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1、2010年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题,满分150120分钟.一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分, 否则一律得零分.1.已知集合4 = % x-或2Wx3, B =-2工4卜 则B 2.计算:lim” -8 3+i + 23 .函数/(x)=一+= + 6的定义域是X-17T4 .方程2cos x=1在区间(0,乃)内的解是I 4;5 .已知数列%是公差不为零的等差数列,弓=1.若%、生、成等比数列,则% =6.八71化简:cos + a +si
2、n + a717.8.9.已知P是双曲线=-二二1右支上的一点,a2 9双曲线的一条渐近线方程为3x- y = 0.耳、鸟分别为双曲线的左、右焦点.若|夕闾=3,贝川夕耳=已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图 如右图所示,则该凸多面体的体积V=.已知无穷数列 %前项和S =1,则数列 %的各项和为10 .古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土, 克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”,则事件A出现的概率是 (结果用数值表示).11 .已知,生,。;配打,6(是正整数),令4=
3、。1+d+ +2,L? = b? + b?+ + ,一,L=bn.某人用右图分析得到恒等式:+ a2b2 + + anbn = axLx+ c2L2 + c3L3 + +ckLk+ + cflLn,则/=(2Z).4为T点列,叫 a,(以+2 %+J(% 4+i)=+也 0,则4+14 4+14+2 。./&+|4+2为钝角,二4,4+iA+o为钝角三角形.8分(3)证明; mn pb ,aq _ ap =aq aq- + aq- aq-2 +。/用 一 %)=bq_x+ bq_2 + +bpN(q-p)bp.同理% 一% =+2_2+ +bmd一1,由、可推得%-金,15分% - an ap
4、- am,即AA,jAAi16分22.证明(1)由题意可得2b + c = 0,解方程Y+2 2b = 0,得z = b + y12b b1 i, 2 分点J2b )或外上 _yl-2b-b2 ),将点R代入圆G的方程,等号成立,.E在圆G:(X1产+ 丁2 = 1上.4分(2)解法一当(),即 。时,解得 z = Z?Jc /i,二点 ,J。-)或川 一/?, - Jc-2 ),由题意可得(人m)2+c =/,整理后得。=2仍+产加2,6分. = 4( Z?2 - c ) 0, (Z? + m)2+c-h2= r2,/.线段s 为: c = -2mb + r2 m2, e m - r, m
5、+ r.若(c)是线段s上一点(非端点),则实系数方程为222+ 2bx- Zmb + r一/%-=0, b e(-m- r,-m + r).此时0)过点C,求焦点厂到直线的距离.19 .(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 已知函数/(x) = log2(2 +1).(1 )求证:函数/(X)在(一8, +8)内单调递增;(2)记/一(X)为函数/(X)的反函数.若关于1的方程/7(x) = m + /(x)在1, 2上有 解,求加的取值范围.20 .(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如
6、图所示).凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根 细钢管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素,设计小凳应满足:凳子高度为30cm, 三根细钢管相交处的节点。与凳面三角形A3C重心的连线垂直于凳面和地面.(1)若凳面是边长为20cm的正三角形,三只凳脚与地面所成的角均为45 ,确定节点。分细钢管上下两段的比 值(精确到0.01);(2)若凳面是顶角为120的等腰三角形,腰长为24cm, 节点。分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管 的长度(精确至iJO.l cm).21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小 题满分8分.在直角坐标平面上的一列点4(1,
7、4), 4(2,生), 4?(九,4),简记为4.若由 =44+1,构成的数列满足%2,几=12 ,其中,为方向与y轴正方向相同的单位向量,则称47为7点列.(1)判断A(1, 1),(1、44一,是否为T点歹U,I H J并说明理由;(2)若4为7点列,且点A2在点4的右上方.任取其中连续三点4、4+p4+2,判断 44用人+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(3 )若4为T点列,正整数l20),则存在唯一的线段s满足:若R在圆C上,则(4c)在线段s上; 若(4c)是线段s上一点(非端点),则R在圆。上.写出线段s的表达式,并说明理由;(3)由(2)知线段s与圆C
8、之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究,填写表一(表中号是(1)中圆G的对应线段).表一线段s与线段M的关系机、的取值或表达式s所在直线平行于与所在直线s所在直线平分线段4线段s与线段防长度相等2008年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1 .本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中 评分标准的精神进行评分.2 .评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不
9、应超过后面部分应给 分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3 .第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题累加分 数.4 .给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一.(第1至12题)每一题正确的给4分,否则一律得零分.1.5.an = 2 - 1.2.3. 2, 1) (1, 3.7万4. x =129.-1.6.10.COS。,7.5.&1+立611211.312.-2题号13141516代号CDAB二.(第13至16题)每一题正确的给4分,否则一律得零分.三.(第17至22题)17.解原式=cos。2 sin。cos。 sin。1-cos20sin。si
10、n coscos 9sin 0 =1-|12分又 cos8 = 一, 32 cos8_ V14 sin 28 sin 0218 .解由已知可得 A(2, 0), 5(0, 2), C(l, 1),解得抛物线方程为丁二工点/到直线AB的距离为-+ 0-2 4772812分19 .证明(1)任取 z,则22+12 A2 +1/(石)f(x2) = log2(2+l)-log2(2 +1) = log2为 %, *- 0 2* +1 2/ +1,0,2 为+12X, +1. 01, log22*2+152 2X2+1/(X1)0),解法一:.m = log2(2-l)-log2(2+l)2X-1(=
11、 log2 = log2 1-乙 1k2、2X + 1,11分222123当 时,一W-,-1的取值范围是log2 , log(3 J3、5J14分解法二解方程log2(21l) = m+log2(2 + l),得X = log22Z?7+P-T )11分1V log22?+n1 2,2,解得log2m log21、的取值范围是log2一 , log 3J20.解(1)设ABC的重心为,连结O.由题意可得,BH20c3设细钢管上下两段之比为九已知凳子高度为30.则03021 + A节点。与凳面三角形A3C重心的连线与地面垂 直,且凳面与地面平行.NO5”就是08与平面ABC所成的角,亦即3分ZOBH= 45 .BH = OH.302 _ 2073T+I- 3解得,4二_26“9-2JoH2 + BH2 =10a/13 36.1 , 2B、。三点的三根细钢管长度分别为6Q8cm ,36.1cm 和14分21.解(1) an1 1 -1二4二一_ = 丁一x,显然有白用2, n + n nn + ) 在44+4+2 中,4+A = (i,久。八),4+14+2 = (1,4+2 4+3A+l A 4+14+2 = 1 +(%+2 “A+l )(“A 4+1 )点4在点A的右上方,.4=%一。1 ,
限制150内