统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析20230423157.docx
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1、统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析20230423157第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】一、必记4个知识点1角的分类(1)任意角可按旋转方向分为_、_、_.(2)按终边位置可分为_和终边在坐标轴上的角(3)与角终边相同的角连同角在内可以用一个式子来表示,即_.2象限角第一象限角的集合_第二象限角的集合_第三象限角的集合_第四象限角的集合_3.角的度量(1)弧度制:把等于_长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的度量制有:_制,_制(3)换算关系:1_rad,1 rad_.(4)弧长及扇形面积公式:弧长公式为_,扇形面积公
2、式为_.4任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么_叫做的正弦,记作sin _叫做的余弦,记作cos _叫做的正切,记作tan 各象限符号_口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦三角函数线有向线段_为正弦线有向线段_为余弦线有向线段_为正切线二、必明3个易误点1易混概念:第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角,第二、第三类是区间角2利用180 rad进行互化时,易出现度量单位的混用3三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sin y,cos x,tan ,但若不是单位圆时,如圆的半径为r,则sin ,cos
3、,tan .【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)角k(kZ)是第一象限角()(3)若sin sin,则.()(4)300角与60角的终边相同()(5)若A|2k,kZ,B|4k,kZ,则AB.()二、教材改编2已知是第一象限角,那么是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D第一或第三象限角3已知角的终边过点P(12,5),则sin _,cos _.三、易错易混4若一扇形的圆心角为72,半径为20 cm,则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2C40 cm2 D80 cm25角的终边经过点P(x,4),且c
4、os ,则sin _.四、走进高考62020全国卷,2若为第四象限角,则()Acos 20 Bcos 20 Dsin 20象限角与终边相同的角的表示自主练透型12018全国卷下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)2设是第三象限角,且|cos |cos ,则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角3若sin 0,则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4已知角的终边在直线yx上,则的集合S_.悟技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线;(
5、2)按逆时针方向写出0,2)内的角;(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合;(4)求并集化简集合2确定k,(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围;(2)再写出k或的范围;(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置.考点二扇形的弧长及面积公式互动讲练型例1若扇形的周长为10,面积为4,则该扇形的圆心角为_变式练(着眼于举一反三)1若去掉本例中“面积为4”,则当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?悟技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问
6、题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.2.若扇形的圆心角120,弦长AB12 cm,则弧长l_ cm.3已知扇形的面积为2,扇形的圆心角的弧度数是,则扇形的周长为_考点三三角函数的定义及应用分层深化型考向一:三角函数的定义例2(1)若是第二象限角,其终边上有一点P(x,),且cos x,则sin 的值是()A. B.C. D(2)已知角的终边经过点P(x,6),且cos ,则_.考向二:三角函数值的符号例3(1)若1,则x不可能的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)若满足sin cos 0且cos sin 0,则在第_象限考向三:三角函
7、数线的应用例4设asin 1,bcos 1,ctan 1,则a,b,c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca悟技法1.三角函数定义应用策略(1)已知角的终边与单位圆的交点坐标,可直接根据三角函数的定义求解(2)已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解(3)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义的推广形式求解(4)已知角的某三角函数值(含参数)或角终边上一点P的坐标(含参数),可根据三角函数的定义列方程求参数值(5)已知角的终边所在的直线方程或角的大小,根据三角函数的定义可求角终边上
8、某特定点的坐标2三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小(2)解三角不等式(方程).变式练(着眼于举一反三)4sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在5已知角的终边在直线yx上,且cos 0,则tan _.6已知角的终边过点P(3cos ,4cos ),其中,则sin _,tan _.第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】正角负角零角象限角k360(kZ)|2k2k,kZ|2k2k,kZ|2k2k,kZ|2k2k2,kZ半径角度弧度l|rSlr|r2yx正正正正负负
9、负负正负正负MPOMAT【小题热身】1答案:(1)(2)(3)(4)(5)2解析:因为k36090k360,kZ,所以k18045k180,kZ,当k为奇数时,是第三象限角;当k为偶数时,是第一象限角答案:D3解析:r 13,sin ,cos .答案:4解析:72,S扇形R220280(cm2)答案:B5解析:由题意得,解得x0或x3,当x0时,sin 1;当x3时,sin .答案:或16解析:解法一是第四象限角,2k2k,kZ,4k24k,kZ,角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,sin 20,cos 2可正、可负、可零,故选D.解法二是第四象限角,sin 0,sin 22sin co
10、s 0,故选D.答案:D课堂考点突破考点一1解析:与角的终边相同的角可以写成2k(kZ),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确答案:C2解析:是第三象限角,是第二或第四象限角,又|cos |cos ,cos 0,因此是第二象限角答案:B3解析:sin 0,在第一、三象限,故sin 0时,在第三象限答案:C4解析:如图,直线xy0过原点,倾斜角为60,在0360范围内,终边落在射线OA上的角是60,终边落在射线OB上的角是240,所以以射线OA,OB为终边的角的集合为:S1|60k360,kZ,S2|240k360,kZ,所以角的集合SS1S2|60k360,kZ|60180k360,
11、kZ|602k180,kZ|60(2k1)180,kZ,所以角的集合S|60k180,kZ答案:|60k180,kZ考点二例1解析:设圆心角是,半径是r,则,解得或(舍去),故扇形的圆心角为.答案:变式练1解析:设圆心角为,半径为r,则2rr10,Sr2r(102r)r(5r)(r)2.当且仅当r时,Smax,2,所以当r,2时,扇形面积最大2解析:设扇形的半径为r cm,如图由sin 60得r4 cm,所以l|r4(cm)答案:3解析:设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得:lR2,解得:l2,R2,则扇形的周长为:l2R42.答案:42考点三例2解析:(1)由三角函数的定义得cos x,解
12、得x0或x或x,是第二象限角,即x0,x,sin .(2)因为角的终边经过点P(x,6),且cos ,所以cos ,即x,所以P(,6)所以sin ,所以tan ,则.答案:(1)C(2)例3解析:(1)当x是第一象限角时,31,故x一定不是第一象限角;当x是第二象限角时,1111,即x可以是第二象限角;当x是第三象限角时,1111,即x可以是第三象限角;当x是第四象限角时,1111,即x可以是第四象限角(2)sin cos 0,在第二、四象限,又cos sin 0,(2k,2k),kZ,在第二象限答案:(1)A(2)二例4解析:如图,设BOC1,由于1,结合三角函数线的定义有cos 1OC,
13、sin 1CB,tan 1DA,结合几何关系可得cos 1sin 1tan 1,即bac.答案:C变式练4解析:因为2340,cos 30,所以sin 2cos 3tan 40.答案:A5解析:如图,由题意知,角的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则yx,由三角函数的定义得tan 1.答案:16解析:因为,所以cos 0,所以r5cos ,所以sin ,tan .答案:第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识重温】一、必记3个知识点1同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_.(2)商数关系:_.2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin _余弦cos _正切ta
14、n _3.特殊角的三角函数值角030456090120150180角的弧度数0sin _1_0cos _0_1tan _1_0二、必明2个易误点1在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号2注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若,为锐角,则sin2cos21.()(2)若R,则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()二、教材改编2已知sin(),则cos ()ABC.D.3化简 (为第二象限角)_.三、易错易混4已知sin(),且(,0),则tan(2)等于()A.
15、 B C. D5已知sin cos ,且0,则tan _.四、走进高考62019全国卷tan 255()A2 B2 C2 D2三角函数的诱导公式自主练透型1sin(1 200)cos 1 290_.2若f(x)sin1,且f(2 020)2,则f(2 021)_.32021合肥检测在平面直角坐标系中,若角 的终边经过点P,则sin()()ABC.D.悟技法1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的求出值.考点二同角三角函数关系式的应用互动讲练型考向一:公式
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