田开斌定理.pdf
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1、杏 坛 孔 门 田开斌定理:田开斌定理:田开斌田开斌定理定理一一:O 所在平面上任意三点 A、B、C,A、B、C 三点关于O 的极线分别为l1、l2、l3,l1与 BC 交点为 P,l2与 CA 交点为 Q,l3与 AB 交点为 R,则 P、Q、R 三点共线。田开斌田开斌定理定理二二:O 所在平面上任意三点 A、B、C,A、B、C 三点关于O 的极线分别为l1、l2、l3,l2、l3交于点 P,l3、l1交于点 Q,l1、l2交于点 R,则 AP、BQ、CR 三线共点。通过笛沙格定理易知以上两个定理等价,所以这里我们只证明定理一。证明:证明:如图,设 A、B、C 关于O 的反演点分别为 L、M
2、、N,则易知 B、C、N、M 四点共圆、C、A、L、N 四点共圆,A、B、M、L 四点共圆,且 LPAO、MQBO、NRCO。根据三角形面积公式知 ARRB=SARNSBRN=ANsin ANRBNsin BNR=ANcos ANOBNcos BNO (1)同理可知:BPPC=BLcos BLOCLcos CLO (2)CQQA=CMcos CMOAMcos AMO (3)(1)(2)(3)知:ARRBBPPCCQQA=ANcos ANOBNcos BNOBLcos BLOCLcos CLOCMcos CMOAMcos AMO=ANCLBLAMCMBNcos ANOcos CLOcos BLOcos AMOcos CMOcos BNO=ANCLBLAMCMBN=NOLOLOMOMONO=1,根据梅涅劳斯定理逆定理知,P、Q、R 三点共线。l3l2l1LZYXRQPNMOABC
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