《2024届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考数学试卷含答案.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2024届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考数学试卷含答案.pdf(10页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、学科网(北京)股份有限公司2024 届普通高等学校招生全国统一考试数学届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分全卷满分 150 分,考试时间分,考试时间 120 分钟注意事项:分钟注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,
2、再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合2,1,0,1,2A=-,0Bx x=,过点,02p且斜率为1-的直线 l 交 C 于 M,N 两点,且32MN=,则 C 的准线方程为()A1x=-B2x=-C3x=-D4x=-学科网(北京)股份有限公司7已知数列 na是单调递增数列,221nnam
3、n=-,*nN,则实数 m 的取值范围为()A2,+B1,2C3,2+D2,38已知离散型随机变量 X 的分布列如下,则D X的最大值为()X012Paab+ab-A13B23C89D1二、选择题:本题共二、选择题:本题共 3 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 18 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分分9某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况,五名同学的成绩如下:84,72,68,76,8
4、0,则()A这五名同学成绩的平均数为 78B这五名同学成绩的中位数为 74C这五名同学成绩的上四分位数为 80D这五名同学成绩的方差为 3210已知正实数 a,b 满足22ab+=,则21bab+的可能取值为()A2B12+C21-D411在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,1,0A,1,0B-,12AM,点 M 的轨迹为W,则()AW为中心对称图形BM 到直线()20 xaya-+=R距离的最大值为 5C若线段OM上的所有点均在W中,则OM最大为3D使4MBO=成立的 M 点有 4 个三、填空题:本题共三、填空题:本题共 3 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 15 分分12182(
5、2)x-的展开式中含21x的项的系数为_13已知2tan2a=,则tan3a=_14三个相似的圆锥的体积分别为1V,2V,3V,侧面积分别为1S,2S,3S,且123VVV=+,123aSSS=+,则实数 a 的最大值为_学科网(北京)股份有限公司四、解答题:共四、解答题:共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(13 分)已知函数 ln(1)sinf xaxxx=+-(1)若0a=,求曲线 yf x=在点,22f处的切线方程;(2)若1a=,研究函数 f x在1,0 x-上的单调性和零点个数16(15 分)2024 年由教育部及各省教育厅
6、组织的九省联考于 1 月 19 日开考,全程模拟高考及考后的志愿填报等某高中分别随机调研了 50 名男同学和 50 名女同学对计算机专业感兴趣的情况,得到如下 22 列联表对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学40女同学20合计(1)完善以上的 22 列联表,并判断根据小概率值0.01a=的独立性检验,能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关;(2)将样本的频率作为概率,现从全校的学生中随机抽取 30 名学生,求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差附:22n adbcabcdacbdc-=+,其中nabcd=+a0.10.050.01xa2.7063.8416.635
7、17(15 分)如图,在四棱锥PABCD-中,平面PCD 平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,且112ABCD=,PCD为等边三角形,平面PABI平面PCD=直线 l(1)证明:l平面ABCD;(2)若 l 与平面PAD的夹角为6,求四棱锥PABCD-的体积学科网(北京)股份有限公司18(17 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别为 A、B,且4AB=,点31,2在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若 E,F 为椭圆 C 上异于 A,B 的两个不同动点,且直线AE与BF的斜率满足3BFAEkk=-,证明:直线EF恒过定点19(17 分)三阶行列式是
8、解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:1231231 2 32 3 13 1 23 2 12 1 31 3 2123aaabbbab ca b ca bca b ca bcab cccc=+-若111222abxzijyxyzk=rrrrr,则称abrr为空间向量ar与br的叉乘,其中111ax iy jz k=+rrrr(111,x y z R),222bx iy jz k=+rrrr(222,xyz R),,i j krr r为单位正交基底以 O 为坐标原点、分别以,i j krr r的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,已知 A,B 是空间直角坐标系中异于 O 的
9、不同两点(1)若1,2,1A,0,1,1B-,求OA OBuuu ruuu r;证明:0OA OBOB OA+=uuu ruuu ruuu ruuu rr(2)记AOB的面积为AOBS,证明:12AOBSOA OB=uuu ruuu r(3)证明:2OA OBuuu ruuu r的几何意义表示以AOB为底面、OA OBuuu ruuu r为高的三棱锥体积的 6 倍数学参考答案数学参考答案1B【解析】由题意可得2,1AB=-I,故ABI的真子集的个数为2213-=故选 B2A【解析】因为ii1zz-=+,则1 i1 iz-=+,所以21 i(1 i)i1 i(1 i)(1 i)z+=-=-=-+
10、,故2211 i1(1)2z+=-=+-=故选 A3B【解析】由题意得2225625603661 60 1 1 cos913abaa bb+=+=+=rrrrrr故5691ab+=rr,故选 B学科网(北京)股份有限公司4C【解析】由题意得1210b=,则120b=,令10112220t=,即10210t=,解得1033lg2t=故选 C5D【解析】设上、下底面圆的半径分别为 r,R,圆台的高为 h,则由题意可得221,42()6,rRrR=+=解得1,2,rR=,则221(11 22)213Vh=+=,解得9h=故选 D6D【解析】设11,M x y,22,N xy,直线:2pl yx=-,
11、联立2,22,pyxypx=-=得22304pxpx-+=,则0D,123xxp+=,又 l 经过 C 的焦点,02p,则12332MNxxppp=+=+=,解得8p=,故 C 的准线方程为4x=-故选 D7C【解析】由题意可得2(21)nnamn=-,由于数列 na为单调递增数列,即*n N,1221(21)(1)(21)2210nnnnnaamnmnmn+-=-+-=-,整理得212nnm+,令212nnnb+=,则11123211 20222nnnnnnnnbb+-=-=,*nN,易得数列 nb单调递减,故132b=是数列 nb的最大项,则 m 的取值范围为3,2+,故选 C8C【解析】
12、01231P XP XP Xa=+=+=,故13a=,易得12033b+,12033b-,则1133b-,故221E Xababb=+-=-,22221112(1)(1)3333D Xbb bbbbb=-+-+=-,又因为1 1,3 3b-,所以2 8(),9 9D X故选 C9CD【解析】A 选项,这五名同学成绩的平均数为6872768084765+=,A 错误;B 选项,将五名同学的成绩按从小到大排列:68,72,76,80,84,则这五名同学成绩的中位数为 76,B 错误;学科网(北京)股份有限公司C 选项,5 75%3.75=,故成绩从小到大排列后,第 4 个数即为上四分位数,即 80
13、,C 正确;D 选项,五名同学成绩的方差为222221(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325-+-+-+-+-=,D正确故选 CD10BD【解析】由题意可得22222111111(22)2()2bbbbabb bbbbb+=-,令1bt+=,则12t,解得0,1x;令 0fx+,sin0 x-,cos0 xx-,则 0fx,故 f x在1,0 x-上单调递增又因为 00f=,所以 f x在1,0 x-上的零点个数为 116解:(1)完善 22 列联表如下:公众号:高中试卷君对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学401050女同学302050合计703010
14、0则22100(40 20 10 30)1004.7626.63550 50 30 7021c-=,则0,0,0D,1,02A a,3,02B a,0,2,0C,0,1,3P,设,nx y z=r为平面PAD的法向量,则0,0,n DAn DP=uuu rruuu rr即10,230,axyyz+=+=令1y=-得13,1,23na=-r为平面PAD的一个法向量又lAB,则可得直线 l 的一个平行向量0,1,0m=r,设q为 l 与平面PAD的夹角,由11sincos,12n mnq=r rr,解得68a=1163 23(12)32816P ABCDV-=+=18解:(1)由题意可得42ABa
15、=,则2a=,学科网(北京)股份有限公司又点31,2在 C 上,所以213144b+=,解得1b=,故椭圆 C 的标准方程为2214xy+=(2)证明:由(1)可得,2,0A-,2,0B,易知直线AE与直线BF的斜率一定存在且不为 0,设直线AE的方程为)2(0yt xt=+,直线BF的方程为32yt x=-由222,1,4yt xxy=+=得222241161640txt xt+-=,所以2216441AEtx xt-=+,故228241Etxt-+=+,则2441Etyt=+,故222824,4141ttEtt-+由2232,1,4yt xxy=-+=得222236114414440txt
16、 xt+-+-=,所以221444361BFtx xt-=+,故22722361Ftxt-=+,则212361Ftyt=+,故22272212,361 361ttFtt-+若直线EF过定点,则根据椭圆的对称性可知直线EF所过定点必在 x 轴上,设定点为0,0P x则22220022412413612872241361PEPFttttkkttxxtt+=-+,即2222004122841722361tttxttxt=-+-+,所以222200624341722361txttxt-+=-+,化简可得204 1210 xt-=,故04x=,即直线EF过定点4,019解:(1)因为1,2,1A,0,1
17、,1B-,则1212010133,1,1011ijkOA OBikjiijk=+-=-=-rrruuu ruuu rrrrrrrrrr学科网(北京)股份有限公司证明:设111,A x y z,222,B xyz,则1 2121221212 11 22 112211221(,)OA OBy z iz x jx y kx y kx jy z iyyzz z xz x xx yzy=+-=-uuu ruuu rrrrrrr,将2x与1x互换,2y与1y互换,2z与1z互换,可得2 11 221122112,()OB OAy zy zz xz x x yx y=-uuu ruuu r,故0,0,00O
18、A OBOB OA+=uuu ruuu ruuu ruuu rr(2)证明:因为2222222()()sin1 cos1OAOBOA OBOA OBAOBAOBOA OBOAOB-=-=-=uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r,故22211sin()22AOBSOA OBAOBOAOBOA OB=-uuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r,故要证12AOBSOA OB=uuu ruuu r,只需证222()OA OBOAOBOA OB=-uuu ruuuuuuu ru u ruuu ruu rru,即
19、证2222()OA OBOAOBOA OB=-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r由(1)111(,)OAx y z=uuu r,222,OBxyz=uuu r,1 22 112211221,OA OBy zy z z xz x x yx y=-uuu ruuu r,故22221 22 112211221()()OA OBy zy zz xz xx yx y=-+-+-uuu ruuu r,又2221121OAxyz=+,2222222OBxyz=+,2212121 2OA OBx xy yz z=+uuu r uuu r,则2222()OA OBOAOBOA OB=-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r成立,故12AOBSOA OB=uuu ruuu r(3)证明:由(2)12AOBSOA OB=uuu ruuu r,得221()222AOBOA OBOA OBOA OBOA OBSOA OB=uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,故261()3AOBOA OBSOA OB=uuu ruuu ruuu ruuu r,故2()OA OBuuu ruuu r的几何意义表示以AOB为底面、OA OBuuu ruuu r为高的三棱锥体积的 6 倍
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