第二课时 利用导数研究函数的零点.pptx

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1、索引第三章 一元函数的导数及其应用第二课时利用导数研究函数的零点内容索引分层精练巩固提升索引题型一数形结合法研究函数零点则(x)x21(x1)(x1)当当x(0，1)时，(x)0，(x)在在(0，1)上上单调递增；增；当当x(1，)时，(x)0，(x)在在(1，)上上单调递减减x1是是(x)的唯一极的唯一极值点，且是极大点，且是极大值点，点，x1也是也是(x)的最大的最大值点，点，索引 结合合y(x)的的图象象(如如图)可知，可知，索引含含参参数数的的函函数数零零点点个个数数，可可转化化为方方程程解解的的个个数数，若若能能分分离离参参数数，可可将将参参数数分分离离出出来来后后，用用x表表示示参

2、参数数的的函函数数，作作出出该函函数数的的图象象，根根据据图象象特特征征求求参参数的范数的范围感悟提升索引训训练练1(2022甘甘肃九九校校联考考节选)已已知知函函数数f(x)xaex，aR，讨论函函数数f(x)的的零零点个数点个数当当x1时，h(x)0，h(x)单调递增，增，当当x1时，h(x)0，h(x)单调递减，减，又当又当x0时，h(x)0，当当x0时，h(x)0，且，且x时，h(x)0，索引 可画出可画出h(x)大致大致图象，如象，如图所示所示索引题型二利用函数性质研究函数零点例例2(12分分)(2022全国乙卷全国乙卷)已知函数已知函数f(x)ln(1x)axex.(1)当当a1时

3、，求曲，求曲线yf(x)在点在点(0，f(0)处的切的切线方程；方程；(2)若若f(x)在区在区间(1，0)，(0，)各恰有一个零点，求各恰有一个零点，求a的取的取值范范围思路分析思路分析(1)先求出切点，再求先求出切点，再求导可得切可得切线的斜率，从而求出切的斜率，从而求出切线方程方程(2)对参参数数a分分类讨论，根根据据a的的范范围确确定定f(x)在在区区间(1，0)，(0，)上上的的符符号号，进而而得得到到f(x)的的单调性性，再再结合合f(x)的的符符号号，利利用用零零点点的的存存在在定定理理得得出出结论索引 f(0)112.f(0)0，所求切所求切线方程方程为y02(x0)，即即y2

4、x.(2分分)f（x）0，利用函数利用函数值大于大于0判定判定f(x)在在(0，)上无零点上无零点f(x)在在(0，)上无零点，不符合上无零点，不符合题意意(3分分)索引令令g(x)exa(1x2)，则g(x)ex2ax，g(x)在在(1，)上上单调递增，增，g(1)e12a，g(0)1，(4分分)(a)若若g（1）0，g(x)在在(1，)上上单调递增，增，g(1)e10，g(x)0在在(1，)上恒成立上恒成立，索引f(x)0在在(1，)上恒成立，上恒成立，f(x)在在(1，)上上单调递增，增，f（0）0，借借助助于于隐零零点点x0，得得g(x)的的单调性性，则g(x)在在,(1，x0)上上单

5、调递减减，在在(x0,)上上单调递增增g(1)e10，g(0)1a，g(1)e0.(7分分)索引f(x)0在在(0，)上恒成立，上恒成立，f(x)在在(0，)上上单调递增增f(0)0，当当x(0，)时，f(x)0，f(x)在在(0，)上无零点，不符合上无零点，不符合题意意(9分分)()当当g(0)0，即，即a1时，存在存在x1(1，x0)，x2(0，1)，使得使得g(x1)g(x2)0，索引f(0)0，f(x1)f(0)0，当当x1时，f(x)0.f(x)在在(1，x1)上存在一个零点，上存在一个零点，即即f(x)在在(1，0)上存在一个零点，上存在一个零点，f(0)0，当，当x时，f(x)0

6、，f(x)在在(x2，)上存在一个零点，上存在一个零点，即即f(x)在在(0，)上存在一个零点上存在一个零点利用零点存在定理，判定利用零点存在定理，判定f(x)在在(1，0)，(0，)上各存在一个零点上各存在一个零点)综上，上，a的取的取值范范围是是(，1)(12分分)索引得步得步骤分：分：处的求函数的的求函数的导数是解数是解题步步骤之一，也是最易得分之之一，也是最易得分之处，不可漏掉，不可漏掉得关得关键分：分：判判断断函函数数在在某某区区间上上零零点点的的个个数数，关关键就就是是判判断断函函数数的的单调性性及及区区间端端点点的的符号，故符号，故处为得分的关得分的关键得得讨论分：分：解解含含参

7、参数数的的函函数数问题，要要仔仔细观察察参参数数的的符符号号与与范范围，对其其进行行讨论以以分分解解问题，如，如处满分规则索引当当x(0，1)时，f(x)0，当当x(1，)时，f(x)0，所以所以f(x)f(1)10，所以所以f(x)不存在零点；不存在零点；索引当当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，增，当当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，减，所以所以f(x)maxf(1)a10，所以所以f(x)不存在零点；不存在零点；()当当a1时，f(x)0，f(x)在在(0，)上上单调递增增，因因为f(1)a10，所以函数所以函数f(x)恰有一个零点；恰有一个零点；索引因因为f(1

8、)a10，索引因因为f(1)a10，即即0a1满足条件足条件综上，若上，若f(x)恰有一个零点，恰有一个零点，则a的取的取值范范围为(0，)索引题型三构造函数法研究函数零点解解曲曲线yf(x)与直与直线y1有且有且仅有两个交点，有两个交点，索引当当0 xe时，g(x)0，函数，函数g(x)单调递增，增，当当xe时，g(x)0，函数，函数g(x)单调递减，减，索引涉涉及及函函数数的的零零点点(方方程程的的根根)问题，主主要要利利用用导数数确确定定函函数数的的单调区区间和和极极值点点，根根据据函函数数零零点点的的个个数数寻找找函函数数在在给定定区区间的的极极值以以及及区区间端端点点的的函函数数值与

9、与0的关系，从而求得参数的取的关系，从而求得参数的取值范范围感悟提升索引训训练练3(2023长沙沙一一模模节选)已已知知函函数数f(x)xln xax2(aR)，若若f(x)在在定定义域域内内有有2个零点，求个零点，求a的取的取值范范围解解f(x)xln xax2在定在定义域域(0，)内有内有2个零点，个零点，当当x(0，e)时，h(x)0；当当x(e，)时，h(x)0，h(x)在在(0，e)上上单调递增，在增，在(e，)上上单调递减，减，索引 索引隐零点问题微点突破对于于隐零零点点问题，通通常常应先先设出出隐零零点点，在在判判断断函函数数的的零零点点、不不等等式式恒恒成成立立中中都有都有应用

10、用索引例例 已知函数已知函数f(x)ln xax(aR)(1)讨论函数函数f(x)的的单调性；性；当当a0时，f(x)0，所以，所以f(x)在在(0，)上上单调递增；增；综上所述，当上所述，当a0时，f(x)在在(0，)上上单调递增；增；索引(2)证明不等式明不等式ex2axf(x)恒成立恒成立证明证明设函数函数(x)ex2ln x(x0)，可知可知(x)在在(0，)上上单调递增增又由又由(1)0，(2)0知，知，(x)0在在(0，)上有唯一上有唯一实数根数根x0,且且1x02，当当x(0，x0)时，(x)0，(x)单调递减；减；当当x(x0，)时，(x)0，(x)单调递增，增，所以所以(x)

11、(x0)ex02ln x0，索引则(x)ex2ln x0，即不等式即不等式ex2axf(x)恒成立恒成立索引训练训练 已知函数已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的的导数数(1)证明：明：f(x)在区在区间(0，)存在唯一零点；存在唯一零点；证明证明设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.故故g(x)在在(0，)存在唯一零点存在唯一零点所以所以f(x)在区在区间(0，)存在唯一零点存在唯一零点索引(2)若若x0，时，f(x)ax，求，求a的取的取值范范围解解由由题设知知f()a，f()0，可得，可得a0.由由(1)知，知，f(x)

12、在在(0，)只有一个零点，只有一个零点，设为x0，当，当x(0，x0)时，f(x)0；当当x(x0，)时，f(x)0，所以所以f(x)在在(0，x0)上上单调递增，在增，在(x0，)上上单调递减减又又f(0)0，f()0，所以当所以当x0，时，f(x)0.又当又当a0，x0，时，ax0，故，故f(x)ax.因此，因此，a的取的取值范范围是是(，0FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升索引索引12341.已知函数已知函数f(x)ln xaex1(aR)，讨论函数函数f(x)的零点个数的零点个数【A级 基础巩固】解解令令f(x)ln xaex10，x0，索引索

13、引1234所以所以h(x)在在(0，)上上单调递减，而减，而h(1)0，故当故当x(0，1)时，h(x)0，即，即g(x)0，g(x)单调递增增；当当x(1，)时，h(x)0，即，即g(x)0，g(x)单调递减减索引索引1234索引索引1234(2)证明：明：f(x)只有一个零点只有一个零点证明证明由于由于x2x10，当且当且仅当当x0时g(x)0，所以所以g(x)在在(，)单调递增增故故g(x)至多有一个零点，至多有一个零点，从而从而f(x)至多有一个零点至多有一个零点索引索引1234故故f(x)有一个零点有一个零点综上，上，f(x)只有一个零点只有一个零点索引索引12343.已知已知函数函

14、数f(x)ex(ae)xax2.(1)当当a0时，求函数，求函数f(x)的极的极值；解解当当a0时，f(x)exex，则f(x)exe，f(1)0，当当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，增，所以所以f(x)在在x1处取得极小取得极小值，且极小，且极小值为f(1)0，无极大，无极大值索引索引1234(2)若函数若函数f(x)在区在区间(0，1)内存在零点，求内存在零点，求实数数a的取的取值范范围解解f(x)ex2axae，设g(x)ex2axae，则g(x)ex2a.若若a0，则f(x)的最小的最小值f(1)0，故由故由(1)得得f(x)在在(0，1)内没有零点内没有零点若若a

15、0，故函数故函数g(x)在在(0，1)内内单调递增增又又g(0)1ae0，所以存在所以存在x0(0，1)，使，使g(x0)0.索引索引1234故当故当x(0，x0)时，f(x)0，f(x)单调递增增因因为f(0)1，f(1)0，所以当所以当a0，由，由(1)得当得当x(0，1)时，exex.则f(x)ex(ae)xax2ex(ae)xax2a(xx2)0，此此时函数函数f(x)在在(0，1)内没有零点内没有零点综上，上，实数数a的取的取值范范围为(，0)索引索引12344.已已知知函函数数f(x)(2x)ex，g(x)a(x1)2，讨论yf(x)和和yg(x)的的图象象的的交交点点个数个数解解

16、令令F(x)g(x)f(x)a(x1)2(x2)ex，则yf(x)和和yg(x)的的图象的交点个数即象的交点个数即F(x)的零点个数的零点个数F(x)(x1)(ex2a)当当a0时，F(x)(x2)ex，F(x)只有一个零点只有一个零点当当a0时，由由F(x)0得得x1或或xln(2a)【B级 能力提升】索引索引1234故当故当x(1，)时，F(x)0，因此，因此F(x)在在(1，)上上单调递增增当当x时，F(x)0；又；又当当x1时，F(x)0，所以所以F(x)只有一个零点只有一个零点故当故当x(1，ln(2a)时，F(x)0；当；当x(ln(2a)，)时，F(x)0.因此因此F(x)在在(1，ln(2a)上上单调递减，在减，在(ln(2a)，)上上单调递增增当当x时，F(x)0；又；又当当x1时，F(x)0，所以所以F(x)只有一个零点只有一个零点索引索引1234若若a0时，若，若x(，1)，则F(x)0；若若x(1，)，则F(x)0，所以所以F(x)在在(，1)上上单调递减，减，在在(1，)上上单调递增增F(1)e，F(2)a，所以所以F(x)有两个零点有两个零点综上，当上，当a0时，yf(x)和和yg(x)的的图象的交点个数象的交点个数为1；当当a0时，yf(x)和和yg(x)的的图象的交点个数象的交点个数为2.