5内积空间与希尔伯特空间(讲稿)(PPT34页).ppt
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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第1页页第五章第五章 内积空间与希尔伯特内积空间与希尔伯特空间空间内积空间与内积空间与希尔伯特空间希尔伯特空间内积空间内积空间+完备性完备性希尔伯特空间希尔伯特空间欧氏空间欧氏空间线性空间线性空间+内积内积内积内积空间空间元素的长度(范数)元素的长度(范数)两向量夹角与正交两向量夹角与正交内积空间特点内积空间特点:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第2页页1 1 内积与内积空间内积与内积空间一、内积空间与希尔伯特空间的概念一、内积空间与希尔伯特空间的概念定义定义1 设设H是数域是数域K上的线性空间上的线性空间,定义函数,定义函数:HHK,使得:对使得:
2、对 x,y,z H,K,满足满足则称则称为数域为数域K中中x与与y的内积的内积,而称定义了内积的空间而称定义了内积的空间H为内积空间。为内积空间。注注:1)当数域当数域K为实数域时,称为实数域时,称H为实的内积空间;为实的内积空间;当数域当数域K为复数域为复数域C时,则称时,则称H为复的内积空间。为复的内积空间。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第3页页2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离由内积诱导的范数及由内积诱导的距离定义定义2 (1)范数范数称为由内积诱导的范数。称为由内积诱导的范数。(2)距离函数距离函数称为由内积诱导的距离。称为由内积诱导的距离。(2)内积与由内积诱导的范数的等
3、式关系:内积与由内积诱导的范数的等式关系:(3)由内积诱导的范数满足范数公理由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导内积空间按照由内积导出的范数出的范数,是线性赋范空间。但反之不然是线性赋范空间。但反之不然注注:(1)内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系 许瓦兹不等式许瓦兹不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第4页页3 线性赋范空间成为内积空间(范数是由内积导出的范数)的线性赋范空间成为内积空间(范数是由内积导出的范数)的充分必要条件充分必要条件定理定理1 线性赋范空间线性赋范空间X是内积空间是内积空间 x,y X,有有|x+y|2+|x
4、-y|2=2|x|2+2|y|2(平行四边形公式或中线公式平行四边形公式或中线公式)定义定义3 设设H是内积空间,若是内积空间,若H按照由内积诱导的范数成为按照由内积诱导的范数成为Banach空间,则称空间,则称H是希尔伯特空间。是希尔伯特空间。4 希尔伯特空间希尔伯特空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第5页页例例1 n维欧氏空间维欧氏空间Rn按照内积按照内积是内积空间。是内积空间。Rn中由内积导出的距离为中由内积导出的距离为 Rn按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 因而是因而是Hilbert空间。空间。是是Banach空间,空间,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第6页页
5、l 2按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 是是Banach空间,因而是空间,因而是Hilbert空间。空间。l 2中由内积导出的距离为中由内积导出的距离为 例例2 l 2空间按照内积空间按照内积是内积空间。是内积空间。(许瓦兹不等式许瓦兹不等式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第7页页例例3 L2a,b空间按照内积空间按照内积是内积空间。是内积空间。L2a,b按照由内积导出的范数按照由内积导出的范数 是是Banach空间,因而是空间,因而是Hilbert空间。空间。L2a,b中由内积导出的距离为中由内积导出的距离为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第8页页Ca,b中范数不满足
6、平行四边形公式,中范数不满足平行四边形公式,例例4 Ca,b按照范数按照范数是线性赋范空间,是线性赋范空间,但但Ca,b不是内积空间不是内积空间.证证 取取x=1,y=(t-a)/(b-a)Ca,b|x|=1,|y|=1|x+y|=max|1+(t-a)/(b-a)|=2,|x-y|=max|1-(t-a)/(b-a)|=1|x+y|2+|x-y|2=5 4=2(|x|2+|y|2)因而不是由内积导出的范数因而不是由内积导出的范数Ca,b不是内积空间不是内积空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第9页页5 内积空间中的极限内积空间中的极限证证 xnx|xn-x|0 yny|yn-y|0|-
7、|-|+|-|xn-x|yn|+|x|yn-y|0 (n)定义定义4(极限)设(极限)设X是内积空间,是内积空间,xn X,x X 及及y X,定理定理2 设设H是希尔伯特空间,则是希尔伯特空间,则H中的内积中的内积 是是x,y的连续函数的连续函数,即即 xn、yn H,x,y H,若若xnx,yny,则则.注注:距离函数、范数、内积都是连续函数:距离函数、范数、内积都是连续函数 (线性运算对内积的连续性)(线性运算对内积的连续性)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第10页页6 内积空间的完备化内积空间的完备化定义定义5 (内积空间的同构内积空间的同构)设设X,Y是同一数域是同一数域K上的
8、内积空间,若存上的内积空间,若存在映射在映射T:XY,保持线性运算和内积不变保持线性运算和内积不变,即即 x,y X,K,有有 (1)T(x+y)=Tx+Ty,(2)=则称内积空间则称内积空间X与与Y同构同构,而称而称T为内积空间为内积空间X到到Y的同构映射。的同构映射。定理定理3 设设X是内积空间,则必存在一个是内积空间,则必存在一个Hilbert空间空间H,使,使X与与H的稠的稠密子空间同构,而且在同构意义下,满足上述条件的密子空间同构,而且在同构意义下,满足上述条件的Hilbert空间是空间是唯一的。唯一的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第11页页二、内积空间中的正交分解与投影定
9、理二、内积空间中的正交分解与投影定理 在解析几何中,有向量正交和向量投影的在解析几何中,有向量正交和向量投影的概念,而且两个向量正交的充分必要条件是概念,而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于它们的内积等于0,而向量,而向量x在空间中坐标平在空间中坐标平面上的正交投影向量面上的正交投影向量x x0 0是将向量的起点移到是将向量的起点移到坐标原点,过向量的终点做平面的垂线所得坐标原点,过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有有x=x0+x1,其中其中x1 该坐标平面。这时称该坐标平面。这时称x=x0+x1为为x关于做表面的
10、正交分解。关于做表面的正交分解。下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理,利用投影其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理,利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质,这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立(因为巴拿赫有的性质,这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立(因为巴拿赫空间中没有正交性的概念)。在实际应用中,投影定理还常被用来空间中没有正交性的概念)。在实际应用中,投影定
11、理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0 0 x1 1x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第12页页1 正交的概念正交的概念 定义定义5 (正交正交)设设H是内积空间是内积空间,x,y H,M,N H.(1)x y =0;(2)x M y M,都有都有=0;(3)M Nx M,y N,都有都有=0.定理定理4(勾股定理勾股定理)设设H是内积空间是内积空间,若若x,y H,且且x y,则则|x+y|2=|x|2+|y|2注注:1)在一般的内积空间中,若在一般的内积空间中,若x y,则有则有勾股定理勾股定理|x+y|2=|x|2+|y|2成立,但反之不然。
12、成立,但反之不然。事实上,事实上,|x+y|2=|x|2+|y|2+2Re(x,y)2)在实内积空间中,在实内积空间中,x y|x+y|2=|x|2+|y|2,即即勾股定理勾股定理成成立立机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第13页页 定义定义6 (正交补正交补)设设H是内积空间是内积空间,M H,称集合称集合 M=x|x y,y M 为为M在在H中的正交补。中的正交补。注注:正交补的性质:正交补的性质:是是H的闭线性子空间,即的闭线性子空间,即H的的完备子空间完备子空间.事实上,事实上,x,y M 及及 z M,有有=0,=0=0 =+=0 M M 为为H线性子空间线性子空间 xn L,x
13、nx,z M =lim=0 x M M 为为H的闭子空间的闭子空间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第14页页 定义定义10 (正交分解与正交投影正交分解与正交投影)设设H是内积空间,是内积空间,M H是线性是线性子空间,子空间,x H,如果存在如果存在x0 M,x1 M,使得使得 x=x0+x1 (1 1)则称则称x0为为x在在M上的正交投影,而称上的正交投影,而称(1)式为式为x关于关于M的的正交分解正交分解。2 正交分解与正交投影正交分解与正交投影定理定理14 (投影定理投影定理)设设M是希尔伯特空间是希尔伯特空间H的闭线性子空间的闭线性子空间,则对则对 x H在在M中存在唯一的正交
14、投影中存在唯一的正交投影x0 0,使得使得 x=x0+x1 (其中其中x1 M).).yn M,使得使得|yn-x|d(n)(下确界定义下确界定义)证证 x H,令令x到到M的距离的距离机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第15页页M是是H的线性子空间的线性子空间ym,yn M,有有0|ym-yn|2=|(ym-x)+(x-yn)|2 =|(ym-x)+(x-yn)|2+|(ym-x)-(x-yn)|2-|(ym-x)-(x-yn)|2 =2|ym-x|2+2|x-yn|2-|(ym+yn)-2x|2 (平行四边形公式平行四边形公式)2|ym-x|2+2|x-yn|2-4d 20 (m,n)
15、2)证明证明 xn在在M中收敛中收敛1)证明证明 yn是基本列是基本列 M 是是Hilbert空间的闭线性子空间空间的闭线性子空间M是完备的是完备的 x0 M,使使ynx0,|yn-x|x0-x|(n)xn是基本列是基本列机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第16页页3)证明证明x0 0 是是x在在M中的正交投影中的正交投影记记x1=x-x0,z M,z,C x0+z M特取特取 4)证明证明x0 是唯一的,从而上述正交分解式也是唯一的是唯一的,从而上述正交分解式也是唯一的设设 是是x在在M上的两个正交投影,则上的两个正交投影,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第第17页页注注:1)由定
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