第1章 集合与逻辑全章复习与测试(教师版).docx
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1、第1章集合与逻辑全章复习与测试F【知识梳理】一.集合的含义1、集合的含义:集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫 做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体.2、集合的表示方法:列举法、描述法、图示法.(1)列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来;描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中 的元素;区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素;图示法(数轴表示法,韦恩图法)用图的形式 来描述表示出集合的每一个元素.(2)有限集常用列举法表示,而无限集常用描述法或区间表示法表示,抽象集常用图示法表示,(有限集就 是集合中的元
2、素个数是能够确定的.无限集是集合的元素个数无法精确.抽象集合就是只给出集合元素满足 的性质,探讨集合中的元素属性,要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力.) 用描述法表示集合时,集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征.二.元素与集合关系的判断1、元素与集合的关系:一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体称为集合,简称集.元素一般用小写字母0, b, c表示,集合一般用大写字母4 8, C表示,两者之间的关系是属于与不属于关系,符号表示如:0。 或 aA.2、集合中元素的特征:(1)确定性:作为一个集合中的元素,必须是确定的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于还是不属于 这集合是确
3、定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体 是否能构成集合.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,他的任何两个元素都是不同的.这个特 性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素.(3)无序性:集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.三.集合的确定性、互异性、无序性【分析】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键,集合中元素不多 时,将各个元素列举出来从而得到所求的集合.【解答】解:当x=0, y=2时,21=0;当 x=0, y=3 时,Z20;当 x=l,
4、y=2 时,Z3= 1 X2X (1+2) =6;当 x=l, y=3 时,z4= 1 X3X (1+3) =12,AAOB=0, 6, 12).故答案为:0, 6, 12).【点评】本题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度,弄准集合中元素的构造方式,考查列举法写 集合,分类讨论思想.3.(2022秋松江区校级期中)设全集U=xEZ|- 1,集合A = “R| (x - 1) (x-2) =0,集合8=x N 1, 分别求集合CuA、AUB、ADB.2【分析】先化简集合U以及集合A和集合&然后利用补集的定义求出CuA,最后再利用交集与并集的 定义求出AU5、4nB即可.【解答】解:全集0,
5、1, 2, 3, 4, 5),A = 1, 2, B=0, 1可得CuA= - 1, 0, 3, 4, 5,AU8=0, 1, 2, AA8=1.【点评】本题主要考查了集合的含义,以及并集及运算和补集及其运算,属于基础题.二.元素与集合关系的判断(共6小题)4 . (2022秋浦东新区期末)已知集合4=2, /+3+3,且leA,则实数的值为 -1或-2.【分析】根据已知条件,结合元素与集合关系,即可求解.【解答】解:集合A=2, -+3/3,且0,则/+3+3= 1,解得=一 1或一 2故答案为:-1或-2.【点评】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题.5 . (2022秋浦东新区期末)
6、E R.(用符号“6”或填空).【分析】根据已知条件,结合元素与集合关系,即可求解.【解答】解:-Vtigr.故答案为:G.【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断,属于基础题.6 . (2022秋徐汇区期末)若集合A同时具有以下三个性质:(1) OeA, 1GA; (2)若x、则1-师4;(3)若xCA且xWO,则上小 则称A为“好集”. x已知命题:集合1, 0, - 1是好集;对任意一个“好集” A,若x、贝Ux+yEA.以下判断正确的是()A.和均为真命题B.和均为假命题C.为真命题,为假命题D.为假命题,为真命题【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【解答】解:对于,因为 161,
7、 0, - 1), - lei, 0, - 1,而 - 1 - 1=-2 - 1, 0, 1,所以集合1, 0, -1不是“好集。故错误;对于,因为集合A是“好集”,所以 04 0- y= - yEA,所以x- (-y) =x+yA,故正确,所以为假命题,为真命题,故选:D.【点评】本题主要考查了集合的新定义问题,考查了元素与集合的关系,属于基础题.7 .(2022秋长宁区校级期末)对于底R,表示不超过x的最大整数,定义在R上的函数火x) = 2x+4x+8x,若4= y|y=f (x),ox),则A中所有元素的和为()A. 12B. 3C. 14D. 15【分析】由已知结合新定义对x进行分类
8、讨论,求出/(x)的取值,进而可求.【解答】解:当。4x4(总时,于 3 = 2x+4x+3x=0+1 +2=3,当看时,/(X)=2x+4x+8x=0+l+3=4,x=时,f (x) = 2x+4x+18x = 1 +2+4 = 7,2故4=0, 1, 3, 4, 7),元素和为 0+1+3+4+7=15.故选:D.【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合元素的确定,属于基础题.8 .(2022秋金山区期末)已知集合4=2,且1C4,则实数。的值为 1.【分析】由题意可知2。- 1 = 1,求出。的值即可.【解答】解:164:.2a-1 = 1,解得 q=1,故答案为:1.【点评】本题主要
9、考查了元素与集合的关系,属于基础题.9 .(2022秋闵行区校级期中)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若包,那么称点 b d(b)是点(c, d)的“上位点”.同时点(c, d)是点(m b)的“下位点”;(1)试写出点(3, 5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;(2)已知点(m b)是点(c, d)的“上位点”,判断点p(QJ, 毕一)是否是点(,b)的“下位点”,22证明你的结论;(3)设正整数满足以下条件:对集合力0/,作差化简得ad-bcQ,结合所得结论、定 b d义,利用作差法可判断出点P (史二,也生)是否是点(。,b)的“下位点”;22(3)借助(2)的
10、结论,证明点尸(a+c, b+d)既是点(c, d)的“上位点”,又是点(b)的“下位 点”,再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.【解答】解:(1)根据题设中的定义可得点(3, 5)的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为(3, 4)和(3, 7).(2)点尸(史三,士曳)是点(m b)的“下位点”.22证明:点(。,b)是点(c, d)的“上位点”,包, b d,:a, b, c, d 均大于 0, /. adbc, ;.ad - bc0, a+c _ a_b (a+c)-a (b+d) _ bc-ad a a+c言 b- b(b+d) b (b+d),b+d,.点P (豆工,
11、卫旭)是点(小b)的“下位点 22(3)可证点尸(Q+C, b+d)既是点(c, d)的“上位点”,又是点(Q, b)的“下位点”.证明:丁点(。,b)是点(C, d)的“上位点”,包, b d二,b, a d 均大于 0, /.adbc, C.ad - bc0,软+c _ c_ d (a+c)-c (b+d) _&b+cd-bc-cd_ ad-bc b+d 7 d(b+d)d(b+d) d(b+d)即纪,点P Q+c, b+d)是点(c, d)的“上位点”, b+d d3i,点P (q+c, b+d)是点(b)的“下位点”, b b+d点尸(+c, b+d)既是点(a d)的“上位点”,又是
12、点(m b)的“下位点”,根据题意知点(/)既是点(2022, m)的“下位点”,又是点(2023, m+1)的“上位点”对力日/|0 /2022,怎Z时恒成立,根据上述的结论知,当=2022+2023=4045,攵=2加+1时,满足条件,故=4045.【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是难题.三.集合的表示法(共5小题)10. (2022秋奉贤区校级期末)用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合 红色,黄色.【分析】利用列举法直接写出答案即可.【解答】解:由题意知,中国国旗上所有颜色组成的集合为红色,黄色,故答案为:红色,黄色.【点评】本题考查
13、了集合的表示法的应用,属于基础题.11. (2022秋崇明区期末)直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为(尤,y)仅0.【分析】根据第二象限点的符号特征求解即可.【解答】解:直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为: (x, y) |x0).故答案为:(-y) |x0.【点评】本题主要考查了集合的表示方法,属于基础题.12. (2022秋徐汇区校级期末)若函数/(x) =4叫(2|x| - 14) 2叫- 14枚|+33有零点,则其所有零点的 集合为 -3, 7,1,3.(用列举法表示).【分析】注意到/(x) = (2国+|x|- 11) (2国+|x|
14、 - 3),令/(x) =0,结合x0时,偶函数g (x) =2闻+|x|-11, h (x) =2国+|x|-3均在(0, +8)上单调递增可得答案.【解答】解:/(x) = (2w+k| - 11) (2w+|x| - 3),令 f 3 =0,得 2叫国-11 = 0 或 2w+|x| - 3=0,令 g (x) =2国+|x|- 11, h (x) =2国+|x| - 3,注意到g (x), h (x)均为偶函数,g(3) h(1) =0,又x0时,函数y=2与函数y=x在(0, +)上单调递增,则 g (x) =2闻+|x|-ll, h (x) =2国+|x| - 3 在(0, +)上
15、单调递增,故 g (x), h (x)在(0, +8)上有唯一零点,得 2国+|x| - 11 =0=x= 3, 2同+|x| - 3=0=x= 1 .则/(%)所有零点的集合为 - 3, - 1, 1, 3).故答案为: -3, - 1, 1, 3).【点评】本题主要考查集合的表示法,属于基础题.13. (2022秋徐汇区校级月考)用描述法表示被5除余2的正整数组成的集合为3尸5攵+2,任N.【分析】根据描述法的表示方法结合条件即得.【解答】解:.被5除余2的正整数可用弘+2,岳N来表示,被5除余2的正整数组成的集合表示为:口仅=5攵+2,任N,故答案为:x|x=5Z+2,依N.【点评】本题
16、主要考查了集合的表示方法,属于基础题.14. (2022秋浦东新区期末)已知集合A= (x, y) y=4x- 1,集合B= (x, y) |y=/+2,用列举法表示集合【分析】求出直线y=4x- 1与抛物线y=f+2的交点坐标,即可得到集合APB.【解答】解:由题意可知,集合4 03的元素为表示直线),=以-1与抛物线=f+2的交点坐标,y=4x -1(v=1 (y=3联立方程。,解得|或Xy=x2+2ly=3 ly=ll:.AHB= (1, 3), (3, 11) .【点评】本题主要考查了集合的表示方法,属于基础题.四.集合的包含关系判断及应用(共4小题)15. (2022秋金山区期末)设
17、集合A, B, C均为非空集合.()A.若则 A = CB.若 AUB=8UC,则 A = CC.若则 CUBD.若 AU3=3GC,贝CUB【分析】关于这几个命题真假的判断,真命题可以根据集合的运算和运算法则证明,如果命题是假命题, 则可以举反例.【解答】解:由于集合A, B,。均为非空集合,所以对于A,若AABnBAC,则A = C是假命题,例如 A=1, 2, 3, B=1, C=1, 2,满足 AG3=BnC,但 AWC;对于5,若则A = C,是假命题;例如 A=1, B=1, 2, 3, C=1, 2,满足 AUB=3UC,但 AWC;对于C,由于CUBUC,已知AG3=BUC,所
18、以贝成立;故C正确;对于。,若AUB=8nC,贝IJCGB是假命题,例如 A=1, B=1, 2, 3, C=1, 2, 3, 4,满足 AU8=8AC,但是 8GC故选:C.【点评】本题考查了命题真假的判断方法,还考查了集合的运算,属于基础题.16. (2023春宝山区期末)已知集合人二% |小区0,集合3=如-|0可得(x+1) (x- 1) 0,解得-IVxVl,故A=x| -1-x由|九-a2可得-2x - a2,即 q - 2 VxVa+2,故 B= xa - 2x1J实数4的取值范围是-1,1.故答案为:- 1, 1.【点评】本题考查了分式不等式,绝对值不等式的解法以及集合的包含关
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