高级中学数学必修一三角函数图像性质分析总结(精华版-).doc
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1、 一正弦、余弦、正切函数图象和性质 函 数正弦函数Rxxy,sin余弦函数Rxxy,cos正切函数tan ,2yx xk有 界 性有界有界无界定 义 域),(),(|,2x xkkZ值 域 1 , 1当时,)(22Zkkx1maxy当时,)(22Zkkx1miny 1 , 1当时,)(2Zkkx1maxy当时,)(2Zkkx1miny),(周 期 性是周期函数,最小正周期2T是周期函数,最小正周期2TT奇 偶 性奇函数,图象关于原点对称偶函数,图象关于轴对称y奇函数,图象关于原点对称单 调 性在)(,22,22Zkkk上是单调增函数在 )(,223,22Zkkk上是单调减函数在上)(,22 ,
2、2Zkkk是单调增函数在上是单)(,2,2Zkkk调减函数在(,),()22kkkZ上是单调增函数对 称 轴)( ,2Zkkx)( ,Zkkx对 称 中 心)( )0 ,(Zkk)( )0 ,2(Zkk(,0) ()2kkZ正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-3 2-5 2 -7 27 2 5 23 2 2- 2-4-3 -2432-oyxy=tanx32 2-32-2oyxy=cotx32 22-2oyx(一)(一)三角函数的性质三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)
3、基本函数的奇偶性 奇函数:ysinx,ytanx; 偶函数:ycosx.(2) 型三角函数的奇偶性()g(x) (xR)g(x)为偶函数 由此得 ;同理, 为奇函数 .() 为偶函数 ; 为奇函数 .3、周期性(1)基本公式()基本三角函数的周期 ysinx,ycosx 的周期为 ; ytanx,ycotx 的周期为 .() 型三角函数的周期的周期为 ;的周期为 .(2)认知() 型函数的周期的周期为 ;的周期为 .() 的周期的周期为;的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 y 的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点与()的区别.()若函数为 型两位函数之和,则探求周期
4、适于“最小公倍数法”.()探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验猜想证明.(3)特殊情形研究()ytanxcotx 的最小正周期为 ; () 的最小正周期为 ;()ysin4xcos4x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性(1)基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”:选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的 一个周期;写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间);获通解:在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数 的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲,便可
5、得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.(2)y 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、分解:令 u ,将所给函数分解为内、外两层:yf(u),u ;套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f(u)的单调性,而后利用(1)中 公式写出关于 u 的不等式;还原、结论:将 u 代入中 u 的不等式,解出 x 的取值范围,并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: xAysin(A、0)定义域RRR值域 1, 1 1, 1RRAA,周期性 22 2奇偶性奇函数偶函数奇函数
6、奇函数当非奇非偶, 0当奇函数, 0单调性22,22kk上为增函 数;223,22kk上为减函 数 ()Zk 2,12kk ;上为增 函数12,2kk上为减函 数 ()Zk kk2,2上为增函数( )Zk 上为减函1,kk数()Zk )(212),(22AkAk上为增函数;)(232),(22AkAk上为减函数( )Zk 注意:与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般xysinxysinxycosxycos 地,若在上递增(减) ,则在上递减(增).)(xfy ,ba)(xfy,ba与的周期是.xysinxycos ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxyco
7、sxysinOyx或()的周期.)sin(xy)cos(xy02T的周期为 2(,如图,翻折无效). 2tanxy 2TT的对称轴方程是() ,对称中心() ;的对称轴方)sin(xy2 kxZk 0 ,k)cos(xy程是() ,对称中心() ;的对称中心().kx Zk 0 ,21k)tan(xy0 ,2kxxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当;.tan, 1tan)(2Zkktan, 1tan)(2Zkk与是同一函数,而是偶函数,则xycoskxy22sin)(xy)cos()21sin()(xkxxy.函数在上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,xy
8、tanR 为增函数,同样也是错误的.xytan定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义)(xf域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)()(xfxf ))()(xfxf奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不xytan)31tan(xy关于原点对称)奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)x0)(xf0)0(fx0xysin不是周期函数;为周期函数() ;xysinT是周期函数(如图) ;为周期函数() ;xycosxycosT的周期为(如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例
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