2024高考数学专项练习米勒圆专题含答案.pdf

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1、米勒圆专题米勒圆专题1.已知A(-1，0),B(3,0),P是圆：x2+y2=45上的一个动点，则sinAPB的最大值()A.33B.53C.34D.54解题策略：解题策略：此题考查平面几何中角度最大问题，平面几何求角度问题，最常用工具就是利用三角形转为三角最值问题，另平面中角的最值问题也借用常用定理与结论：米勒定理一一最大张角问题.该题背景简单，解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题.解决此类问题的一般分两步：(-)第一步是建立函数关系式方法主要有三种：(1)坐标运算，以坐标为变量；(2)定义运算，利用模的运算性质，以夹角或模为变量；(3)线性运算，结合图形运算，以斜率为变量.(二)第二步

2、是求出相应函数的最值.方法主要有三种：(1)导数法；(2)不等式法，利用柯西不等式，但要注意取等条件；(3)向量法，利用数量积运算求解；(4)几何法，利用几何意义把问题转化为线性规划问题.下面是各位老师的精彩解法.解法一：到角公式解法一：到角公式设P（x，y),x2+y2=45,由对称性，不妨设y0,则kPB=PBx=yx-3tan,kPA=PAx=yx+1tanAPB=(PBx-PAx)=yx-3-yx+11+yx-3yx+1tantan=4yx2+y2-2x-3=4y45-2x-3=2y21-x则问题转化为：已知x2+y2=45,求t=2y21-x的最大值.以下有3种思路.思路一：辅助角公

3、式思路一：辅助角公式设x=3 5,y=3 5sincos,则2sin+tcos=7t5,即“4+t2(+)sin=7t5，其中tan=t2,12024高考数学专项练习米勒圆专题含答案刷题笔记刷题笔记所以(+)=7t5t2+201sin解的t511，所以tan APE的最大值为511，APB=2APBsin2APB+2APBcossinsin=2APBtan2APB+1tan=1-1tan2APB+11-1511+1=54所以sinAPB的最大值为54.思路二：反向柯西不等式：思路二：反向柯西不等式：(a2-b2)(c2-d2)(ac-bd)2则(21-x)2(45-x2)(21245-12)=

4、445y2所以APBtan的最大值为511,同上可得sinAPB的最大值为54感悟反思：感悟反思：利用两角和差求角度最值问题，注意选取哪个三角进行运算，其次把握好变量与不变量之间的联系.思路三：几何意义思路三：几何意义设P(3 5cos,3 5sin),则kPB=PBx=3 5sin3 5cos-3tan,kPA=PAx=3 5sin3 5cos+1tan因此APB=(PBx-PAx)=3 5sin3 5cos-3-3 5sin3 5cos+11+3 5sin3 5cos-33 5sin3 5cos+1tantan=12 5sin42-6 5cos=-20-5sin7-5cos则问题转化为：M

5、为圆x2+y2=5上点，点N(7,0)，求直线MN的斜率的取值范围.所以直线MN斜率的取值范围为-52 11,52 11即APBtan-511,511所以sinAPB的最大值为54.如图：Oxy5N(7,0)M2刷题笔记刷题笔记解法二：向量法解法二：向量法设P(x，y),则PA PB=(-1-x,-y)(3-x,-y)=42-2x则SABP=12PAPBsinAPB=12PA PB APBcosAPBtan=12PA PB APBtan=(21-2x)APBtan又SABP=12ABy=124y=2y，所以-tanAPB=0-y21-x下同方法一.解法三：余弦定理解法三：余弦定理设P(m,n)

6、，则m2+n2=45，其中-3 5 m3 5,-3 5 n3 5,所以AP=(m+1)2+n2=2m+46,PB=(m-3)2+n2=54-6m由余弦定理得：APB=AP2+BP2-AB22APBPcos=2m+46+54-6m-162 2m+46 54-6m=21-mm+23 27-3m,由-3 5 m3 5,得cosAPB0,所以sinAPB=1-2APBcos=-4m2+180-3m2-42m+621=2 33-m2+45-m2-14m+207设 f(m)=-m2+45-m2-14m+207(-3 5 m3 5)则 f(m)=14m2-324m+630(-m2-14m+207)2=2(m

7、-21)(7m-15)(-m2-14m+207)2令 f(m)0,解得：-3 5 m157,令 f(m)0,解得：157AQB=APB总评总评最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查.若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决.米勒定理来源于圆幕定理，即通过圆幕定理可确定动点在何处时使得张角最大，从而计算张角大小，体现问题的本质，但对平面几何知识要求较高，此题也可改编为当动点在何处时张角最大.【知识扩展】1.1.米勒定理简解最大

8、角问题米勒定理简解最大角问题米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题;在地球表OxyABPO1OxyABPO1PQ5刷题笔记刷题笔记面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒定理:已知点A,B是MON的边ON上的两个定点,点C是边OM上的一动点,则当且仅当ABC的外接圆与边OM相切于点C时,ACB最大.证明：如图,设C是边OM上不同于点C的任意一点,连结CA,CB,因

9、为角ACB是圆外角,ACB是圆周角,易证ACB 0)的焦点为 F,A 是抛物线上一点,|AF|=6,P 是 y 轴上一点,当APF最大时P点坐标为(0,2 2),则P=【答案】4或8.7刷题笔记刷题笔记相似题相似题2 2已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2 2,b2-a2=16.则角C的最大值为【答案】6.相似题相似题3 3(之江联盟商三暑开学考16)F2直线l过椭圆C的在顶点且与椭圆C相切,P为直线l上任意一点,若F1PF2的最大值为6,则挏员C的离心率是【答案】12.相似题相似题4 4圆H:(x-1)2+(y-2)2=2上有一动点,圆内有一点A34,74,求APH最大时的余弦值为

10、【答案】154.相似题相似题5 5(1986年全国高考)如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴上给定两定点A,B,试在x轴的正半轴上求一点C,使ACB取得最大值.【答案】(ab，0)相似题相似题6 6(2010 年 江苏)某兴趣小组测量电视塔 AE的高度H(单位:m)，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 ABE=,ADE=.(1)该小组已经测得一组,的值，tana=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m),使 与 之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125m,试问d为多少

11、时，a a-最大？注:说起米勒问题，这个题，因为数学帝“葛军”曾参与命制江苏卷.【答案】(1)124m.(2)55 5m.OxyABCABCDd8刷题笔记刷题笔记相似题相似题7 7(2005年 天津)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线 OC，塔高 BCBC=8080(米)，山高 OB=220(米)，0A=200(米)，图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上，与水平地面的夹角为,tan=12.试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)？注：本题实际上是米勒问题，即最大张角问题，参见人教A版必修5P101

12、B组T2.【答案】555m.相似题相似题8 8(2005 年.浙江)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,MA1:A1F1=2:1.(1)求椭圆的方程;(2)若直线 l1:x=m(|m|0),P为l1上的动点,使F1PF2的最大点P,记为Q,求点Q的坐标.(用m表示).【答案】(1)x24+y23=1(2)m,m2-1.解答：解：解法1：如图1,因为以AF为直径的圆与y轴相切，所以APF90,当P为切点时，APF取最大值90,此时PMy轴,设AF中点为M,则yM=yP=2 2,所以yA=2yM=2yP=4 2,由|AF|=6,

13、得xA+p2=6,9刷题笔记刷题笔记所以xA=6-p2,故A坐标为 6-p2,4 2，由A在抛物线y2=2px,代入(4 2)2=2p 6-p2),解得p=4或p=8.解法2:如图2,因为以AF为直径的圆与y轴相切,所以APF90,所以当P为切点时,APF取最大值90,此时OPF=PAF,所以OPFPAF,所以PFAF=OFPF,即p22+(2 2)26=p2p22+(2 2)2,整理得p2解得p=4或p=8.解法3：设P(0,a)，Fp2,0，A 2px21,2px1,由PA PF=2px21,2px1-ap2,-a=(px1-a20,故APF90,因为a=2 2,PA PF=0,APF最大

14、,所以px1=2 2,|AF|=2px21+p2=6,整理得p2-12p+32=0,解得p=4或p=8.解法:4,如图3,由题意设A x0,y0,满足y20=2px0,(1)由|AF|=x0+p2=6,(2)由米勒定理可知:当且仅当AFP的外接圆O与PQ相切时,APF取最大值，由抛物线的性质及定义可知，AF中点得为APF外接圆的圆心，所以y0=4 2,，由解得 p=4或p=8，故答案为：4或者8.1.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2 2,b2-a2=16,则角C的最大值为本题主要考查余弦定理、余弦函数的图象与性质以及均值不等式.因为b2-a2=16,c=2 2,所以c2=8=b2-a22,所以由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab=3a4b+10刷题笔记刷题笔记b4a23a4bb4a=32,当且仅当b2=24,a2=8时取等，又因为C(0,),所以cosC的值越小，C的值越大，所以cosC取32时，角C的值最大，为6.故本题正确答案为6.11