2019九年级数学上册 专题突破讲练 相似中的“射影定理”试题 (新版)青岛版.doc
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1、1相似中的相似中的“射影定理射影定理”1.1. 射影射影定理定理直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图,RtABC中,BAC90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1) (2) (3)2ADBD DC2ABBD BC2ACCD BCABCABDDAC 注意:注意:(1)在RtABC中,AD为斜边BC上的高,图中共有 6 条线段:AC、BC、CD、AD、DB、AB,已知任意两条,便可求出其余四条;(2)射影定理的每个乘积式中含三条线段,若已知两条线段,可
2、求第三条;(3)平方项一定是两相似三角形的公共边。2.2. 定理推论定理推论在ABC中,D是BC边上的一点,且满足,则有。BADC 2ABBD BCABDCBA例题例题 1 1 已知CD是ABC的高,DECA,DFCB,求证:CEFCBA。解析:解析:根据CDECAD和CDBCFD得和利用2CDCE CAA2CDCF CB等量代换和变形,即可证明CEFCBA。2答案:答案:证明:在RtADC中,由射影定律得,2CDCE CA在RtBCD中,2CDCF CBCE CACF CBCECF CBCAECFBCA CEFCBA 点拨:点拨:本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于
3、发现相似,找出等量关系,进行适当的变形。例题例题 2 2 已知:如图,AB为O的直径,AC为弦,CDAB于D。若AEAC,BE交O于点F,连接CF、DE。求证:(1) (2)2AEAD ABACFAED 解解析析:(1)根据AEAC,可以把结论转化为证明,只需连接BC,2ACAD AB证明ACDABC即可。 (2)根据(1)中的结论,即可证明三角形ADE相似于三角形AEB,得到AEDB,再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。答答案案:(1)连接BC,AB为O的直径,ACB90CDAB,ACDABC,ACAB ADACACAE,2AEAD AB(2),EADBAE,2AEAD AB ADEAEB,
4、3AEDBACFB,ACFAED点拨:点拨:本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用,注意转化思想的应用是解决本题的关键。【要点总结要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式,经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查,因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型,并对其进行代数式的变形,以及等量代换,从而达到解题目的。例题例题 如图,在RtABC中,CD,CE分别是斜边AB上的高和中线,BCa,ACb(ba) ,若,求的值。1 3tan DCEa b解解析析:在RtABC中,利用射影定理得到,进而得到BD的表达式,2BCBD BA由面积法可求出CD的长,根据CE为中线,建立关系式
5、DEBEBD,再根据正切函数的定义,建立关于a、b的关系式。答答案案:在RtABC中,ACB90,CDAB,2BCBD BA即:。由等面积法知:,2222BCaBDBAab 11 22abAB CD。22abCD ab 又因为CE是中线,则。222 2222221 22abaDEBEBDab abab 在RtCDE中, 得:,1 3tan DCE22222212 3baab abab223230aabb解得,于是有或(舍负值) 。110 3ab 101 3a b101 3a b点拨:点拨:本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形,综合性较强,要认真对待。4(答题时间:(答题时间:3030 分
6、钟)分钟)一、选择题一、选择题1. 在RtABC中,C90,CDAB,垂足为点D,若AD:BD9:4,则AC:BC的值为( ) A. 9:4 B. 3:2 C. 4:9 D. 2:3 *2. 在RtABC中,BAC90,ADBC于点D,若,则( )3 4AC ABBD CDA. B. C. D. 4 33 416 99 16 *3. 已知:在ABC中,BAC90,ADBC于D,M为BC中点。下列关系式中正确的是( )A. B. 222ACABDM BC222ACBCDM ACC. D. 222ACABDM AC222BCABAD AC*4. 若正实数x,y,z满足, 。则下列关系式中正222x
7、yz222z xrr确的是( ) A. B. C. D. 无法确定xyzrxyzrxyzr二、填空题二、填空题*5. 如图,ABC 中,点D在BC上,以为直径作O,恰过A点,若ABAC8BD AC与O相切,则AB的长为 。*6. 如图,矩形ABCD中, ,点E在BC上,点F在CD上,且,5 6AB BC1 6ECBC,FGAE于G,则AG:GE 。3 5FCCD*7. 两个任意大小的正方形,都可以适当剪开,拼成一个较大的正方形,如用两个边长分别为a,b的正方形拼成一个大正方形。图中RtABC的斜边AB的长等于 (用a,b的代数式表示) 。5*8. RtABC中,BAC90,AD是斜边BC上的高
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