第九章格与布尔代数.ppt
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1、第九章 格与布尔代数,9.1 格的定义及性质,定义 9.1.1 设 ( L, ) 是一个偏序集,若对于任意 a,bL都有最小上界lub(a,b)和最大下界glb(a,b),则称( L, )是格, 记lub(a,b)为ab, glb(a,b)为ab.例9.1.1 设S是集合,P(S)是S的幂集合,则偏序集(P(S), )是格。 若A, B S, 则lub(A, B)=AB, glb(A,B)=AB 即AB = AB, AB= AB,例9.1.2 设Z+是正整数集合,偏序“”定义为:a b a|b (a整除b)。则(Z+, )是格。 设a, b Z+, 则lub(a,b)=lcm(a,b), 即a
2、b=lcm(a,b), 同理, glb(a,b)=gcd(a,b), 即ab=gcd(a,b), 其中, lcm(a,b)为a和b的最小公倍数; gcd(a,b)为a和b的最大公约数。,例9.1.3 试问图9.1.1所示的偏序集中哪些是格。,图9.1.1,全序集都是格。群G的全体子群S(G)对于偏序 构成格。G; HK群G的全体正规子群H(G)对于偏序 构成格。H, K 的最小上界HK= hk|hH, kK , 最大下界HK环R的全体理想I(R)对于偏序 构成格。I, J 的最小上界I+J= i+j|iI, jJ , 最大下界IJ线性空间V的全体子空间S(V)对于偏序 构成格。,定理9.1.1
3、 若( L, )是格,则其对偶偏序集( L, )也是格。例如,由于(P(S), )是格,所以(P(S), )也是格,并且在格(P(S), )中,AB = AB, AB= AB。设( L, )是格,由于L的任意两个元素 a和 b均有唯一的最小上界和最大下界,因此“”和“”是格中的两个二元运算,所以格可以看作具有两个二元运算“”和“”的代数系统。,定理 9.1.2 设( L, )是格,则1(1) aa = a, (2) aa = a 幂等律2(1) ab=ba, (2) ab=ba 交换律3(1) (ab)c=a(bc), (2) (ab)c=a(bc)结合律4(1) a(ab)=a, (2) a
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- 第九 布尔 代数
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