高考数学一轮复习第八章立体几何8-7利用空间向量求空间角学案理.doc
《高考数学一轮复习第八章立体几何8-7利用空间向量求空间角学案理.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习第八章立体几何8-7利用空间向量求空间角学案理.doc(21页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、- 1 - / 21【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-8-7 7 利用空间向量求空间角学案理利用空间向量求空间角学案理考纲展示 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考点 1 异面直线所成的角两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 ,则 cos |cos |(其中 为异面直线 a,b 所成的角)空间角的范围处理错误已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量,若cosm,n,则 l 与 所成
2、的角为_答案:30解析:设 l 与 所成的角为 ,则 sin |cosm,n|,30.典题 1 (1)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,BCA90,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BCCACC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.22答案 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,设 BC2,则 B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),- 2 - / 21N(1,0,2),所以(1,1,2),(1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 的余弦值cos .(2)如图,在正方形 ABCD 中,EFAB,若沿 EF 将正方形折成一个二面角
3、后,AEEDAD11,则 AF 与 CE 所成角的余弦值为_答案 4 5解析 AEEDAD11,AEED,即 AE,DE,EF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设 ABEFCD2,则 E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),(1,2,0),(0,2,1),cos, ,AF 与 CE 所成角的余弦值为.点石成金 1.利用向量法求异面直线所成角的步骤2注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别,尤其是取值范围考点 2 直线与平面所成角直线和平面所成角的求法如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面 的法向量为 n,直线 l 与平面 所成的角为 ,向量 e
4、与 n 的夹角为 ,则有 sin |cos |.(1)教材习题改编若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹- 3 - / 21角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等于_答案:30解析:根据线面角的定义易知为 30.(2)教材习题改编如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a(0,2,1),b(, ,),那么这条斜线与平面的夹角是_答案:30解析:cosa,b,因此 a 与 b 的夹角为 30,即斜线与平面的夹角也为 30.(3)教材习题改编如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin, 的值为_答案:4
5、59解析:设正方体的棱长为 2,以 D 为坐标原点, , ,所在方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,可知(2,2,1),(2,2,1),所以 cos, ,所以 sin, .典题 2 2017河南郑州二模如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形,平面 ABC平面AA1C1C,A1AC60,BCA90. (1)求证:A1BAC1;(2)已知点 E 是 AB 的中点,BCAC,求直线 EC1 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值(1)证明 AC 的中点 O,连接 A1O,因为四边形 AA1C1C 是菱形,且A1AC60,所以A1AC
6、为等边三角形,所以 A1OAC.又平面 ABC平面 AA1C1C,- 4 - / 21所以 A1O平面 ABC,所以 A1OBC.又 BCAC,所以 BC平面 AA1C1C,所以 AC1BC.在菱形 AA1C1C 中,AC1A1C,所以 AC1平面 A1BC,所以 A1BAC1.(2)解 以点 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则 A(0,1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),C1(0,2,),(2,2,0),(0,1,)AB设 m(x,y,z)是平面 ABB1A1 的法向量,则即Error!取 z1,可得 m(, ,1)又 E(1,0,0),所以(1,2,),设直
7、线 EC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 ,则 sin |cos,m|.点石成金 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.2017辽宁协作体联考在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求 BB1与平面 ACD1 所成的角的余弦值解:设正方体的边长为 DD11,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角- 5 - / 21坐标系,则有 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,
8、0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),则(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0)AC设 n(x,y,z)为平面 ACD1 的法向量,则有即Error!取 x1,得 n(1,1,1)设直线 BB1 与平面 ACD1 所成的角为 ,则有 sin |cosn, |,故 cos .即 BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为.考点 3 二面角求二面角的大小(1)如图,AB,CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 _.答案:, (2)如图,n1,n2 分别是二面角 l 的两个半平面, 的法向量,则二面角的大小 n1,n2或n1,n2 二面角的
9、求法:可先求出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角n1,n2 ,则所求二面角为n1,n2或 n1,n2 已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E,F 分别是棱AB,BC 上的动点,且 AEBF.当 A1,E,F,C1 共面时,平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为_- 6 - / 21答案:1 2解析:以 D 为原点, , ,所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,易知当 E(6,3,0),F(3,6,0)时,A1,E,F,C1 四点共面设平面 A1DE 的法向量为 n1(a,b,c),依题意得Error!可取 n1(1,2,1)
10、同理可得平面 C1DF 的一个法向量为n2(2,1,1)故平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为.典题 3 如图,四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都相等,ACBDO,A1C1B1D1O1,四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)求证:O1O底面 ABCD;(2)若CBA60,求二面角 C1OB1D 的余弦值(1)证明 因为四边形 ACC1A1 为矩形,所以 CC1AC,同理 DD1BD.因为 CC1DD1,所以 CC1BD,而 ACBDO,因此 CC1底面 ABCD.由题设知,O1OC1C,故 O1O底面 ABCD.(2)解 因为四棱柱 ABCD
11、A1B1C1D1 的所有棱长都相等,所以四边形 ABCD 是菱形,因此 ACBD.又 O1O底面 ABCD,从而 OB,OC,OO1 两两垂直如图,以 O 为坐标原点,OB,OC,OO1 所在直线分别为 x 轴、y轴、z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz.不妨设 AB2,因为CBA60,- 7 - / 21所以 OB,OC1.于是相关各点的坐标为 O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2)易知 n1(0,1,0)是平面 BDD1B1 的一个法向量. 设 n2(x,y,z)是平面 OB1C1 的法向量,则即Error!取 z,则 x2,y2,所以 n2(2,2,)设二面角 C1OB1
12、D 的大小为 ,易知 是锐角,于是 cos |cosn1,n2|.故二面角 C1OB1D 的余弦值为.题点发散 1 将(2)中条件“CBA60”改为“CBA90”,问题不变解:由母题(2)建系条件知,当CBA90时,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 AB2,则 OB,OC,O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0, ,2)易知 n1(0,1,0)是平面 OB1D 的一个法向量设 n2(x,y,z)是平面 OB1C1 的法向量,则即Error!取 z,则 x2,y2,则 n2(2,2,)设二面角 C1OB1D 为 ,则 cos |cosn1,n2|,故二面角 C1OB1D 的余弦值为.题点
13、发散 2 在题干条件下,试在线段 C1C 上求一点 M,使二面角 MOB1D 的大小为 60.- 8 - / 21解:在母题(2)建系条件下,O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2)易知 n1(0,1,0)是平面 OB1D 的一个法向量设 M(0,1,m),且 n2(x,y,z)是平面 OB1M 的一个法向量则即Error!取 z1,则 x,ym,则 n2.由 cosn1,n2知,m2(m0),即 m,M.即在线段 CC1 上存在一点 M 且 CM,使二面角 MOB1D 的大小为 60.点石成金 1.利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在
14、平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小2利用法向量求二面角时的两个注意点(1)对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着,不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论错误.如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且- 9 - / 21ABBCBD2,ABCDBC120,E,F 分别为 AC,DC 的中点(1)求证:EFBC;(2)求二面角 EBFC 的正弦值(1)证明:
15、由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC的直线为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系易得 B(0,0,0),A(0,1,),D(,1,0),C(0,2,0)因而 E,F.所以,(0,2,0),因此0.从而,所以 EFBC.(2)解:平面 BFC 的一个法向量为 n1(0,0,1)设平面 BEF 的法向量 n2(x,y,z),又,由得其中一个 n2(1,1)设二面角 EBFC 的大小为 ,且由题意知 为锐角,则 cos |cosn1,n2|,因此 sin ,即二面角 EBFC 的正弦值为.
16、方法技巧 1.用向量来求空间角,只需将各类角转化成对应向量的夹角来计算,问题的关键在于确定对应线段的向量2合理建立空间直角坐标系(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一- 10 - / 21点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系,在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系易错防范 1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 第八 立体几何 利用 空间 向量 角学案理
限制150内