高中数学必修五考点大全.doc
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1、.知识点串讲必修五.第一章:解三角形11 1 正弦定理1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 siniabABsincC一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。2、已知 ABC 中, A 06, 3,求 iiia证明出 siniabBsincCisinibc解:设 ii(o)ik则有 kA, k, ic从而 sinisinabc= isiinABC=k又 i032i6,所以 iiiabc=2评述:在 ABC 中,等式 siisi0insiinabckABC恒成立。3、已知 ABC 中, in:ii1:23ABC,求 :(答案:1:2:3)1.1
2、.2 余弦定理1、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabAaBcC从余弦定理,又可得到以下推论: 22osbAccaB.22cosbacC2、在 ABC 中,已知 23a, 6, 0B,求 b 及 A解: 2cosbB= 22()(2)cos 045=16431)=8 2.b求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:解法一:cos22222()6)(31,cab 06.解法二:sin 023sinsi45,AB又 2 .41.8,3 .6, a c,即 0 A 09, 6.A评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。3、
3、在 ABC 中,若 22abc,求角 A(答案:A=120 0)11 3 解三角形的进一步讨论1、在 ABC 中,已知 ,abA,讨论三角形解的情况 分析:先由 sinibABa可进一步求出 B;则 08()CB 从而 sinCc1当 A 为钝角或直角时,必须 b才能有且只有一解;否则无解。.2当 A 为锐角时,如果 a b,那么只有一解;如果 ,那么可以分下面三种情况来讨论:(1)若 sin,则有两解;(2)若 ,则只有一解;(3)若 i,则无解。(以上解答过程详见课本第 9:10 页)评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且sinbAa时,有两解;其它情
4、况时则只有一解或无解。2、 (1)在 ABC 中,已知 80a, 1b, 045A,试判断此三角形的解的情况。(2)在 ABC 中,若 , 2c, C,则符合题意的 b 的值有_个。(3)在 ABC 中, xm, , 0B,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。(答案:(1)有两解;(2)0;(3) 2x)3、在 ABC 中,已知 7a, 5b, 3c,判断 ABC 的类型。解: 275,即 22, ABC是 钝 角 三 角 形 。4、 (1)在 ABC 中,已知 sin:isi1:2ABC,判断 ABC 的类型。 (2)已知 ABC 满足条件 coab,判断 ABC 的类型。
5、(答案:(1) 是 钝 角 三 角 形 ;(2) ABC 是等腰或直角三角形)5、在 ABC 中, 06, 1,面积为 3,求 sinisinabcABC的值siniabABsincCisiniabcABC解:由 12S得 2,则 2coab=3,即 3a,从而 sinisinABCiA.1.2 解三角形应用举例1、两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60,则 A、B 之间的距离为多少?解略: 2a km2、 某人在 M 汽车站的北偏西 20的方向上的 A 处,观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M
6、站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40 。开始时,汽车到 A 的距离为 31 千米,汽车前进 20 千米后,到 A的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远,才能到达 M 汽车站?解:由题设,画出示意图,设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 ABC 中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得cosC= CAB22= 31,则 sin C =1- cos C = 24, sinC = 31,所以 sin MAC = sin(120 -C)= sin120 cosC - cos120sinC = 6235在 MAC 中,由正弦定理得MC = AMCsin= 23165=35从而
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