第二章随机变量的分布及数字特征.doc
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1、.第二章 随机变量及其数字特征一、教学要求1. 理解随机变量的概念,掌握离散型和连续型随机变量的描述方法,理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质;2. 理解分布函数的概念和性质,会利用概率分布计算有关事件的概率;3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征;4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解;5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质,常见的几种分布,随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算;难点是随
2、机变量函数的分布及数学期望的计算。2.1 随机变量及其分布一、 随机变量1引入随机变量的必要性1)在随机现象中,有很大一部分问题与数值发生关系。如:产品检验问题中,抽样中 出现的废品数;在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数;在电讯中,某段时间的话务量等等。2)有些初看起来与数值无关的随机现象,也常常能联系数值来描述。如:掷硬币问题中,记出现正面时为“1” ,出现反面时为“0” 。注:这些例子中,试验的 结果能用一个数字 X 来表示,这个数 X 是随着试验的结果的不同而变化的,也即它是样本点的一个函数,这种量以后称为随机变量。2引例先看一个具体的例子:例 1 袋中有 3 只黑球,2 只白球,从
3、中任意取出 3 只球,观察取出的 3 只球中的黑球的个数我们将 3 只黑球分别记作 1,2,3 号,2 只白球分别记作 4,5 号,则该试验的样本空间为45145235, , , , , , , , , , , , , , , , ,我们记取出的黑球数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3因此, X 是一个变量但是, X 取什么值依赖于试验结果,即 X 的取值带有随机性,所以,我们称 X 为随机变量.X 的取值情况可由下表给出:由上表可以看出,该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值,因此变量 X 是样本空间 上的函数:我们定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随
4、机事件例如表示取出 2 个黑球这一事件;2X:表示至少取出 2 个黑球这一事件,等等X3定义1)描述性定义:定义在样本空间 上的实值函数称为随机变量,常用大写 X,Y,Z 等表示;随机变量的取值用小写字母 x,y,z 等表示。2)严格定义:设 为一概率空间, 是定义在 上的实值函数,(,)P(),X若对任一实数 , ,则称 为随机变量。x:Xx4.随机变量的例子例 2 上午 8:009:00 在某路口观察,令:Y:该时间间隔内通过的汽车数则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0,1,表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件;表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件5例
5、3 观察某生物的寿命(单位:小时) ,令:Z:该生物的寿命则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数 表示该生物的寿命不超过 1500 小时这一随机事件150二、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义 设 为一概率空间,X 为定义在其上的随机变量,对任意实数 x,称(,)P样 本 点 黑 球 数 X 样 本 点 黑 球 数 X 321, 3 541, 1 4, 2 , 2 5, , , 2 , 1 31, 543, .()FxPXx为随机变量 X 的分布函数,且称 X 服从 ,记为 X .有时也可用 表明是 X 的(F()XFx分布函数.2.例子例 4 向半径为 r 的圆内随机抛一点,求此
6、点到圆心之距离 X 的分布函数 ,并求 P(X()x).23r解 事件“ ”表示所抛之点落在半径为 的圆内,故由几何概率知Xx(0)xr从而2()().xFPr225PX =1-1-().3393.分布函数的性质 定理:任一分布函数 都有如下三条基本性质:()Fx(1)单调性: 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数,即对任意的 ,(,)12x有 ;2()Fx(2)规范性: = ;()lim()0xF= 。1x(3)右连续性: 是 x 的右连续函数,即对任意的 ,有() 0x,0li()xF即 。0x证明 略。注(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。(2)有了分布函数的定义
7、,可以计算:, ,()()PaXbFa()()PXFa等。1三、离散随机变量及其分布列1离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性,要知道离散型随机变量 X 的统计规律必.须且只须知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一个可能值的概率。 2分布列 设 X 是一个离散随机变量,如果 X 的所有可能取值是 ,则称 X12,nx 取 的概率ix(),12,iiipxPxn 为 X 的概率分布列或简称为分布列,记为 。iXp分布列也可用下列形式表示:或12()()nxxpp X12P3.分布列的基
8、本性质 (1)非负性: ()0,12,;ipx(2)正则性: 1.ii注 1)离散随机变量的分布函数为: 。()()iixFp2)设离散型随机变量 X 的分布函数为 , 为其间断点,k =1, 2, , 则X 的分布律为 0,12,kkkkpPx4.例子例 5 设离散随机变量 X 的分布列为,1230.5.试求 ,并写出 X 的分布函数。(0.5),(1.)P解 略。例 6 从 110 这 10 个数字中随机取出 5 个数字,令:X:取出的 5 个数字中的最大值试求 X 的分布列解:X 的取值为 5,6,7,8 ,9,10并且410610kCP, , ,.具体写出,即可得 X 的分布列:例 7
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