润这几天的投入资金总租求b“b2的值结合例子 b3=8 1+%+。2,求 bl,b2(2)求第n天的利润率b”1,1 4”20,九 21 n 60结合a j,1【解析(jid xT)】当n=l时,b=81;1当 n=2 时,bz=82.(2)当 lWnW20 时,a尸a2=3=尸 产1,第九天的利润b产 这几天的投入资金总和求解注意b.为分段函数形式Qn 1所以(s u b y D b fl+ar+a2+.+a*1=80+n当 21SnW 60 时,anbn=81+。2 +.+Q n _ 1n10_81+2 0+。2 1+a22+.+。几-1n1012n101+-(
7、n -2 1)(?i +2 0)=2 0、八-n +1 600所以(subyi)第n天的利润率1*,l n 2 0,n G N,80+n5 1 2 n-,2 1 n 6O,n E N*.tn2-n +1 600b=思维多变1.假设(j i 3s h6)典例中条件不变,求该商店在经销(j Tn gx Q o)此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.1 1【解析(j i 4 x T)!当 l Wn 近2 0时,b产8 十 九递减,此时b”的最大值为b=81;22n 1 600 2 2当2 1Wn W60时,a?-九+1 600=几 次 前-1=79(当且仅当1 600n=n,即n=40
8、时,”成立).1 2 2又因为(y Tn w i)8179,所以(s u dy i)当 n=40 时,(bj.79.2所以该商店(s han gdi G n)在经销此纪念品期间,第 40天的利润率最大,且该日的利润率为79.2 .假设(j i*s*)典例中条件不变,60天的利润总和(z bn ghG)是多少?n【解析】当 l Wn W2 0 时,ai=a2=a3=-=an-1=a=l,当 2 1Wn W60 时,a“=l,所以 aj 的前 2 0 项是21 1 21 40(40-1)常数歹I J,后 40项是以1为首项,以1为公差的等差数歹所以S6O=2 0+40 x l O+21x l=18
9、2(万元).所以60天的利润总和是182 万元.j 规律方法解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.根本特征如表:数列模型基 本 特 征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为2 0%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列a 满足ae=L 2 a-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数到的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的答复:实际应用问题
10、最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要无视了这点.口变式训练为了(w i l e)加强新旧动能转化,某市方案(伤n g 款)用假设干时间更换一万辆燃油型公交车,每更换(gOn hu 台 n)一辆新车,那么(吟 m e)淘汰一辆旧车,替 换 hu 台 n)车为电力型和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车12 8辆,混合动力型公交车400辆;方案以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数S(n).假设该市方案7年内完成全部更换,求a 的最小值.【解析】(1)设 a0,b.分别为第n 年投入的电力
11、型公交车、混合动力型公交车的数量.3依题意,得瓜 是首项为12 8,公比为1+50妒2的等比数列,仇 是首项为400,公差为a 的等差数列.所以缸 的前n 项和n(n-1)b“的前 n 项和 T=400n+2 a.所以经过n 年,该市被更换的公交车总数为S(n)=S+Th=2 561 71(71-1)J+400n+2 a.假设方案7年内完成全部更换,那么S(7)N10 000,旧J 与所以 2 56、J+400 x 7+乙 a 2 10 000,16即 2 1aN3 082,所以 a三 1462 1.又 aG N*,所以a 的最小值为147.多变考点考点 三 数 学 文 化 与 数 列多维探莪
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