第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.pptx

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1、索引第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.理解分理解分类加法加法计数原理、分步乘法数原理、分步乘法计数原理及其意数原理及其意义.2.能解决能解决简单的的实际问题.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1 1索引1.分类加法计数原理分类加法计数原理完完成成一一件件事事有有两两类不不同同方方案案，在在第第1类方方案案中中有有m种种不不同同的的方方法法，在在第第2类方方案中有案中有n种不同的方法种不同的方法.那么完成那么完成这件事共有件事共有N_种种不同的方法

2、不同的方法.知识梳理mn索引2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完完成成一一件件事事需需要要两两个个步步骤，做做第第1步步有有m种种不不同同的的方方法法，做做第第2步步有有n种种不不同同的的方法，那么完成方法，那么完成这件事共有件事共有N_种种不同的方法不同的方法.mn索引3.分分类加加法法和和分分步步乘乘法法计数数原原理理的的区区别在在于于：分分类加加法法计数数原原理理针对“分分类”问题，其其中中各各种种方方法法相相互互独独立立，用用其其中中任任何何一一种种方方法法都都可可以以做做完完这件件事事；分分步步乘乘法法计数数原原理理针对“分分步步”问题，各各个个步步骤中中的的方方法法相相互互依依存

3、存，只只有有各各个个步步骤都完成了才算完成都完成了才算完成这件事件事.索引常用结论分分类加加法法计数数原原理理与与分分步步乘乘法法计数数原原理理是是解解决决排排列列组合合问题的的基基础，并并贯穿穿其始其始终.(1)分分类加加法法计数数原原理理中中，完完成成一一件件事事的的方方法法属属于于其其中中一一类，并并且且只只属属于于其其中中一一类.(2)分分步步乘乘法法计数数原原理理中中，各各个个步步骤中中的的方方法法相相互互依依存存，步步与与步步之之间“相相互互独独立，分步完成立，分步完成”.索引1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”“”)(1)在分在分类加法加法计数原理中，两数原

4、理中，两类不同方案中的方法可以相同不同方案中的方法可以相同.()(2)在分在分类加法加法计数原理中，每数原理中，每类方案中的方法都能直接完成方案中的方法都能直接完成这件事件事.()(3)在在分分步步乘乘法法计数数原原理理中中，每每个个步步骤中中完完成成这个个步步骤的的方方法法是是各各不不相相同同的的.()解解析析分分类加加法法计数数原原理理，每每类方方案案中中的的方方法法都都是是不不同同的的，每每一一种种方方法法都都能能完完成成这件件事事；分分步步乘乘法法计数数原原理理，每每步步的的方方法法都都是是不不同同的的，每每步步的的方方法法只能完成只能完成这一步，不能完成一步，不能完成这件事，所以件事

5、，所以(1)不正确不正确.诊断自测索引2.(选修修三三P5T1改改编)(1)一一项工工作作可可以以用用2种种方方法法完完成成，有有5人人只只会会用用第第1种种方方法法完完成成，另另有有4人人只只会会用用第第2种种方方法法完完成成，从从中中选出出1人人来来完完成成这项工工作作，不不同同选法法的种数是的种数是_；(2)从从A村村去去B村村的的道道路路有有3条条，从从B村村去去C村村的的道道路路有有2条条，则从从A村村经B村村去去C村村，不同路不同路线的条数是的条数是_.解析解析(1)不同的不同的选法共有法共有549种方法种方法.(2)从从A村村去去B村村有有3种种走走法法，由由B村村去去C村村有有

6、2种种走走法法，根根据据乘乘法法原原理理可可得得236(种种).96索引3.如如图所所示示，在在A，B间有有四四个个焊接接点点1，2，3，4，若若焊接接点点脱脱落落导致致断断路路，则电路路不不通通.今今发现A，B之之间电路路不通不通,则焊接点脱落的不同情况有接点脱落的不同情况有_种种.13解解析析电路路不不通通可可能能是是1个个或或多多个个焊接接点点脱脱落落，问题比比较复复杂，但但电路路通通的的情情况况却却只只有有3种种，即即2或或3脱脱落落或或全全不不脱脱落落，每每个个焊接接点点有有脱脱落落与与不不脱脱落落两种情况，故共有两种情况，故共有24313(种种)情况情况.索引4.3个班分个班分别从

7、从5个个风景点中景点中选择一一处游游览，不同的，不同的选法有法有_种种.解解析析因因为第第1、第第2、第第3个个班班各各有有5种种选法法，由由分分步步乘乘法法计数数原原理理，可可得得不不同的同的选法有法有555125(种种).125K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2 2索引考点一分类加法计数原理的应用例例1(1)从从甲甲地地到到乙乙地地有有三三种种方方式式可可以以到到达达.每每天天有有8班班汽汽车、2班班火火车和和2班班飞机机.一天一人从甲地去乙地，共有一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法种不同的方法.解析解析分三分三

8、类：一：一类是乘汽是乘汽车有有8种方法；种方法；一一类是乘火是乘火车有有2种方法；种方法；一一类是乘是乘飞机有机有2种方法，种方法，由分由分类加法加法计数原理知共有数原理知共有82212(种种)方法方法.12索引(2)满足足a，b1，0，1，2，且且关关于于x的的方方程程ax22xb0有有实数数解解的的有序数有序数对(a，b)的个数的个数为_.解析解析当当a0时，b的的值可以是可以是1，0，1，2，故，故(a，b)的个数的个数为4；当当a0时，要使方程，要使方程ax22xb0有有实数解，需使数解，需使44ab0，即即ab1.若若a1，则b的的值可以是可以是1，0，1，2，(a，b)的个数的个数

9、为4；若若a1，则b的的值可以是可以是1，0，1，(a，b)的个数的个数为3；若若a2，则b的的值可以是可以是1，0，(a，b)的个数的个数为2.由分由分类加法加法计数原理可知数原理可知(a，b)的个数的个数为443213.13索引分分类标准准是是运运用用分分类加加法法计数数原原理理的的难点点所所在在，应抓抓住住题目目中中的的关关键词、关关键元素和关元素和关键位置位置.(1)根据根据题目特点恰当目特点恰当选择一个分一个分类标准准.(2)分分类时应注注意意完完成成这件件事事情情的的任任何何一一种种方方法法必必须属属于于某某一一类，并并且且分分别属属于不同种于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能

10、重复的两种方法才是不同的方法，不能重复.(3)分分类时除了不能交叉重复外，除了不能交叉重复外，还不能有不能有遗漏漏.感悟提升索引训训练练1(1)某某同同学学逛逛书店店，发现3本本喜喜欢的的书，决决定定至至少少买其其中中的的一一本本，则购买方方案有案有()A.3种种 B.6种种 C.7种种 D.9种种解析解析买一本，有一本，有3种方案；种方案；买两本，有两本，有3种方案；种方案；买三本，有三本，有1种方案，种方案，因此共有方案因此共有方案3317(种种).C索引(2)集集合合Px，1，Qy，1，2，其其中中x，y1，2，3，9，且且P Q.把把满足足上上述述条条件件的的一一对有有序序整整数数对(

11、x，y)作作为一一个个点点的的坐坐标，则这样的点的个数是的点的个数是()A.9 B.14 C.15 D.21解析解析当当x2时，xy，点的个数，点的个数为177.当当x2时，由，由P Q，xy.x可从可从3，4，5，6，7，8，9中取，有中取，有7种方法种方法.因此因此满足条件的点共有足条件的点共有7714(个个).B索引考点二分步乘法计数原理的应用例例2 有有六六名名同同学学报名名参参加加三三个个智智力力竞赛项目目，在在下下列列情情况况下下各各有有多多少少种种不不同同的的报名方法名方法(六名同学不一定都能参加六名同学不一定都能参加)?(1)每人只参加一每人只参加一项，每，每项人数不限；人数不

12、限；解解每人都可以从三个每人都可以从三个竞赛项目中目中选报一一项，各有，各有3种不同的种不同的报名方法，名方法，根据分步乘法根据分步乘法计数原理，可得不同的数原理，可得不同的报名方法共有名方法共有36729(种种).索引(2)每每项限限报一人，且每人至多参加一一人，且每人至多参加一项；解解每每项限限报一人，且每人至多参加一一人，且每人至多参加一项，因因此此可可由由项目目选人人，第第一一个个项目目有有6种种选法法，第第二二个个项目目有有5种种选法法，第第三三个个项目只有目只有4种种选法，法，根据分步乘法根据分步乘法计数原理，可得不同的数原理，可得不同的报名方法共有名方法共有654120(种种).

13、索引(3)每每项限限报一人，但每人参加的一人，但每人参加的项目不限目不限.解解每每人人参参加加的的项目目不不限限，因因此此每每一一个个项目目都都可可以以从从这六六名名同同学学中中选出出一一人参人参赛，根据分步乘法根据分步乘法计数原理，可得不同的数原理，可得不同的报名方法共有名方法共有63216(种种).索引1.利利用用分分步步乘乘法法计数数原原理理解解决决问题要要按按事事件件发生生的的过程程合合理理分分步步，即即分分步步是是有有先先后后顺序序的的，并并且且分分步步必必须满足足：完完成成一一件件事事的的各各个个步步骤是是相相互互依依存存的的，只有各个步只有各个步骤都完成了，才算完成都完成了，才算

14、完成这件事件事.2.分分步步必必须满足足两两个个条条件件：一一是是步步骤互互相相独独立立，互互不不干干扰；二二是是步步与与步步确确保保连续，逐步完成，逐步完成.感悟提升索引训训练练2(1)某某机机场T3航航站站楼楼有有7个个入入口口，2个个接接机机口口(出出口口)，则某某人人进出出机机场的的方方案案数数为()A.4 B.9 C.14 D.49解析解析方案种数方案种数为7214.C索引(2)已已知知集集合合M1，2，3，N4，5，6，7，从从M，N这两两个个集集合合中中各各选一一个个元元素素分分别作作为点点的的横横坐坐标、纵坐坐标，则这样的的坐坐标在在直直角角坐坐标系中可表示第一、第二象限内不同

15、的点的个数是系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A.12 B.8 C.6 D.4解解析析分分两两步步：第第一一步步先先确确定定横横坐坐标，有有3种种情情况况，第第二二步步再再确确定定纵坐坐标，有有2种情况，种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是因此第一、二象限内不同点的个数是326.C索引考点三两个计数原理的综合应用角度1与数字有关的问题例例3 用用0，1，2，3，4，5，6这7个个数数字字可可以以组成成_个个无无重重复复数数字字的的四四位位偶数偶数(用数字作答用数字作答).解解析析要要完完成成的的“一一件件事事”为“组成成无无重重复复数数字字的的四四位位偶偶数数”，所所以以千千位

16、位数数字字不不能能为0，个个位位数数字字必必须是是偶偶数数，且且组成成的的四四位位数数中中四四个个数数字字不不重重复复，因因此此应先分先分类，再分步，再分步.第第1类，当当千千位位数数字字为奇奇数数，即即取取1,3,5中中的的任任意意一一个个时,个个位位数数字字可可取取0,2,4，6中的任意一个，再依次取百位、十位数字中的任意一个，再依次取百位、十位数字.共有共有3454240(种种)取法取法.第第2类，当当千千位位数数字字为偶偶数数，即即取取2，4，6中中的的任任意意一一个个时，个个位位数数字字可可以以取取除首位数字的任意一个偶数数字，再依次取百位、十位数字除首位数字的任意一个偶数数字，再依

17、次取百位、十位数字.共有共有3354180(种种)取法，取法，共可以共可以组成成240180420(个个)无重复数字的四位偶数无重复数字的四位偶数.420索引角度2与几何有关的问题例例4 如如果果一一条条直直线与与一一个个平平面面平平行行，那那么么称称此此直直线与与平平面面构构成成一一个个“平平行行线面面组”.”.在在一一个个长方方体体中中，由由两两个个顶点点确确定定的的直直线与与含含有有四四个个顶点点的的平平面面构构成成的的“平行平行线面面组”的个数是的个数是()A.60 B.48 C.36 D.24解解析析一一个个长方方体体的的面面可可以以和和它它相相对的的面面上上的的4条条棱棱和和两两条

18、条对角角线组成成6个个“平行平行线面面组”，一共有，一共有6个面，共有个面，共有6636(个个).长方方体体的的每每个个对角角面面有有2个个“平平行行线面面组”，共共有有6个个对角角面面，一一共共有有6212(个个).根据根据分分类加法加法计数原理知共有数原理知共有361248(个个).B索引角度3涂色问题例例5 如如图所所示示的的五五个个区区域域中中，现有有四四种种颜色色可可供供选择，要要求求每每一一个个区区域域只只涂涂一一种种颜色色，相相邻区区域域所所涂涂颜色色不不同同，则不同的涂色方法有不同的涂色方法有()CA.24种种 B.48种种 C.72种种 D.96种种解析解析分两种情况：分两种

19、情况：A，C不不同同色色，先先涂涂A有有4种种，C有有3种种，E有有2种种，B，D有有1种种，有有432124(种种)；A，C同同色色，先先涂涂A，C有有4种种，再再涂涂E有有3种种，B，D各各有有2种种，有有432248(种种).故不同的涂色方法有故不同的涂色方法有482472(种种).索引1.在在综合合应用用两两个个原原理理解解决决问题时应注注意意：(1)一一般般是是先先分分类再再分分步步.在在分分步步时可可能能又又用用到到分分类加加法法计数数原原理理.(2)对于于较复复杂的的两两个个原原理理综合合应用用的的问题，可恰当地列出示意可恰当地列出示意图或列出表格，使或列出表格，使问题形象化、直

20、形象化、直观化化.2.解决涂色解决涂色问题，可按，可按颜色的种数分色的种数分类，也可按不同的区域分步完成，也可按不同的区域分步完成.感悟提升索引训训练练3(1)(2023杭杭州州调研研)用用0，1，9十十个个数数字字，可可以以组成成有有重重复复数数字字的的三三位位数的个数数的个数为()A.243 B.252 C.261 D.279解析解析0，1，2，9共能共能组成成91010900(个个)三位数，三位数，其中无重复数字的三位数有其中无重复数字的三位数有998648(个个)，故有重复数字的三位数有故有重复数字的三位数有900648252(个个).B索引(2)现有有5种不同种不同颜色的染料，要色的

21、染料，要对如如图所示的四个不同所示的四个不同区域区域进行行涂色，要求有公共涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种的两个区域不能使用同一种颜色色，则不同的涂色方法的种数是不同的涂色方法的种数是()A.120 B.140 C.240 D.260解解析析由由题意意，先先涂涂A处，有有5种种涂涂法法，再再涂涂B处4种种涂涂法法，第第三三步步涂涂C，若若C与与A同同色色，则D有有4种种涂涂法法，若若C与与A不不同同色色，则D有有3种种涂涂法法，由由此此得得不不同同的着色方案有的着色方案有54(1433)260(种种).DFENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3

22、3索引索引12345678910 11 12 13 14 15 161.每每天天从从甲甲地地到到乙乙地地的的飞机机有有5班班，高高铁有有10趟趟，动车有有6趟趟，公公共共汽汽车有有12班班.某某人某天从甲地前往乙地，人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有其出行方案共有()A.22种种 B.33种种 C.300种种 D.3 600种种解析解析从甲地到乙地不同的方案数从甲地到乙地不同的方案数为51061233.B【A级 基础巩固】索引索引12345678910 11 12 13 14 15 162.(2023衡衡阳阳质检)将将3张不不同同的的冬冬奥奥会会门票票分分给10名名同同学学中中的的3人人，

23、每每人人1张，不不同的分法种数同的分法种数为()A.720 B.240 C.120 D.60解解析析可可分分三三步步：第第一一步步，第第1张门票票有有10种种不不同同的的分分法法；第第二二步步，第第2张门票票有有9种种不不同同的的分分法法；第第三三步步，第第3张门票票有有8种种不不同同的的分分法法，由由分分步步乘乘法法计数数原理得，共有原理得，共有1098720种不同分法种不同分法.A索引索引12345678910 11 12 13 14 15 163.如如图，小小明明从从街街道道的的E处出出发，先先到到F处与与小小红会会合合，再再一一起起到到位位于于G处的的老老年年公公寓寓参参加加志志愿愿者

24、者活活动，则小小明明到到老老年年公公寓寓可可以以选择的的最最短短路路径径条条数数为()BA.24 B.18 C.12 D.9解解析析分分两两步步，第第一一步步，从从EF，有有6条条可可以以选择的的最最短短路路径径；第第二二步步，从从FG，有有3条条可可以以选择的的最最短短路路径径.由由分分步步乘乘法法计数数原原理理可可知知有有6318条条可可以以选择的最短路径的最短路径.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 164.从从0，1，2，3，4，5这六六个个数数字字中中，任任取取两两个个不不同同的的数数字字相相加加，其其和和为偶偶数数的不同取法的种数的不同取法的种数为()A.

25、30 B.20 C.10 D.6解解析析从从0，1，2，3，4，5这六六个个数数字字中中任任取取两两个个不不同同的的数数字字的的和和为偶偶数数可可分分为两两类：第一第一类,取出取出的两个数都是偶数，有的两个数都是偶数，有0和和2，0和和4，2和和4，共，共3种不同的取法；种不同的取法；第二第二类，取出的两个数都是奇数，有，取出的两个数都是奇数，有1和和3，1和和5，3和和5，共，共3种不同的取法种不同的取法.由由分分类加法加法计数原理得，共有数原理得，共有336种不同的取法种不同的取法.D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 165.从从集集合合1，2，3，10中中任任

26、意意选出出三三个个不不同同的的数数，使使这三三个个数数成成等等比比数数列列，这样的等比数列的个数的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8解析解析以以1为首首项的等比数列的等比数列为1，2，4；1，3，9；以以2为首首项的等比数列的等比数列为2，4，8；以以4为首首项的等比数列的等比数列为4，6，9；把把这4个数列的个数列的顺序序颠倒，又得到另外的倒，又得到另外的4个数列，个数列，所求的数列共有所求的数列共有2(211)8(个个).D索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16 6.如如图所所示示，某某景景观湖湖内内有有四四个个人人工工小小岛，为方方便便游游客客

27、登登岛观赏美美景景，现计划划设计三三座座景景观桥连通通四四个个小小岛，每每座座桥只只能能连通通两两个个小小岛，且且每每个个小小岛最最多多有两座有两座桥连接，接，则设计方案的种数最多是方案的种数最多是()BA.8 B.12 C.16 D.24解解析析四四个个人人工工小小岛分分别记为A，B，C，D，对A分分有有一一座座桥相相连和和两两座座桥相相连两种情况，用两种情况，用“”表示表示桥.当当A只只有有一一座座桥相相连时，有有ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，共，共6种方法；种方法；当当A有有两两座座桥相相连时，有有CABD，DABC，DACB，BACD，BADC，CADB，

28、共共6种种方方法法.故故设计方方案案最最多多有有6612(种种).索引索引12345678910 11 12 13 14 15 167.如如图所所示示，积木木拼拼盘由由A，B，C，D，E五五块积木木组成成，若若每每块积木木都都要要涂涂一一种种颜色色，且且为了了体体现拼拼盘的的特特色色，相相邻的的区区域域需需涂涂不不同同的的颜色色(如如：A与与B为相相邻区区域域，A与与D为不不相相邻区区域域)，现有有五五种种不不同同的的颜色色可可供供挑挑选，则不不同的涂色方法的种数是同的涂色方法的种数是()DA.780 B.840 C.900 D.960解解析析先先涂涂A，则A有有5种种涂涂法法，再再涂涂B，因

29、因为B与与A相相邻，所所以以B的的颜色色只只要要与与A不不同同即即可可，有有4种种涂涂法法，同同理理C有有3种种涂涂法法，D有有4种种涂涂法法，E有有4种种涂涂法法，由由分步乘法分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数数原理，可知不同的涂色方法种数为54344960.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 168.将将“福福”、“禄禄”、“寿寿”填填入入到到如如图所所示示的的44小小方方格格内内，每每格格内内只只填填入入一一个个汉字字，且且任任意意的的两两个个汉字字既既不不同同行行也也不不同同列，列，则不同的填写方法有不同的填写方法有()A.288种种 B.144种种 C

30、.576种种 D.96种种C解析解析第一步，先从第一步，先从16个格子中任个格子中任选一格放一个一格放一个汉字有字有16种方法，种方法，第第二二步步，任任意意的的两两个个汉字字既既不不同同行行也也不不同同列列，剩剩下下的的只只有有9个个格格子子可可以以放放，有有9种方法，种方法，第三步，第三个第三步，第三个汉字只有字只有4个格子可以放，有个格子可以放，有4种方法，种方法，由分步乘法由分步乘法计数原理知共有数原理知共有1694576(种种).索引索引12345678910 11 12 13 14 15 169.从从集集合合0，1，2，3，4，5，6中中任任取取两两个个互互不不相相等等的的数数a，

31、b组成成复复数数abi，其中虚数的个数是其中虚数的个数是_.解解析析因因为abi为虚虚数数，所所以以b0，即即b有有6种种取取法法，a有有6种种取取法法，由由分分步步乘乘法法计数原理知可以数原理知可以组成成6636个虚数个虚数.36索引索引12345678910 11 12 13 14 15 166010.乘乘积(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展展开开后后的的项数数为_.解解析析从从第第一一个个括括号号中中选一一个个字字母母有有3种种方方法法，从从第第二二个个括括号号中中选一一个个字字母母有有4种种方方法法，从从第第三三个个括括号号中中选一一个个字字母母有有5种种方

32、方法法，故故根根据据分分步步乘乘法法计数数原原理理可知共有可知共有N34560(项).索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1611.4张卡卡片片的的正正、反反面面分分别写写有有0与与1，2与与3，4与与5，6与与7，将将其其中中3张卡卡片片排排放放在一起，可在一起，可组成成_个不同的三位数个不同的三位数.解析解析要要组成三位数，根据百位、十位、个位成三位数，根据百位、十位、个位应分三步：分三步：第一步：百位可放第一步：百位可放817个数；个数；第二步：十位可放第二步：十位可放6个数；个数；第三步：个位可放第三步：个位可放4个数个数.故由分步乘法故由分步乘法计数原理，得

33、共可数原理，得共可组成成764168(个个)不同的三位数不同的三位数.168索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1612.如如图，在一个正六，在一个正六边形的六个区域中涂色，要求同一区域形的六个区域中涂色，要求同一区域用用同同一种一种颜色，相色，相邻的两个区域的两个区域(有公共有公共边)涂不同的涂不同的颜色，色，现有有5种不同的种不同的颜色可供色可供选择，则不同的涂色方案有不同的涂色方案有_种种.4 100解析解析若若A，C，E三个区域用三个区域用1种种颜色，色，则有有543320种涂色方案；种涂色方案；若若A，C，E三个区域用三个区域用2种种颜色，色，则有有(543

34、)(433)2 160种涂色方案；种涂色方案；若若A，C，E三个区域用三个区域用3种种颜色，色，则有有543331 620种涂色方案种涂色方案.所以共有所以共有3202 1601 6204 100种涂色方案种涂色方案.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16AD【B级 能力提升】13.(多多选)现有有4个个数数学学课外外兴趣趣小小组，第第一一、二二、三三、四四组分分别有有7人人、8人人、9人、人、10人，人，则下列下列说法正确的是法正确的是()A.选1人人为负责人的人的选法种数法种数为34B.每每组选1名名组长的的选法种数法种数为5 400C.若推若推选2人人发言，言

35、，这2人需来自不同的小人需来自不同的小组，则不同的不同的选法种数法种数为420D.若若另另有有3名名学学生生加加入入这4个个小小组，加加入入的的小小组可可自自由由选择，且且第第一一组必必须有有人人选，则不同的不同的选法有法有37种种索引索引12345678910 11 12 13 14 15 16解解析析对于于A，4个个数数学学课外外兴趣趣小小组共共有有7891034(人人)，故故选1人人为负责人的人的选法共有法共有34种，种，A正确；正确；对于于B，分分四四步步：第第一一、二二、三三、四四步步分分别为从从第第一一、二二、三三、四四组中中各各选1名名组长，所以不同的，所以不同的选法共有法共有7

36、89105 040(种种)，B错误；对于于C，分六，分六类：从第一、二：从第一、二组中各中各选1人，有人，有78种不同的种不同的选法；法；从第一、三从第一、三组中各中各选1人，有人，有79种不同的种不同的选法；法；从第一、四从第一、四组中各中各选1人，有人，有710种不同的种不同的选法；法；从第二、三从第二、三组中各中各选1人，有人，有89种不同的种不同的选法；法；从第二、四从第二、四组中各中各选1人，有人，有810种不同的种不同的选法；法；从第三、四从第三、四组中各中各选1人，有人，有910种不同的种不同的选法法.所以不同的所以不同的选法共有法共有787971089810910431(种种)

37、，C错误；对于于D，若若不不考考虑限限制制条条件件，每每个个人人都都有有4种种选法法，共共有有4364(种种)选法法，其其中中第第一一组没没有有人人选，每每个个人人都都有有3种种选法法，共共有有3327(种种)选法法，所所以以不不同同的的选法有法有642737(种种)，D正确正确.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1614.如如图，将，将钢琴上的琴上的12个个键依次依次记为a1，a2，a12.设1ijk12.若若kj3且且ji4，则称称ai，aj，ak为原原位位大三和弦；若大三和弦；若kj4且且ji3，则称称ai，aj，ak为原原位位小小三三和和弦弦.用用这12个个

38、键可可以以构构成成的的原原位位大大三三和和弦弦与与原原位位小小三三和和弦弦的的个个数数之之和和为()CA.5 B.8 C.10 D.15解解析析满足足条条件件1ijk12，kj3且且ji4的的(i，j，k)有有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共，共5个；个；满足足条条件件1ijk12，kj4且且ji3的的(i，j，k)有有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共，共5个个.所以一共有所以一共有10个个.索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1615.设a，b，c1，2，

39、3，4，5，6，若若以以a，b，c为三三条条边的的长可可以以构构成成一一个个等腰等腰(含等含等边)三角形，三角形，则这样的三角形有的三角形有_个个.解析解析先考先考虑等等边的情况，的情况，abc1，2，6，有，有6个个.再考再考虑等腰的情况，等腰的情况，若若ab1，cab2，此，此时c1与等与等边重复；重复；若若ab2，cab4，则c1，3，有，有2个；个；若若ab3，cab6，则c1，2，4，5，有，有4个；个；若若ab4，cab8，则c1，2，3，5，6，有，有5个；个；若若ab5，cab10，则c1，2，3，4，6，有，有5个；个；若若ab6，cab12，则c1，2，3，4，5，有，有5

40、个；个；故一共有故一共有27个个.27索引索引12345678910 11 12 13 14 15 1616.(2023重重庆诊断断)用用红、黄黄、蓝、绿4种种颜色色给如如图所所示示的的五五连圆涂涂色色，要要求求相相邻2个个圆所所涂涂颜色色不不能能相相同同，且且红色至少要涂色至少要涂2个个圆，则不同的涂色方案种数不同的涂色方案种数为_.120解解析析根根据据题意意，知知红色色至至少少要要涂涂2个个圆，则红色色可可以以涂涂2个个圆或或3个个圆，分分2种情况种情况讨论：若若红色涂色涂3个个圆，则红色只能涂第色只能涂第1，3，5个个圆，此，此时有有339种涂法；种涂法；红色涂色涂2个个圆时，若若红色涂第色涂第1，3个个圆，则有有33218种涂法，种涂法，若若红色涂第色涂第1，4个个圆，则有有32318种涂法，种涂法，若若红色涂第色涂第1，5个个圆，则有有32212种涂法，种涂法，若若红色涂第色涂第2，4个个圆，则有有33327种涂法，种涂法，若若红色涂第色涂第2，5个个圆，则有有33218种涂法，种涂法，若若红色涂第色涂第3，5个个圆，则有有32318种涂法，种涂法，此此时共有共有181812271818111种涂法种涂法.综上，共有上，共有9111120种涂法种涂法.